文档内容
专题 10.3 两个计数原理、排列与组合
题型一 分类及分步的简单应用
题型二 排列数及组合数问题
题型三 捆绑法及插空法
题型四 倍缩法
题型五 隔板法
题型六 特殊元素法
题型七 染色问题
题型八 平均分组问题
题型九 部分平均分组问题
题型一 分类及分步的简单应用
例1．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些
与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气
和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）
A．90 B．180 C．270 D．360
例2．有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不
排在第四节，共有_____种不同的安排方法．（用数字回答）练习1．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉
古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有7部产生于魏晋南北朝时期．
某校拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程的学习内容，则所选2部专著中至少有1部是
魏晋南北朝时期的情况共有（ ）
A．42种 B．39种 C．10种 D．35种
练习2．甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有_____
种承包方式（用数字作答）.
练习3．从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组
中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有_____种不同的选法.（用数字作答）
练习4．2014年国务院印发《关于深化考试招生制度改革意见》，福建省在2021年高考进入“3+1+2”选科
模式，即语文、数学、英语三门必考，物理和历史二选一，化学、政治、生物、地理四选二，在此规则下，
学生共有_____种选科方式.
练习5．有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐
租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一
个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为_____.
题型二 排列数及组合数问题
例3．已知 （ ，且 ），则 （ ）
A．28 B．42 C．43 D．56
例4．（1）解不等式 ．
（2）若 ，求正整数n．练习6．（多选）满足不等式 的 的值可能为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．10
练习7．已知 ，求n.
练习8．计算：
(1)若 ，求
(2)若 ，求
练习9．（1）解方程：
（2）解不等式 ；
练习10．（1）若 ，则x=_____.
（2）不等式 的解集为_____.
题型三 捆绑法及插空法
例5．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、
“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法例6．澉浦“八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋
鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中
“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ）
A．480 B．240 C．384 D．1440
练习11．要从甲、乙等8人中选5人在座谈会上发言，若甲乙都被选中且他们发言中间恰好间隔一人，那
么不同的发言顺序共有_____种．（用数字作答）
练习12．（多选）我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通
高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展（X）、体艺特长
（T）、实践创新（S）、生涯规划（C）、国际视野（I）、公民素养（G）、大学先修（D）、PBL项目
课程（P）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（
）
A．某学生从中选3类，共有56种选法
B．课程“X”“T”排在不相邻两天，共有 种排法
C．课程中“S”“C”“I”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“I”的中间，共有720种排法
D．课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有 种排法
练习13．一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中，有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻
空位不相邻，共有几种坐法？
练习14．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像
（排成一排）.
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？练习15．一天课程表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有_____
种；要使数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有_____种．
题型四 倍缩法
例7．某学习小组 、 、 、 、 、 、 七名同学站成一排照相，要求 与 相邻，并且 在 的
左边， 在 的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A． B． C． D．
例8．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会
计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2
个教师节目有_____种不同排法（用数字作答）
练习16．小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的
8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（ ）
A．2760 B．3180 C．3200 D．3360
练习17．五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等5名同学
参加，抽签确定出场顺序．在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率
为（ ）．
A． B． C． D．
练习18．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡
脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子
净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．36种 D．72种
练习19．（多选）用3，4，5，6，7，9六个数字组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（ ）
A．这样的六位数共有720个B．在这样的六位数中，偶数共有240个
C．在这样的六位数中，4，6不相邻的共有144个
D．在这样的六位数中，4个奇数数字从左到右、从小到大排序的共有30个
练习20．甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，
且甲在乙之前，则不同的排列方式共有_____种.
题型五 隔板法
例9．方程 的非负整数解的组的个数为（ ）
A． B．
C． D．
例10．现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为_____.
练习21．在空间直角坐标系 中， ，则三棱锥 内部整点(所有坐
标均为整数的点，不包括边界上的点)的个数为（ ）
A．35 B．36 C．84 D．21
练习22． 的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
练习23．（多选）把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，则（ ）
A．每个盒子中至少放1个小球的放法共有35种
B．有空盒的放法共有161种
C．恰有1个空盒的放法共有21种
D．编号为2的盒子中至少放2个小球，其他3个盒子每个盒子至少放1个小球的放法共有20种练习24．在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，
因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的
数称为“英雄数”（比如1223， ，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有_____个
（用数字回答）
练习25．用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为
“长久数”，则“长久数”一共有_____个．
题型六 特殊元素法
例11．第 届世界大学生夏季运动会于 月 日至 月 日在成都举办，现在从 男 女共 名青年志愿
者中，选出 男 女共 名志愿者，安排到编号为 、 、 、 、 的 个赛场，每个赛场只有一名志愿者，
其中女志愿者甲不能安排在编号为 、 的赛场，编号为 的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有
（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
例12．为了纪念世界地球日，复兴中学高三年级参观了地球自然博物馆，观后某班级小组7位同学合影，
若同学 与同学 站在一起，同学 站在边缘，则同学 不与同学 或 相邻的概率为_____．
练习26．从0，1，2，…，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242．这样
的四位数共有（ ）
A．1692个 B．3672个 C．3708个 D．3888个
练习27．用0，1，2，3，4，5共6个数字，可以组成_____个没有重复数字的六位奇数．
练习28．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等.数学上具有这样特征
的一类数称为“回文数”.“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在
所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有_____个．（用数字作答）练习29．某34人班级派5人参观展览，班级里有11人喜欢唱，4人喜欢跳，5人喜欢rap，14人喜欢篮球，
每个人只喜欢一种.5人站一队参观，但是当队伍中第 个人分别喜欢唱、跳、rap、篮球时，
上述4人会讨论蔡徐坤，展览馆不希望有人讨论蔡徐坤.当且仅当两个队伍中至少有一个位置上的人的喜好
不同，两个队伍才被认为是不同的，则满足上述条件的不同的排队方案数为_____.
练习30．现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则
符合要求的排列方法共有_____种
题型七 染色问题
例13．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同
一种果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120 B．360 C．420 D．480
例14．在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄
稼，共有（ ）种植方式．
A．240种 B．300种 C．360种 D．420种
练习31．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种
不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，
则不同的布置方案有（ ）A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种
练习32．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞
面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求
每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色
相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种
练习33．（多选）如图，用 种不同的颜色把图中 四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种
颜色，则（ ）
A．
B．当 时，若 同色，共有48种涂法
C．当 时，若 不同色，共有48种涂法
D．当 时，总的涂色方法有420种练习34．有三种不同颜色供选择，给图中六个格子涂色，相邻格子颜色不能相同，共有_____种不同的涂
色方案.
练习35．用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻
的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有_____种．
题型八 平均分组问题
例15．新高考按照“ ”的模式设置，其中“3”为语文，数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物
理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物，政治，地理4门科目中选考2门科目，若
学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
例16．临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联
两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1
副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为_____．
练习36．某冷饮店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四
位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（ ）
A． B． C． D．
练习37．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将
“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入
运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安
排方法有（ ）
A．450种 B．360种 C．90种 D．70种
练习38．在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行
工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（ ）
A．450种 B．180种 C．720种 D．360种
练习39．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等
名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
练习40．近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5个不同的猫笼﹐金渐层猫3只（猫妈妈和2只
小猫嶲）、银渐层猫4只、布偶猫1只．该猫舍计划将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，4只银渐层猫每2
只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有（ ）
A．8种 B．30种 C．360种 D．1440种
题型九 部分平均分组问题
例17．教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了
5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派
方法数有（ ）种
A．25 B．60 C．90 D．150
例18．为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题进行改编，
则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为（ ）
A．144 B．120 C．150 D．180
练习41．某中学举行全区教研活动，有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，则教研活动当天不同的排班种数为（ ）
A． B．
C． D．
练习42．有6名同学要分到4个不同的单位去实习，要求每个单位至少接收1名同学，则不同的分配方法
有_____种．
练习43．习近平总书记强调说，调查研究是谋事之基、成事之道.琼中县委、县政府根据党中央、国务院
《关于在全党大兴调查研究的工作方案》文件精神，决定派出7人分成3个小组，到3个乡镇开展调查研
究工作，其中2个小组各2人，1个小组3人，则不同的安排方法共有_____.
练习44．为了落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某校开设 三门德育校本课程，现有甲､乙､
丙､丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法
有_____.
练习45．有3名党员干部到5个贫困户家里扶贫，每名党员干部至少帮扶一个贫困户，且每个贫困户家里
有且仅有一名党员干部帮扶，则共有_____种不同的安排方案.（用数字作答）
