文档内容
专题 10.1 统计
题型一 随机抽样
题型二 统计图表
题型三 频率分布直方图
题型四 计算众数、中位数、平均数
题型五 计算标准差及方差
题型六 均值及方差的性质
题型七 总体百分位数的估计
题型一 随机抽样
例1．（2023·江苏·高三专题练习）（多选）某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人.
为了获得该校全体高三学生的身高信息，现采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：
cm），计算得男生样本的均值为174，方差为16，女生样本的均值为164，方差为30.则下列说法正确的是
（ ）
A．如果抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有16人
B．该校全体高三学生的身高均值为171
C．抽取的样本的方差为44.08
D．如果已知男､女的样本量都是25，则总样本的均值和方差可以作为总体均值和方差的估计值
【答案】AC
【分析】利用分层抽样计算即可判断选项A；代入均值与方差公式即可判断选项BC；因为抽样中未按比
例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体
的估计不合适，可以判断D.
【详解】根据分层抽样，抽取25人作为样本，
则抽取的样本中男生有 正确；
样本学生的身高均值 ，B错误；
抽取的样本的方差为 ，C正确；因为抽样中未按比例进行分层抽样，
所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，
因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适.D错误.
故选：AC
2．（浙江省嘉兴市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，
产量分别为80件、60件、60件.为了检验产品的质量，现按分层抽样的方法从以上所有产品中抽取50件
进行检验，则应从丙型号产品中抽取（ ）
A．10件 B．15件 C．20件 D．30件
【答案】B
【分析】根据条件求出分层抽样的抽样比，由此可求出丙型号的产品中抽取的件数.
【详解】依题意，丙型号产品在分层抽样中的抽样比为 ，
所以，从丙型号的产品中抽取的件数是： .
故选：B
练习1．（2023春·河南开封·高三河南省杞县高中校联考阶段练习）（多选）下列情况不适合抽样调查的
有（ ）
A．调查一个县各村的粮食播种面积
B．了解一批炮弹的杀伤直径
C．了解高三（1）班40名学生在校一周内的消费
D．调查一批鱼苗的生长情况
【答案】AC
【分析】根据抽样调查、全面调查的定义判断即可.
【详解】对于A：调查一个县各村的粮食播种面积采用全面调查，故A错误；
对于B：了解一批炮弹的杀伤直径采用抽样调查，故B正确；
对于C：了解高三（1）班40名学生在校一周内的消费采用全面调查，故C错误；
对于D：调查一批鱼苗的生长情况采用抽样调查，故D正确；
故选：AC
练习2．（2023·江苏·高三专题练习）（多选）在分层随机抽样中，每个个体等可能地被抽取，下列说法错误的是（ ）
A．每层的个体数必须一样多
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足n＝n· (i＝1，2，…，k)，其中i是层数，n是样本量，
N是第i层所包含的个体数，N是总体容量
D．只要抽取的样本量一定，每层抽取的个体数没有限制
【答案】ABD
【分析】利用分层抽样的概念和性质分析判断每一个选项得解.
【详解】题干中强调每个个体等可能地被抽取即说明按比练习分配分层随机抽样，每层的个体数不一定都
相等，故A说法错误；
由于每层的容量不一定相等，若每层抽同样多的个体，从总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性不一
定相同，故B说法错误；
对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相
同的，故C说法正确；
每层抽取的个体数是有限制的，故D说法错误．
故选：ABD
练习3．（2023·高三单元测试）为了解学生身高情况，某校以 的比练习对全校700名学生按性别进行
分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
估计该校男生的人数为_________．
【答案】400
【分析】根据条形图计算出样本中男生所占比练习，再乘以总体容量即可得解.
【详解】由条形图可知，样本中男生的频数为 ，
样本中女生的频数为 ，样本中男生所占比练习为 ，
所以估计总体中男生所占比练习为 ，
所以估计该校男生的人数为 .
故答案为： .
练习4．（2023春·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）用分层抽样的方法从某高中学生中抽取1个容
量为45的样本，其中高三年级抽20人，高三年级抽10人．已知该校高二年级共有学生300人，则该校学
生总数为（ ）
A．900 B．1100
C．1200 D．1350
【答案】A
【分析】根据分层抽样的性质先求出抽样比，进而求解即可.
【详解】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高三年级抽20人，
高三年级抽10人，所以高二年级要抽取 人，
因为该校高二年级共有学生300人，所以每个个体被抽到的概率是 ，
所以该校学生总数是 ，
即该校学生总数为900人．
故选：A.
练习5．（2023·全国·高三专题练习）现要用随机数表法从总体容量为240(编号为001到240)的研究对象中
挑选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（ ）
32451 74491 14562 16510 02456 89640 56816 55464 41630 85621 05214 84513 12541 02145
A．5 B．44 C．165 D．210
【答案】D
【分析】由随机数表抽样方法可知答案.
【详解】由随机数表抽样方法可知，以3个数字为单位抽取数字，且数字不能大于240，且要去掉重复数
字，据此第一个数字为114，第二个为165，第三个为100，第4个为210.
故选：D题型二 统计图表
例3．（2023春·全国·高三专题练习）（多选）光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，
全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生
人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（ ）
A．选取的这部分学生的总人数为500人
B．合唱社团的人数占样本总量的
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
【答案】ABD
【分析】根据两个统计图表中的数据，先求出选取的总人数，然后再对选项进行逐一计算判断即可.
【详解】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10
所以选取的总人数为 人，故选项A正确.
合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的 ，故选B正确.
则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的
所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为 人，故选项C不正确.
选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75人，
所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125，选项D正确.
故选：ABD.
例4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）2022年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继
续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展
的新时代．如图是2022年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%），则关于
这10个月的统计数据，下列说法正确的是（ ）（注：同比，即和去年同期相比）A．这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台
B．这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台
C．自2022年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降
D．这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4
【答案】D
【分析】根据条形图结合中位数，平均数和极差定义分别判断各个选项即可.
【详解】将这10个月我国彩电月度产量（单位：万台）按从小到大排列依次为1513，1540，1553，
1650，1727，1783，1802，1846，1926，2097，
中位数为第5个数与第6个数的平均数，即 ，A错误；
这10个月我国彩电月度平均产量
万台，B错误;
自2022年9月起，我国彩电月度产量虽然逐月减少，但同比是与去年同月相比，
由同比增长率可知，9月、10月、11月的同比增长率均为正数，故月度产量同比有所增长，C错误；
由题图可知，这10个月产量的同比增长率的最大值与最小值分别为25.6%与－8.3%，
故其极差为 ，故D正确．
故选:D．练习6．（2023·全国·高三专题练习）2023年春运期间，某地交通部门为了解出行情况，统计了该地2023
年正月初一至正月初七的高速公路车流量（单位：万车次）及同比增长率（同比增长率=
），并绘制了如图所示的统计图，则下列结论中错误的是（
）
A．2023年正月初一至正月初七的车流量的极差为24
B．2023年正月初一至正月初七的车流量的中位数为18
C．2023年正月初一至正月初七的车流量比2022年同期车流量多的有4天
D．2022年正月初四的车流量小于20万车次
【答案】D
【分析】对于A，2023年车流量的最大值与最小值的差即为极差；
对于B，数据从小到大排列，中间的一个数或者中间两个数的平均数；
对于C，通过观察统计图的右侧增长率可得结果；
对于D，根据2023年正月初四的车流量以及同比增长率计算即可.，
【详解】对于A，由题图知，2023年正月初一至正月初七的车流量的极差为 ，故A正确；
对于B，易知2023 年正月初一至正月初七的车流量的中位数为18，故 B正确；
对于C，2023年正月初二、初五、初六、初七这4天车流量的同比增长率均大于0，所以2023年正月初一
至正月初七的车流量比2022年同期车流量多的有4天，故C正确；
对于D，2023年正月初四的车流量为18万车次，同比增长率为 ，设2022年正月初四的车流量为x万
车次，则 ，解得x=20，故D错误．
故选：D．
练习7．（2023·高三课时练习）在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分
高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如图是某次数学测试压轴题的第1，2问得分难度曲线图，第
1，2问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1，2问的平均难度，则下列说法正确的是（ ）
A．此题没有考生得12分
B．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏
C．分数在 的考生此大题的平均得分大约为 分
D．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差
【答案】B
【分析】根据折线统计图分析可得.
【详解】由图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，
分数越高的同学，第1问得分较分散，第2问得分比较集中，说明此题第1问比第2问更能区分学生数学
成绩的好与坏，故B正确.
因为有第1问和第2问均有人做出，可能是同一个人，故此题可能有考生得12分，故A错误；
分数在 的考生此大题的第1、2问的难度系数均为 ，故其平均得分大约为 分，故C
错误；
因为分数越高的同学，第1问得分高，故第 问得高分的学生更多，即第 问学生得分越分散，
而第 问得高分的学生相对较小，即第 问学生得分比较集中，
所以全体考生第1问的得分标准差大于第2问的得分标准差，故D错误.
故选：B．
练习8．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）下图反映2017年到2022年6月我国国有企业营
业总收入及增速统计情况根据图中的信息，下列说法正确的是（ ）
A．2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年增加
B．2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年下降
C．2017-2021年我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年
D．2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元
【答案】C
【分析】根据题意结合统计相关知识逐项判断即可.
【详解】因为2022下半年企业营业总收入未知，
所以无法判断2022年我国国有企业营业总收入是否增长，故A、B错误；
由图可知2017-2021年我国国有企业营业总收入增速依次为 ，
所以增速最快的是2021年，故C正确；
2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数为
亿元，
因为 ，故D错误.
故选：C.
练习9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线
图，根据该图，下列结论正确的是（ ）A．2023年1—2月份，商品零售总额同比增长9.2%
B．2022年3—12月份，餐饮收入总额同比增速都降低
C．2022年6—10月份，商品零售总额同比增速都增加
D．2022年12月，餐饮收入总额环比增速为-14.1%
【答案】C
【分析】根据折线图数据，结合同比与环比概念与数据波动情况的关系进行辨析即可.
【详解】对于A，2023年1—2月份，商品零售总额同比增长2.9%，故A错误；
对于B，2022年8月份，餐饮收入总额同比增速增加，故B错误；
对于C，2022年6—10月份，商品零售总额同比增速都增加，故C正确；
对于D，2022年12月，餐饮收入总额环比增速并未告知，故D错误．
故选C．
练习10．（2023·江苏·高三专题练习）随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极
大的发展，据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列
结论不正确的是（ ）A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C．近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240
D．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加
【答案】C
【分析】根据每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，即可判断选项A；根据近十年，
城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，即可判断选项B；由中位数的计算方法，
可得近十年农村居民国内游客人数的中位数，即可判断选项C；根据2012年到2019年，国内游客中城镇
居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，即可判断选项D.
【详解】由图可知，每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，
所以近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数，故选项A正确；
由图可知，近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，
所以由方差的意义可知，近十年城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差，故选项
B正确；
将近十年农村居民国内游客人数从小到大进行排列，
可得近十年农村居民国内游客人数的中位数为 ，故选项C错误；
由图可知，2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，
所以2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加，故选项D正确.
故选：C.
题型三 频率分布直方图
例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）样本容量为100的样本，其数据分布在 内，将样本数据分为4组： ， ， ， ，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（
）
A．样本数据分布在 内的频率为0.32
B．样本数据分布在 内的频数为40
C．样本数据分布在 内的频数为40
D．估计总体数据大约有 分布在 内
【答案】ABC
【分析】根据频率分布直方图一一分析可得.
【详解】对于A，由题图可得，样本数据分布在 内的频率为 ，故A正确；
对于B，由题图可得，样本数据分布在 内的频数为 ，故B正确；
对于C，由题图可得，样本数据分布在 内的频数为 ，故C正确；
对于D，由题图可估计，总体数据分布在 内的比例约为 ，故D错误．
故选：ABC
例6．（2023春·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）（多选）某学校为普及安全知识，对本校1500名
高三学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动（满分为100分）.现从中随机抽取100名学生的得分进行
统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（ ）A．图中 的值为0.017
B．该校高三至少有80%的学生竞赛得分介于60至90之间
C．该校高三学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人
D．该校高三学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80
【答案】ACD
【分析】根据频率分布直方图相关知识直接求解参数，从而判断A；计算得分介于60至90之间的频率，
从而判断B；根据得分不小于90的人数的频率从而估计整体，从而判断C；计算得分介于50至80之间的
频率，与0.75比较，从而判断第75百分位数与80的大小关系,进而判断D.
【详解】由频率分布直方图性质可得： ，解得 ，故A正确；
得分介于60至90之间的频率为 ，即该校高三至少有77%的学生竞赛得分
介于60至90之间，故B错误；
得分不小于90的人数估计为 ，故C正确；
得分介于50至80之间的频率为 ，故D正确.
故选：ACD
练习11．（2023·云南·校联考三模）（多选）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体
重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频
率分布直方图，则（ ）A．频率分布直方图中 的值为0.02
B．这100名学生中体重低于60千克的人数为80
C．估计这100名学生体重的众数为57.5
D．据此可以估计该校学生体重的 分位数约为
【答案】ACD
【分析】根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为 得到方程，求出 的值，再根据频率分布直方
图一一分析即可.
【详解】对于A：由 ，解得 ，故A正确；
对于B：这100名学生中体重低于60千克的人数为 人，故B错误；
对于C：估计这100名学生体重的众数为 ，故C正确；
对于D：由 ，所以该校学生体重的 分位数位于 内，
设 分位数为 ，则 ，解得 ，
故估计该校学生体重的 分位数约为 ，即D正确；
故选：ACD
练习12．（2023·高三单元测试）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了
了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．
请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
频
组别 分组 频率
数第1组 8
第2组 a
第3组 20
第4组
第5组 2 b
合计
频率分布直方图
(1)写出a，b，x，y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识
的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．
【答案】(1) ， ， ，
(2)
【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图计算可得结果；
（2）利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果.
【详解】（1）样本容量 ，所以第 组的频数为 ， ，
所以 ，
所以第 组的频率为 ，所以 ， ，
， .（2）由（1）可知，第4组共有4人，记为 ，第5组共有2人，记为 ．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有
，共15种情况．
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件 ，
有 ,共9种情况．
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是 ．
练习13．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技
能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分
之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法错误
的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间 内的学生有160人
B．图中x的值为0.020
C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7
D．这400名学生中成绩在80分及以上的人数占
【答案】B
【分析】根据直方图的定义结合中位数估计值求解即可.
【详解】由题意，成绩在区间 内的学生人数为 ，故A正确；
由 ，得 ，故B错误；设中位数为 ，前3个矩形面积之和为0.3，前四个矩形面积之和为0.6，
则 ，得 ，故C正确；
80分及以上分数的频率为 ，占总人数比练习为 ，故D正确;
故选：B.
练习14．（2023春·全国·高三专题练习）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数
据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在 三组内的学生中，用分层抽
样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在 内的学生中选取的人数应为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】利用小矩形的面积之和为 ，求出 ，再求出三组内的学生总数，根据抽样比即可求解.
【详解】 直方图中各个小矩形的面积之和为 ，
，解得 ，
由直方图可知 三个区域内的学生总数为
，
其中身高在[140，150]内的学生人数为 .
故选：A
练习15．（2023·高三课时练习）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示；其中成绩
分组区间是 ， ， ， ， .(1)求图中 的值；
(2)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数 与数学成绩相应分数段的人数 之比如表所示，求数学
成绩在 之外的人数.
分数段
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1可得；
（2）根据表中各分数段人数比，求出数学成绩在各分数段内的人数，结合样本容量即可得出所求.
【详解】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，
，解得 ，所以图中 的值为 ；
（2）数学成绩在 的人数为： （人）；
数学成绩在 的人数为： （人）；
数学成绩在 的人数为： （人）；
数学成绩在 ）的人数为： （人）；
所以数学成绩在 之外的人数为： （人）.
题型四 计算众数、中位数、平均数
例7．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）某中学举行了一次“环保知识竞赛”.为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样
本进行统计，按照 的分组作出如下的频率分布直方图.
(1)若 ，估计本次竞赛学生成绩的平均数（同一组中的数据用组中值代表）；
(2)若样本中位于 的成绩共有2个， ，估计本次竞赛学生成绩的中位数.
【答案】(1)70.6
(2)71
【分析】（1）根据频率分布直方图求平均数即可;
（2）先根据已知求出x,y,再根据频率分布直方图求中位数即可;
【详解】（1） ，
平均数为：
（2）
设中位数为 ，
前两组频率和为
前三组频率和为 ,
则 ，解得
例8．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知x是1，2，x，4，5这5个数的中
位数，又知 ，5， ，y这四个数据的平均数为3，则 的最小值为______．
【答案】12【分析】根据中位数得到 ，根据平均数得到 ，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】x是1，2，x，4，5这5个数的中位数，故 ；
，5， ，y这四个数据的平均数为3，故 ，即 ，
，当且仅当 时等号成立.
故答案为：12
练习16．（2023·全国·高三专题练习）（多选）某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个
工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
45 52 59 48 41 62 48 50 52 27
则这组数据的（ ）
A．众数是48 B．中位数是48 C．极差是37 D．5%分位数是25
【答案】AB
【分析】利用众数，中位数，极差和百分位数的定义进行判断即可.
【详解】这组数据中48出现了3次，出现次数最多，因此众数是48，A正确；
从小到大排列20个数据分别为25，27，28，38，39，41，42，45，47，
48，48，48，50，52，52，53，56，59，62，63，第10位和第11位均为48，
两者的平均数也是48，因此中位数是48，B正确；
最大值为63，最小值为25，因此极差为 ，C错误；
是整数， 分位数应取第1位与第2位的平均值，即25与27的平均值26，D错误．
故选：AB．
练习17．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知 ，若数据1，2，3， ， 的中位数与
平均数均为 ，则点 （ ）
A．在直线 右下方，在直线 右下方B．在直线 左上方，在直线 左上方
C．在直线 右下方，在直线 左上方
D．在直线 左上方，在直线 右下方
【答案】A
【分析】由题得数据2，3， 从小到大的顺序排列为 ， 在 的左边，求出 和 ，
再利用线性规划求解.
【详解】由题得数据2，3， 从小到大的顺序排列为 ， 在 的左边，
因为 ，所以点 在直线 右下方.
由题得 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以 ,
所以点 在直线 右下方.
故选：A
练习18．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）下图是根据某班学生体育测试成绩画出的频率分
布直方图，由直方图得到的中位数为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】首先判断出中位数落在哪一组，再设中位数为 ，列出方程，求解即可．
【详解】由图可知，第一组的频率为： ，
前两组的频率为： ，
前三组的频率为： ，
所以中位数在 内，设中位数为 ，
则 ，解得 ，
故选：D．
练习19．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）某高中体育教师从甲、乙两个班级中分
别随机抽取女生各15名进行原地投掷铅球测试，并将每名学生的测试成绩制成如图所示的茎叶图.以样本
估计总体，下列说法错误的是（ ）
A．甲班女生成绩的中位数与乙班女生成绩的中位数大致相同
B．从甲班女生中任取1人，她的成绩不低于8.2的概率大于0.2
C．乙班女生成绩的极差大于甲班成绩的极差
D．乙班女生成绩不低于7.5的概率约为0.6
【答案】C
【分析】根据茎叶图结合中位数、极差的概念判断AC，利用古典概型的概率公式判断BD.
【详解】由茎叶图可知甲班女生样本的成绩的中位数为7.7，乙班女生样本的成绩的中位数为7.6，因为两
者很接近，所以A说法正确；
甲班女生样本的成绩不低于8.2的有5人，所以甲班女生样本的成绩不低于8.2的概率为 ，所以
B说法正确；
乙班女生样本的成绩的极差为 ，甲班女生样本的成绩的极差为 ，
因为两者样本极差很接近，所以乙班女生成绩的极差和甲班成绩的极差大小不一定，所以C说法不正确；
乙班女生样本的成绩不低于7.5的有9人，所以乙班女生样本的成绩不低于7.5的概率为 ，所以D说法正确.
故选：C
练习20．（2023春·山东滨州·高三山东省北镇中学校联考阶段练习）某高校为了对该校研究生的思想道德
进行教育指导，对该校120名研究生进行考试，并将考试的分值（百分制）按照
分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．已知 ，分值在
的人数为15．
(1)求图中 的值；
(2)若思想道德分值的平均数、中位数均超过75分，则认为该校研究生思想道德良好，试判断该校研究生
的思想道德是否良好．
【答案】(1) ， ，
(2)该学校研究生思想道德良好．
【分析】（1）根据频率确定 ，再根据频率和为1计算得到答案.
（2）分别根据公式计算平均数和中位数，比较得到答案.
【详解】（1）分值在 的人数为15人，所以 的频率为 ，即 ．
，又 ，所以 ，
解得 ， .
（2）这组数据的平均数为：
，
前 组频率和为 ，前 组频率和为 ，
故这组数据的中位数 满足 ，解得 ，
所以该学校研究生思想道德良好．
题型五 计算标准差及方差
例9．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）已知 这5个数的平均数为
3，方差为2，则 这4个数的方差为___________.
【答案】 /1.25/
【分析】根据 这5个数的平均数求出 这4个数的平均数，再利用公式计算出
和 这4个数的方差.
【详解】因为 这5个数的平均数为3，方差为2，
所以 ，即 ，
所以 这4个数的平均数为 ，
所以 ，即 ，
所以 这4个数的方差为
故答案为：
例10．（2023·江苏·高三专题练习）在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：
平均分
班级 人数 方差
数
甲 40 70 5
乙 60 80 8
则两个班所有学生的数学成绩的方差为（ ）．A．6.5 B．13 C．30.8 D．31.8
【答案】C
【分析】由表格的数据求出两个班所有学生的数学平均分数，再根据方差公式计算两个班所有学生的数学
成绩的方差．
【详解】因为甲班平均分数为 ，乙班平均分数为 ，
所以两个班所有学生的数学平均分数为 ，
所以两个班所有学生的数学成绩的方差为：
.
故选：C
练习21．（2023·江苏·高一专题练习）某学校共有学生2000人，其中高三800人，高二、高三各600人，
学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为 ，方差为
，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为 ， ， ，又已知高三年
级、高二年级每天读书时间的方差分别为 ， ，则高三学生每天读书时间的方差 ________.
【答案】3
【分析】由题目中的条件以及分层抽样中方差公式即可解答.
【详解】由题意可得， ,
解得 .
故答案为：3.
练习22．（2023春·全国·高三专题练习）某班共有40名学生，其中23名男生的身高平均数为 ，方差为28；17名女生的身高平均数为 ；若全班学生的身高方差为62，则该班级女生身高的方差为
________．
【答案】
【分析】求出班级平均身高，然后利用方差的性质可解.
【详解】由题意可知，所有学生的平均身高为： ，设班级女生身高的方差为 ，
则 ，
所以 ，即该班级女生身高的方差为 .
故答案为： .
练习23．（2023春·山东滨州·高三山东省北镇中学校联考阶段练习）已知一组数据1，2， ，4，5的平
均数为3，则这组数据的方差为__________．
【答案】2
【分析】先根据平均数计算出 的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.
【详解】依题意 ，所以方差为
.
故答案为： .
练习24．（2022秋·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）在某市举行的唱歌比赛中，5名专业人士和5
名观众代表组成一个评委小组，给参赛选手打分．这10个分数的平均分为8分，方差为12．若去掉一个
最高分10分和一个最低分6分，则剩下的8个分数的方差为__________．
【答案】
【分析】设这 个分数分别为 ，平均数为 ，方差为 ， 的平均数为 ，方差
为 ，由 ，可得 ，从而得到 ，得到 ，代入
即可.【详解】设这 个分数分别为 ，
平均数为 ，方差为 ，
的平均数为 ，方差为 ，
所以 ，
则 ，
则 ，
即 ，则 ，
所以 .
故答案为：
练习25．（2023春·安徽·高三安徽省颍上第一中学校联考阶段练习）小明在整理数据时得到了该组数据的
平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为
19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为 ，方差为 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】不妨记更正前该组数据为： ，然后根据平均数和方差公式先求出
，再利用公式即可求得更正后的平均数和方差.
【详解】不妨记更正前该组数据为： ，
则更正后的数据为： .
由题可知， ，
整理得 .所以 ，
.
故选：D
题型六 均值及方差的性质
例11．（2023春·全国·高三专题练习）若数据 ， ， ， ， 的方差为 ，则数据 ，
， ， ， 的方差为________．
【答案】
【分析】由方差的性质可直接求得结果.
【详解】因为数据 ， ， ， ， 的方差为 ，
由方差的性质可知数据 ， ， ， ， 的方差为 .
故答案为： .
例12．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知一组数据 的平均数为 ，标准差为 .若
的平均数与方差相等，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平均数与方差的性质，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知， ，则 .
因为 ，
所以 ，解得 .
令设 ，则 ，
从而 ，
由二次函数的性质知，对称轴为 ，开口向下，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得最大值为 .
故选：A.
练习26．（2023·全国·高三专题练习）已知样本数据 的平均数与方差分别是 和 ，若
，且样本数据的 平均数与方差分别是 和 ，则
________.
【答案】100
【分析】首项根据平均数和方差的相关性质列出方程，求出 ，再利用平均数和方差的关系式求出
.
【详解】由题意得： ，解得： ，
所以 ，
，
化简得： ，.
故答案为：100
练习27．（2023春·山西·高三统考阶段练习）已知一组数据 的平均数为6，方差为9，则另
一组数据 的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平均数与方差的性质求解即可.
【详解】因为 的平均数为6，方差为9，
所以 的平均数为 ，方差为 ．
故选：A
练习28．（2023·江苏·高三专题练习）若一组样本数据 、 、 、 的平均数为 ，另一组样本数据
、 、 、 的方差为 ，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】计算出 、 的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.
【详解】由题意可知，数据 、 、 、 的平均数为 ，则 ，则
所以，数据 、 、 、 的平均数为
，
方差为 ，所以， ，
将两组数据合并后，新数据 、 、 、 、 、 、 、 的平均数为
，
方差为
.
故选：A.
练习29．（2023·全国·高三专题练习）经过简单随机抽样获得的样本数据为 ，且数据
的平均数为 ，方差为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据 ，方差 ，则所有的数据 都为0
B．若数据 ，的平均数为 ，则 的平均数为6
C．若数据 ，的方差为 ，则 的方差为12
D．若数据 ，的 分位数为90，则可以估计总体中有至少有 的数据不大于90
【答案】C
【分析】根据数据的平均数，方差，百分位数的性质逐项进行检验即可判断.
【详解】对于 ，数据 的方差 时，说明所有的数据 都相等，但不一定为 ，故
选项 错误；
对于 ，数据 ，的平均数为 ，数据 的平均数为 ，故选项
错误；
对于 ，数据 的方差为 ，数据 的方差为 ，故选项 正确；对于 ，数据 ，的 分位数为90，则可以估计总体中有至少有 的数据大于或等于90，
故选项 错误，
故选： .
练习30．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知样本 ： ， ，…， 的均值为4，标准差为
m，样本 ： ， ，…， 的均值为3，方差为4，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．样本 和样本 的极差相同 D．样本 和样本 的中位数相同
【答案】AC
【分析】若给定一组数据 ， ，…， ， ，其平均数为 ，方差为 ，则 ， ，…， 的
平均数为 ，方差为 ， ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，求出 ， ，
， ，再比较极差及中位数即可判断各选项.
【详解】选项A，B，设样本 ， ，…， 的均值为 ，方差为 ，极差为M，中位数为q，则 ，
则 ， ， ，
所以 ， ， ， ，故A正确，B错误；
选项C，样本 ： ， ，…， ；样本 ： ， ，…， ，可得样本 和样本 的
极差相等，故C正确；
选项D，设样本 的中位数为 ，样本 的中位数为 ，故D错误；
故选：AC.
题型七 总体百分位数的估计
例13．（2023春·河南·高三校联考期末）有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，
74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98，则其25%分位数与75%分位数的和为（ ）A．144 B．145 C．148 D．153
【答案】C
【分析】由百分位数的定义求解即可.
【详解】因为 ，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；
因为 ，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82.
所以25%分位数与75%分位数的和为 .
故选：C.
例14．（2023春·全国·高三专题练习）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成
长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名
学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列
结论正确的是（ ）
A．样本的众数为65 B．样本的第80百分位数为72.5
C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于 的学生大约为1000人
【答案】B
【分析】根据众数，百分位数，平均数的定义判断A，B，C，再求低于 的学生的频率，由此估计总
体中体重低于 的学生的人数，判断D.
【详解】由频率分布直方图可得众数为 ，A错误；
平均数为 ，C错误；
因为体重位于 的频率分别为 ，
因为 ，
所以第80百分位数位于区间 内，设第80百分位数为 ，
则 ，
所以 ，即样本的第80百分位数为72.5，B正确；样本中低于 的学生的频率为 ，
所以该校学生中低于 的学生大约为 ，D错误；
故选：B.
练习31．（2023春·全国·高三专题练习）某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众
数、平均数、第一四分位数分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（注：同一组中数据用该组
区间中点值近似代替）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据频率分布直方图中众数、平均数及百分位数计算规则计算即可判断.
【详解】由频率分布直方图可知众数为 ，即 ，
平均数 ，
显然第一四分位数位于 之间，则 ，解得 ，
所以 .
故选：A
练习32．（2023春·陕西西安·高三西安市黄河中学校联考阶段练习）互不相等的5个正整数从小到大排序为 ，若它们的和为25，且其 分位数是 分位数的1.5倍，则 的值可以为__________.
（写出一个满足条件的即可）
【答案】8（或11或12，写对一个即可）
【分析】这组数据的 分位数为 ，这组数据的 分位数为 ，据题意 ，再根据
可得 ，对 分情况讨论可得答案.
【详解】这组数据的 分位数为 ，这组数据的 分位数为 ，
据题意有 ，即 ，
因为 ，即 ，所以 .
若 ，则 ，无法找到满足题意的 和 ；
若 ，则 ，可得 ，所以 ，则 或 ；
若 ，则 ，可得 ，所以 ，则 .
故 的值为8或11或12.
故答案为： 8（或11或12写对一个即可）.
练习33．（2023春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）下表是足球世界杯连续八届的进球总数
200 201
年份 1994 1998 2006 2010 2014 2022
2 8
进球总
141 171 161 147 145 171 169 172
数
则进球总数的第一四分位数是（ ）
A．145 B．146 C．147 D．166
【答案】B
【分析】根据百分位数的定义将数据按照从小到大的顺序重新排列，取第二和第三个数的平均数即可求得
第一四分位数.【详解】将八届进球总数按照从小到大的顺序重新排列为：
，由 可得，
第一四分位数应该是第二个数和第三个数的平均数，
即 ，所以进球总数的第一四分位数是146.
故选：B
练习34．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）（多选）某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，
对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信
息，下列说法正确的是（ ）
A．图中的 值为0.020 B．这组数据的第80百分位数约为86.67
C．这组数据平均数的估计值为82 D．这组数据中位数的估计值为75
【答案】AB
【分析】对于A选项，由频率直方图的各组频率之和等于 ，得到关于 的方程，解方程即可；对于B选
项，由百分位数的定义计算即可；对于C选项，频率分布直方图中，数据平均数的估计值等于各组区间中
点值乘各组对应的频率之和；对于D选项，先计算中位数所在区间，再利用中位数对应频率为 即可求
解.
【详解】由频率之和为1得： ，
解得： ，A正确；
前三个矩形面积和为0.6，前四个矩形面积和为0.9，
所以这组数据的第80百分位数约为 ，故B正确；
这组数据平均数的估计值为 ，C不正确；
由频率分布直方图可知， 的频率为 ，的频率为 ，则中位数在 内，
所以这组数据中位数的估计值为 ，所以D不正确；
故选：AB
练习35．（江西省南昌市2022-2023学年高一上学期选课走班调研检测（期末）数学试题）在某次数学测
验中，5位学生的成绩分别为：70，85，t，82，75，若他们的平均成绩为81，则他们成绩的 分位数为
________．
【答案】85
【分析】根据百分位数的定义求解即可．
【详解】由题意知 ，
解得 ，
把这组数据按从小到大的顺序记为：70，75，82，85，93，
指数 ，这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第四个数，
因此，这组数据的75%分位数为85．
故答案为：85．
