文档文本内容
10.2 排列组合问题
思维导图
知识点总结
1．排列与组合的概念
名称 定义
并按照一定的顺序排成一列，叫做
从n个不同元素中取出m(m≤n)
排列 从n个不同元素中取出m个元素的
个元素
一个排列
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】作为一组，叫做从n个不同元素中
组合
取出m个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的排列数，用符号 A 表示．
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的组合数，记作 C .
3．排列数、组合数的公式及性质
(1)A＝ n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) ＝；
公式
(2)C＝＝ ＝ ( n，m∈N*，且m≤n)
性质 (1)A＝ n ！ ；(2)0！＝1；(3)C＝1，C＝ C ； (4)C＋C＝C
解决排列与组合问题的“四项基本原则”
(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位
置．
(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地
把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，
再进行分配．
典型例题分析
考向一 排列与排列数问题
【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排一排，女生必须站在一起；
(5)全体排一排，男生互不相邻；
(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排一排，甲必须排乙前面；
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端．
解 (1)A＝2520种方法．
(2)A＝5040种方法．
(3)解法一：先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600种方法．
解法二：先排排头和排尾有A种方法，其余位置有A种排法，故共有AA＝3600种方法．
(4)将女生看成一个整体，用捆绑法，共有AA＝576种方法．
(5)先排女生有A种，再将男生插空有A种，故共有AA＝1440种方法．
(6)将甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲、乙有A种方法，再排中间三人有A种方
法，最后将他们看作一个整体与剩下的2人全排列，有A种方法，故共有AAA＝720种方法．
(7)＝2520种方法．
(8)A－2A＋A＝3720种方法．
求解有限制条件排列问题的主要方法
直接法
选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，
分类法 分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出
总数
选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计
分步法
算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他
捆绑法
元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再
插空法
将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定
定序法
元素的全排列
间接法 对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】 1.用0,1,2,3,4,5这6个数字，
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?
解 (1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类，0在个位时，有A个；
第二类，2在个位时，千位从1,3,4,5中选定1个，有A种，十位和百位从余下的数字中选，
有A种，于是有AA个；
第三类，4在个位时，与第二类同理，也有AA个．
由分类加法计数原理得，共有A＋2AA＝156个．
(2)先排0,2,4，再让1,3,5插空，总的排法共AA＝144种，其中0在排头，将1,3,5插在后
3个空的排法共有AA＝12种，此时构不成六位数，故符合要求的六位数的个数为 144－12＝
132.
考向二 组合与组合数问题
【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队
长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)男生甲和女生乙当选；
(5)最多有两名女生当选．
解 (1)只有一名女生当选即有一名女生和四名男生当选，故共有CC＝350种．
(2)两队长当选，共有CC＝165种．
(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选和有两名队长当选．故共有 CC＋
CC＝825种(或采用间接法：C－C＝825种)．
(4)男生甲和女生乙当选，则需从剩余11人中选3人，有C＝165种．
(5)最多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选、只有一名女生当选和没有女生当选．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故共有CC＋CC＋C＝966种．
组合问题的常见类型及求解策略
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂
时，考虑逆向思维，用间接法处理．
【例3】圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形
的个数为( )
A．10 B．20
C．40 D．60
答案 D
解析 如图所示，10点连线中有5条为圆的直径，其每条直径分别有 4条弦与之平行，
可构成5×(C－2)＝40个梯形；10点连线中有5组与构成的5条直径不平行的4条平行弦，如
A A ∥A A ∥A A ∥A A ，可构成5×(C－2)＝20个梯形．由分类加法计数原理可知，共构成40
3 5 2 6 1 7 10 8
＋20＝60个梯形．故选D.
【变式】(多选)在某地实施的新高考改革方案中，选择性考试科目有物理、化学、生物、
政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门
科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物 4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总
分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这 6
门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A．若任意选科，选法总数为C
B．若化学必选，选法总数为CC
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
答案 BD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析 若任意选科，选法总数为CC，A错误；若化学必选，选法总数为CC，B正确；若
政治和地理至少选一门，选法总数为 C(CC＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一
门，选法总数为CC＋1，D正确．故选BD.
考向三 排列组合综合问题
【例4】 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．
解 (1)无序不均匀分组问题．先选 1本有C种选法；再从余下的 5本中选2本有C种选
法；最后余下3本全选有C种方法，故共有CCC＝60种．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分
配，共有CCCA＝360种．
(3)无序均匀分组问题．共有＝15种．
(4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种．
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以
A即可，共有＝15种．
(6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种．
解决分组、分配问题的策略
(1)对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
【变式】(多选)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，有翻译、导
游、礼仪、司机四项工作可以安排，每人安排一项工作，则以下说法错误的是( )
A．若每项工作不必都有人参加，则不同的方法数为54
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能
胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA＋CA
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同
方法数为(CC＋CC)A
答案 ABD
解析 对于A，安排5人参加4项工作，每人都安排一项工作，每人有 4种安排方法，则
有45种安排方法，故A错误；对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再
将分好的4组全排列，安排4项工作，有CA种安排方法，故B错误；对于C，根据题意，分
2 种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出 1 人开车，②从丙、丁、戊中选出 2 人开车，则有
CCA＋CA种安排方法，C正确；对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有＋种分组
方法，将分好的3组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有 A种情况，则有A种安排方法，D
错误．故选ABD.
基础题型训练
一、单选题
1． 可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】逆用排列数的公式求解.
【详解】解：由题意 . .
故选：B.
2． （ ）
A．40 B．56 C．168 D．336
【答案】B
【分析】运用组合数的公式进行求解即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 ，
故选：B
3．四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识.每名志愿者只去1
个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．30种 C．36种 D．72种
【答案】C
【分析】将四名志愿者分成三个组，其中一组为2人，再由排列组合知识求解.
【详解】不同的安排方法共有 种.
故选：C
4．某中学招聘5位老师，其中安排2位老师去高一，安排2位老师去高二，安排1位老师去高三，则不同
的安排方法数有（ ）
A．30种 B．60种 C．90种 D．120种
【答案】A
【分析】从5位老师中任取2位去高一，再从余下的3位老师中任取2位去高二即可得解.
【详解】完成安排方法数的这件事需要3步：第一步，从5位老师中任取2位去高一有 种，
第二步，从余下的3位老师中任取2位去高二有 种，第三步，剩下1个人去高三有1种，
由分步计数乘法原理知：不同的安排方法数有 .
故选：A
5．一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全
部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为（ ）
A．24 B．12 C．120 D．60
【答案】A
【分析】根据题意，分3步分析：先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个
整体，最后将两个整体全排列，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，要求不使同类的书分开，即同类的书相邻，
先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有 种不同放法，
故选：A．
6．在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每
班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先从 人中选出 人平均分为 组，根据先分组再排序的原则结合分步乘法计数原理可得出结
果.
【详解】首先从 人中选出 人共 种，然后将 人平均分为 组共 种，
然后这两步相乘，得 ，将三组分配下去共 种.
故选：B.
【点睛】本题考查分组分配问题，涉及平均分组问题，考查计算能力，属于中等题.
二、多选题
7．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有
（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
【答案】ACD
【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原
理可知A正确，B错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的
取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD正确
【详解】解：由题意得：
对于A、B选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有 种取法，
7件合格品种抽取2件有 种取法，故共有 中取法，故A正确；
对于选项C：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合
格、有2件合格，共有 种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，共有 种取法；
③抽取的3件产品都不合格， 种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有
种，故B错误，C正确；
对于选项D：10件产品种抽取三件的取法有 ，抽出的3件产品中全部合格的取法有 种，抽出的3件
产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种，故D正确.
故选：ACD
8．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据组合数的概念和性质可得.
【详解】因 ，
得 ，或 ，
得 ，或 ，
故选：AB
三、填空题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9． 名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有
种.
【答案】
【解析】由题意判断出每个同学都有 种选择，则可得 名同学有 种.
【详解】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有 种选择，则 名同学共有
种报名方案.
故答案为： .
10．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不
同的参赛方案种数为 .
【答案】96
【分析】根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，①选出的4人没有甲；②选出的4人有甲；分
别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案
【详解】根据题意，从5名学生中选出4人分别参加竞赛，分2种情况讨论：
①选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有 种情况；
②选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三
科竞赛，有 ，则此时共有 种选法；
综上，总共有 种不同的参赛方案；
答案选D
【点睛】本题考查分类计数原理，属于基础题
11．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计
划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个
教师节目有 种不同排法（用数字作答）
【答案】42
【分析】用相对顺序已定的排列模型求解.
【详解】5个学生节目中增加2个教师节目，共有7个节目，把7个节目看成有顺序的7个位置，
将这7个位置挑出2个位置安排给2个教师节目，共有 种安排方法，再将剩下的5个位置安排给5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】个学生节目，因原来5个学生节目的出场顺序不变，故只有1种安排方法，故共有 种不同排法.
故答案为：42
12．用 个 ， 个 ， 个 组成一个十位数，则 个 连在一起的不同的十位数共有 个．
【答案】245
【分析】对首位数字排 或 进行分类讨论，并将 个 捆绑在一起，再考虑剩余数位 的安排，结合分步
乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果．
【详解】由于最前面不能排 ，∴要从 和 中选一个放在最前面，分以下两种情况讨论：
①若最前面排 ，将 个 捆绑在一起，不考虑首位，可形成 个元素，选择 个位置安排 个 ，再从剩余
的 个位置中选择 个位置排 ，则有 个；
②若最前面排 ，将 个 捆绑在一起，不考虑首位，可形成 个元素，选择 个位置安排 个 ，再从剩余
的 个位置中选择 个位置排 ，则有 个．
故 个 连在一起的不同的十位数共有 个．
四、解答题
13．判断下列问题是否为排列问题
（1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方
法？
（2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程
？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程 ?
（3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
【答案】（1）不是，是；（2）不是，是；（2）不是，是.
【分析】利用排列的定义判断即可，即判断与顺序是否有关
【详解】(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3
个座位安排三位客人是排列问题.
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】b的大小关系一定；在双曲线 中，不管a>b还是a<b，方程 均表示焦点在x轴上的双
曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.
(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
14．现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.
(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？
(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先将7本书分成1本、2本、4本（不平均分组），再将三组作全排即可得结果；
（2）首先将7本书分成3本、2本、2本（部分平均分组），再将三组作全排即可得结果；
【详解】（1）首先将7本书分成1本、2本、4本，共三组有 种，
再将三组分给甲、乙、丙三人有 种，
所以共有 种.
（2）首先将7本书分成3本、2本、2本，共三组有 种，
再将三组分给甲、乙、丙三人有 种，
所以共有 种.
15．甲、乙、丙、丁4个公司承包6项工程，甲、乙公司均承包2项，丙、丁公司各承包1项，则共有多
少种承包方式？
【答案】180
【分析】根据给定条件利用分步乘法计数原理列式计算作答.
【详解】依题意，计算承包方式的种数需要3步：先从6项工程中任取2项给甲，有 种方法，
再从余下4项工程中任取2项给乙，有 种方法，
再从余下的2项工程任取1项给丙，有 种方法，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】然后将最后1项工程给丁，有1种方法，
由分步乘法计数原理得： ，
所以共有180种承包方式.
16．某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答）
(1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
(2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
【答案】(1)576种
(2)1440种
【分析】（1）因为是相邻问题，故利用捆绑法即可求得答案；
（2）由于3个舞蹈节目不相邻，故利用插空法即可求得答案.
【详解】（1）先将4首歌曲捆绑，四首歌曲内部全排列，有 种情况，
再将捆绑好的4首歌曲看做一个整体与3个舞蹈排序，有 种情况，
所以有 （种）不同的出场顺序.
（2）先将4首歌曲排好，有 种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，
有 种情况，所以有 1440（种）不同的出场顺序.
提升题型训练
一、单选题
1．以下四个问题中，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列
B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【解析】根据组合的概念即可判断.
【详解】只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.
故选：C.
2．在抗击新冠肺炎疫情过程中，中医药发挥了重要作用，特别是通过临床筛选出的“三药三方”有显著
的防治效果．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、
化湿败毒方、宣肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出“一药一方”的方法种
数为（ ）
A．15 B．30 C．6 D．9
【答案】D
【分析】根据计算原理计算组合数即可.
【详解】根据题意，某医生从“三药三方”中选出“一药”的选法有3种，选出“一方”的选法也有3种，
根据乘法原理则恰好选出“一药一方”的方法种数为 ，
故选：D．
3．在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中有一个“国际服务项目”，截止到2022年1
月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的方法
种数是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【分析】首先确定各单位名额互不相同的分配方式种数，再应用全排列求每种方式的分配方法数，即可得
结果.
【详解】各单位名额互不相同，则8个名额的分配方式有 、 两种，
对于其中任一种名额分配方式，将其分配给3个单位的方法有 种，
所以每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数为 种.
故选：B
4．1765年数学家欧拉在柏林皇家科学院的《学报》上发表了一个抽彩问题：设 张彩票编号从1至
，随机抽取三张，那么抽到三张彩票没有连续号码的概率为多少？该问题的结果用组合数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接法：相当于把三个相同的物品，插入到 个相同物品之间和两端共 个位置中，结合组
合数公式与古典概型公式求解；
间接法：求出抽到三张连续号码及抽到仅有两张连续号码的概率，从而可得抽到没有连续号码的概率.
【详解】直接法：相当于把三个相同的物品，插入到 个相同物品之间和两端共 个位置中，一种插
法对应一种抽取彩票的抽法，其概率为 .
间接法：抽到三张连续号码的概率为 ，
抽到仅有两张连续号码的概率为 ，
则抽到没有连续号码的概率为 ，
故选：A.
5．马路上有编号为1，2，3，…，9九盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏，也不能关
掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，用插空法计算.
【详解】先将亮的6盏灯排成一列，根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻，
则有5个符合条件的空位，
在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有 种情况，即有10种关灯方法.
故选：A.
6．长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），
则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用均匀分组的原理，再结合古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由已知条件得
将12人任意分成3组，不同的分组方法有 种，
3个种子选手分在同一组的方法有 种，
故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为 ，
故选： .
二、多选题
7．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为(
)
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】可以用两种方法求解：①分三类：3男1女，2男2女，1男3女；②用任选4人的方法数减去全
部为男生或全部为女生的方法种数.据此几何判断求解.
【详解】(1)分三类：3男1女，2男2女，1男3女，
∴男、女生至少各有1人参加的选法种数为 ．
(2)任选4人的方法种数为 ，其中全部为男生或全部为女生的方法种数为 ，
所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为 ．
故选：BC．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，
则（ ）
A．2张有奖券分给同一个人的概率是
B．2张有奖券分给不同的人的概率是
C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为
D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为
【答案】BD
【分析】先分组，再分配，结合分类加法计数原理以及古典概型的概率公式，即可得出答案.
【详解】对于A项，
将10张没有奖的奖券按照1，3，3，3分成三组，不同的分法种数为 ，
然后分配给4个人的分法为 ，
所以，2张有奖券分给同一个人的概率是 ，故A项错误；
对于B项，由A可得，2张有奖券分给不同的人的概率是 ，故B项正确；
对于C项，由A可知，2张有奖券都分给丙的概率是 ；
2张有奖券都分给丁的概率是 ；
若2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁
将10张没有奖的奖券按照2，2，3，3分成四组，不同的分法种数为 ，
然后分配给4个人的分法为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁的概率是 ，
所以，2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为 ，故C项错误；
对于D项，因为2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁的概率是 ，
同理可得，2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为 ，故D项正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：根据已知，先将抽奖券分组，然后再分配.
三、填空题
9．6个人排成一排，其中甲与乙必须相邻，而丙与丁不能相邻，则不同的排法种数有 种.
【答案】144
【分析】根据题意先分成3步：①将甲和乙看成一个整体，考虑甲和乙之间的顺序；②将甲和乙与除丙、
丁之外的2人看成两个元素做一个全排列；③将丙、丁两人利用插空法进行排列，然后利用乘法公式求解
即可.
【详解】解：由题意得：
第一步：将甲与乙绑定，两者的站法有2种；
第二步：将甲与乙两人看成一个整体，与除丙、丁之外的2人看成两个元素做一个全排列有 种站法，此
时隔开了4个空；
第三步：将丙、丁两人插入4个空，排法种数为
则利用乘法公式可知不同的排法种数为 .
10．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数共有
个．（用数字作答）
【答案】12
【分析】由分步乘法计数原理结合排列组合直接求解即可．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，
从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有 种可能，
故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为 ．
故答案为：12．
11．为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣10名志愿者去
三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排3个志愿者，则不同的安排方法共有
种．（用数字作答）
【答案】12600
【分析】先将10名志愿者分成（3,3,4）一组，再分配到三个乡村即可求出结果.
【详解】依题意，先将10名志愿者分成（3,3,4）一组，再分配到三个乡村，
则有 种安排方法.
故答案为：12600.
【点睛】关键点点睛：解排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分
配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复
或遗漏．
12．有7人站成一排照相，要求 ， 两人相邻， ， ， 三人互不相邻，则不同的排法种数为 .
【答案】288
【分析】将A、B捆绑作为一个整体排列，再与剩余2人全排列， 、 、 三人插空排列即可.
【详解】将A、B捆绑作为一个整体排列为 ，
将A、B整体与剩余2人全排列则 ，
再将 、 、 三人插入4个空位排列，则 ，
所以总的排列方法有 种，
故答案为：288.
【点睛】本题考查了排列中相邻、不相邻问题的解法，属于中档题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四、解答题
13．解下列方程：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)x=3
(2)x=6
【分析】（1）（2）根据排列数公式化简解方程即可．
【详解】（1）由排列数公式，原方程可化为 ，化简得
，解得 或 或 或 .
因为x满足
所以x的取值范围为 .所以原方程的解为 ．
（2）由 ，得 ，所以 .
化简得 ，解得 ， ．
因为 且 ，所以原方程的解为x=6．
14．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)210
(2)840
(3)210
(4)720
【分析】根据排列数公式计算可得.
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
15．有6名男医生，4名女医生．
(1)选3名男医生，2名女医生，让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗，共有多少种不同方法？
(2)把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生，则有多少种不同分法？若将这两组医生分派到两
地去，并且每组选出正副组长两人，又有多少种不同方案？
【答案】(1) ； (2)
【详解】试题分析：(1)本题中不仅要选出5名医生（元素），还要求分配到5个地区（空位），因此是一
道“既选又排”的排列组合综合问题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊
位置优先安排的原则．
（2）首先将分成以下两类情况第一类：一组中女医生1人，男医生4人，另一组中女医生3人，男医生2
人；第二类：两组中人数都有女医生2人男医生3人；最后将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正
副组长两人，是排列问题．
(1)分三步完成．
第一步：从6名男医生中选3名有 种方法；
第二步：从4名女医生中选2名有 种方法；
第三步：对选出的5人分配到5个地区有A种方法．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据分步乘法计数原理，共有 (种)．
(2)医生的选法有以下两类情况：
第一类：一组中女医生1人，男医生4人，另一组中女医生3人，男医生2人．共有 种不同的分法；
第二类：两组中人数都有女医生2人男医生3人．因为组与组之间无顺序，故共有 种不同的分法．
因此，把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生的不同的分法共有 种．
若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，则共有
种不同方案
考点：排列组合，计数原理
16． 某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操
和游泳两个比赛项目的场馆（每名大学生只参加一个项目的服务）.
（1）求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；
（2）设 分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记 ，求随机变量 的分布列和
数学期望 .
【答案】（1） ；（2）分布列见解析； .
【分析】（1）把 名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目的场馆共有 种不同的分配方
法，其中恰有 名被分配到体操项目的分法有 种，作比即可求得所求的概率；
（2）分析题意可知 的所有可能取值是 ，分别根据 取每个值所对应的 的值及其意义求得概率，
得到随机变量 的分布列和数学期望 .
【详解】解：（1）设5名学生中恰有 名被分到体操项目的事件为 （ ），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 .
（2） 的所有可能取值是1,3,5，
，
，
，
则随机变量 的分布列为
1 3 5
故随机变量 的数学期望 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
