文档内容
10.2 排列组合问题
思维导图
知识点总结
1．排列与组合的概念
名称 定义
并按照_____排成一列，叫做从n个
从n个不同元素中取出m(m≤n)
排列 不同元素中取出m个元素的一个排
个元素
列_____，叫做从n个不同元素中取出
组合
m个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____的个数，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的排列数，用符号_____表示．
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_____的个数，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的组合数，记作 _____.
3．排列数、组合数的公式及性质
(1)A＝_____＝__________；
公式
(2)C＝＝_____＝_____(n，m∈N*，且m≤n)
(1)A＝_____；(2)0！＝_____；(3)C＝_____，C＝ _____；
性质
(4)C＋C＝_____
解决排列与组合问题的“四项基本原则”
(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位
置．
(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地
把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，
再进行分配．
典型例题分析
考向一 排列与排列数问题
【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排一排，女生必须站在一起；
(5)全体排一排，男生互不相邻；
(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排一排，甲必须排乙前面；
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端．
求解有限制条件排列问题的主要方法
直接法
选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，
分类法 分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出
总数
选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计
分步法
算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他
捆绑法
元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再
插空法
将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定
定序法
元素的全排列
间接法 对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法
【变式】 1.用0,1,2,3,4,5这6个数字，
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?考向二 组合与组合数问题
【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队
长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)男生甲和女生乙当选；
(5)最多有两名女生当选．
组合问题的常见类型及求解策略
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂
时，考虑逆向思维，用间接法处理．
【例3】圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形
的个数为( )
A．10 B．20
C．40 D．60
【变式】(多选)在某地实施的新高考改革方案中，选择性考试科目有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门
科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物 4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总
分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这 6
门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A．若任意选科，选法总数为C
B．若化学必选，选法总数为CC
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
考向三 排列组合综合问题
【例4】 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．
解决分组、分配问题的策略
(1)对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.【变式】(多选)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，有翻译、导
游、礼仪、司机四项工作可以安排，每人安排一项工作，则以下说法错误的是( )
A．若每项工作不必都有人参加，则不同的方法数为54
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能
胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA＋CA
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同
方法数为(CC＋CC)A
基础题型训练
一、单选题
1． 可表示为（ ）
A． B． C． D．
2． （ ）
A．40 B．56 C．168 D．336
3．四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识.每名志愿者只去1
个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．30种 C．36种 D．72种
4．某中学招聘5位老师，其中安排2位老师去高一，安排2位老师去高二，安排1位老师去高三，则不同
的安排方法数有（ ）
A．30种 B．60种 C．90种 D．120种5．一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全
部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为（ ）
A．24 B．12 C．120 D．60
6．在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每
班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有
（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
8．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9． 名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有
种.
10．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不
同的参赛方案种数为 .
11．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计
划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个
教师节目有 种不同排法（用数字作答）12．用 个 ， 个 ， 个 组成一个十位数，则 个 连在一起的不同的十位数共有 个．
四、解答题
13．判断下列问题是否为排列问题
（1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方
法？
（2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程
？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程 ?
（3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
14．现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.
(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？
(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？
15．甲、乙、丙、丁4个公司承包6项工程，甲、乙公司均承包2项，丙、丁公司各承包1项，则共有多
少种承包方式？
16．某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答）
(1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
(2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
提升题型训练
_
一、单选题
1．以下四个问题中，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列
B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地
2．在抗击新冠肺炎疫情过程中，中医药发挥了重要作用，特别是通过临床筛选出的“三药三方”有显著
的防治效果．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、
化湿败毒方、宣肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出“一药一方”的方法种
数为（ ）
A．15 B．30 C．6 D．9
3．在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中有一个“国际服务项目”，截止到2022年1
月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的方法
种数是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
4．1765年数学家欧拉在柏林皇家科学院的《学报》上发表了一个抽彩问题：设 张彩票编号从1至
，随机抽取三张，那么抽到三张彩票没有连续号码的概率为多少？该问题的结果用组合数
可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．马路上有编号为1，2，3，…，9九盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏，也不能关
掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（ ）
A． B． C． D．
6．长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），
则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为(
)
A． B．
C． D．8．现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，
则（ ）
A．2张有奖券分给同一个人的概率是
B．2张有奖券分给不同的人的概率是
C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为
D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为
三、填空题
9．6个人排成一排，其中甲与乙必须相邻，而丙与丁不能相邻，则不同的排法种数有 种.
10．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数共有
个．（用数字作答）
11．为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣10名志愿者去
三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排3个志愿者，则不同的安排方法共有
种．（用数字作答）
12．有7人站成一排照相，要求 ， 两人相邻， ， ， 三人互不相邻，则不同的排法种数为 .
四、解答题
13．解下列方程：
(1) ；
(2) .
14．计算：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
15．有6名男医生，4名女医生．
(1)选3名男医生，2名女医生，让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗，共有多少种不同方法？
(2)把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生，则有多少种不同分法？若将这两组医生分派到两
地去，并且每组选出正副组长两人，又有多少种不同方案？
16． 某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操
和游泳两个比赛项目的场馆（每名大学生只参加一个项目的服务）.
（1）求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；
（2）设 分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记 ，求随机变量 的分布列和
数学期望 .
