文档内容
10.2 排列组合问题
思维导图
知识点总结
1．排列与组合的概念
名称 定义
并按照一定的顺序排成一列，叫做
从n个不同元素中取出m(m≤n)
排列 从n个不同元素中取出m个元素的
个元素
一个排列
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】作为一组，叫做从n个不同元素中
组合
取出m个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的排列数，用符号 A 表示．
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的组合数，记作 C .
3．排列数、组合数的公式及性质
(1)A＝ n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) ＝；
公式
(2)C＝＝ ＝ ( n，m∈N*，且m≤n)
性质 (1)A＝ n ！ ；(2)0！＝1；(3)C＝1，C＝ C ； (4)C＋C＝C
解决排列与组合问题的“四项基本原则”
(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位
置．
(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地
把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，
再进行分配．
典型例题分析
考向一 排列与排列数问题
【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排一排，女生必须站在一起；
(5)全体排一排，男生互不相邻；
(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排一排，甲必须排乙前面；
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端．
解 (1)A＝2520种方法．
(2)A＝5040种方法．
(3)解法一：先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600种方法．
解法二：先排排头和排尾有A种方法，其余位置有A种排法，故共有AA＝3600种方法．
(4)将女生看成一个整体，用捆绑法，共有AA＝576种方法．
(5)先排女生有A种，再将男生插空有A种，故共有AA＝1440种方法．
(6)将甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲、乙有A种方法，再排中间三人有A种方
法，最后将他们看作一个整体与剩下的2人全排列，有A种方法，故共有AAA＝720种方法．
(7)＝2520种方法．
(8)A－2A＋A＝3720种方法．
求解有限制条件排列问题的主要方法
直接法
选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，
分类法 分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出
总数
选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计
分步法
算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他
捆绑法
元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再
插空法
将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定
定序法
元素的全排列
间接法 对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】 1.用0,1,2,3,4,5这6个数字，
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?
解 (1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类，0在个位时，有A个；
第二类，2在个位时，千位从1,3,4,5中选定1个，有A种，十位和百位从余下的数字中选，
有A种，于是有AA个；
第三类，4在个位时，与第二类同理，也有AA个．
由分类加法计数原理得，共有A＋2AA＝156个．
(2)先排0,2,4，再让1,3,5插空，总的排法共AA＝144种，其中0在排头，将1,3,5插在后
3个空的排法共有AA＝12种，此时构不成六位数，故符合要求的六位数的个数为 144－12＝
132.
考向二 组合与组合数问题
【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队
长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)男生甲和女生乙当选；
(5)最多有两名女生当选．
解 (1)只有一名女生当选即有一名女生和四名男生当选，故共有CC＝350种．
(2)两队长当选，共有CC＝165种．
(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选和有两名队长当选．故共有 CC＋
CC＝825种(或采用间接法：C－C＝825种)．
(4)男生甲和女生乙当选，则需从剩余11人中选3人，有C＝165种．
(5)最多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选、只有一名女生当选和没有女生当选．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故共有CC＋CC＋C＝966种．
组合问题的常见类型及求解策略
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂
时，考虑逆向思维，用间接法处理．
【例3】圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形
的个数为( )
A．10 B．20
C．40 D．60
答案 D
解析 如图所示，10点连线中有5条为圆的直径，其每条直径分别有 4条弦与之平行，
可构成5×(C－2)＝40个梯形；10点连线中有5组与构成的5条直径不平行的4条平行弦，如
A A ∥A A ∥A A ∥A A ，可构成5×(C－2)＝20个梯形．由分类加法计数原理可知，共构成40
3 5 2 6 1 7 10 8
＋20＝60个梯形．故选D.
【变式】(多选)在某地实施的新高考改革方案中，选择性考试科目有物理、化学、生物、
政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门
科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物 4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总
分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这 6
门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A．若任意选科，选法总数为C
B．若化学必选，选法总数为CC
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
答案 BD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析 若任意选科，选法总数为CC，A错误；若化学必选，选法总数为CC，B正确；若
政治和地理至少选一门，选法总数为 C(CC＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一
门，选法总数为CC＋1，D正确．故选BD.
考向三 排列组合综合问题
【例4】 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．
解 (1)无序不均匀分组问题．先选 1本有C种选法；再从余下的 5本中选2本有C种选
法；最后余下3本全选有C种方法，故共有CCC＝60种．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分
配，共有CCCA＝360种．
(3)无序均匀分组问题．共有＝15种．
(4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种．
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以
A即可，共有＝15种．
(6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种．
解决分组、分配问题的策略
(1)对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
【变式】(多选)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，有翻译、导
游、礼仪、司机四项工作可以安排，每人安排一项工作，则以下说法错误的是( )
A．若每项工作不必都有人参加，则不同的方法数为54
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能
胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA＋CA
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同
方法数为(CC＋CC)A
答案 ABD
解析 对于A，安排5人参加4项工作，每人都安排一项工作，每人有 4种安排方法，则
有45种安排方法，故A错误；对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再
将分好的4组全排列，安排4项工作，有CA种安排方法，故B错误；对于C，根据题意，分
2 种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出 1 人开车，②从丙、丁、戊中选出 2 人开车，则有
CCA＋CA种安排方法，C正确；对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有＋种分组
方法，将分好的3组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有 A种情况，则有A种安排方法，D
错误．故选ABD.
基础题型训练
一、单选题
1． 可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】逆用排列数的公式求解.
【详解】解：由题意 . .
故选：B.
2． （ ）
A．40 B．56 C．168 D．336
【答案】B
【分析】运用组合数的公式进行求解即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 ，
故选：B
3．四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识.每名志愿者只去1
个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．30种 C．36种 D．72种
【答案】C
【分析】将四名志愿者分成三个组，其中一组为2人，再由排列组合知识求解.
【详解】不同的安排方法共有 种.
故选：C
4．某中学招聘5位老师，其中安排2位老师去高一，安排2位老师去高二，安排1位老师去高三，则不同
的安排方法数有（ ）
A．30种 B．60种 C．90种 D．120种
【答案】A
【分析】从5位老师中任取2位去高一，再从余下的3位老师中任取2位去高二即可得解.
【详解】完成安排方法数的这件事需要3步：第一步，从5位老师中任取2位去高一有 种，
第二步，从余下的3位老师中任取2位去高二有 种，第三步，剩下1个人去高三有1种，
由分步计数乘法原理知：不同的安排方法数有 .
故选：A
5．一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全
部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为（ ）
A．24 B．12 C．120 D．60
【答案】A
【分析】根据题意，分3步分析：先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个
整体，最后将两个整体全排列，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，要求不使同类的书分开，即同类的书相邻，
先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有 种不同放法，
故选：A．
6．在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每
班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先从 人中选出 人平均分为 组，根据先分组再排序的原则结合分步乘法计数原理可得出结
果.
【详解】首先从 人中选出 人共 种，然后将 人平均分为 组共 种，
然后这两步相乘，得 ，将三组分配下去共 种.
故选：B.
【点睛】本题考查分组分配问题，涉及平均分组问题，考查计算能力，属于中等题.
二、多选题
7．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有
（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
【答案】ACD
【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原
理可知A正确，B错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的
取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD正确
【详解】解：由题意得：
对于A、B选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有 种取法，
7件合格品种抽取2件有 种取法，故共有 中取法，故A正确；
对于选项C：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合
格、有2件合格，共有 种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，共有 种取法；
③抽取的3件产品都不合格， 种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有
种，故B错误，C正确；
对于选项D：10件产品种抽取三件的取法有 ，抽出的3件产品中全部合格的取法有 种，抽出的3件
产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种，故D正确.
故选：ACD
8．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据组合数的概念和性质可得.
【详解】因 ，
得 ，或 ，
得 ，或 ，
故选：AB
三、填空题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9． 名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有
种.
【答案】
【解析】由题意判断出每个同学都有 种选择，则可得 名同学有 种.
【详解】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有 种选择，则 名同学共有
种报名方案.
故答案为： .
10．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不
同的参赛方案种数为 .
【答案】96
【分析】根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，①选出的4人没有甲；②选出的4人有甲；分
别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案
【详解】根据题意，从5名学生中选出4人分别参加竞赛，分2种情况讨论：
①选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有 种情况；
②选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三
科竞赛，有 ，则此时共有 种选法；
综上，总共有 种不同的参赛方案；
答案选D
【点睛】本题考查分类计数原理，属于基础题
11．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计
划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个
教师节目有 种不同排法（用数字作答）
【答案】42
【分析】用相对顺序已定的排列模型求解.
【详解】5个学生节目中增加2个教师节目，共有7个节目，把7个节目看成有顺序的7个位置，
将这7个位置挑出2个位置安排给2个教师节目，共有 种安排方法，再将剩下的5个位置安排给5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】个学生节目，因原来5个学生节目的出场顺序不变，故只有1种安排方法，故共有 种不同排法.
故答案为：42
12．用 个 ， 个 ， 个 组成一个十位数，则 个 连在一起的不同的十位数共有 个．
【答案】245
【分析】对首位数字排 或 进行分类讨论，并将 个 捆绑在一起，再考虑剩余数位 的安排，结合分步
乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果．
【详解】由于最前面不能排 ，∴要从 和 中选一个放在最前面，分以下两种情况讨论：
①若最前面排 ，将 个 捆绑在一起，不考虑首位，可形成 个元素，选择 个位置安排 个 ，再从剩余
的 个位置中选择 个位置排 ，则有 个；
②若最前面排 ，将 个 捆绑在一起，不考虑首位，可形成 个元素，选择 个位置安排 个 ，再从剩余
的 个位置中选择 个位置排 ，则有 个．
故 个 连在一起的不同的十位数共有 个．
四、解答题
13．判断下列问题是否为排列问题
（1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方
法？
（2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程
？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程 ?
（3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
【答案】（1）不是，是；（2）不是，是；（2）不是，是.
【分析】利用排列的定义判断即可，即判断与顺序是否有关
【详解】(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3
个座位安排三位客人是排列问题.
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】b的大小关系一定；在双曲线 中，不管a>b还是a
