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专题九 《平面向量》讲义
9.1 线性运算、基本定理和坐标运算
知识梳理 . 线性运算、基本定理和坐标运算
一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定）
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定： 与任一向量平行或共
线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量
二．向量的线性运算
（一）加法：求两个向量和的运算
1.三角形法则：首尾连，连首尾
2.平行四边形法则：起点相同连对角
3.运算律
交换律： ＋ ＝ ＋
结合律：( ＋ )＋ ＝ ＋( ＋ )
（二）减法：共起点，连终点，指向被减
（三）数乘：求实数λ与向量 的积的运算
1.数乘意义：|λ |＝|λ|| |，当λ>0时，λ 与 的方向相同；当λ<0时，λ 与 的方向相反；
当λ＝0时，λ ＝0
2.运算律
（1）λ(μ )＝(λμ)
（2）(λ＋μ) ＝λ ＋μ
（3）λ( ＋ )＝λ ＋λ
3．向量共线定理
向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 ＝λ .
4．平面向量基本定理
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只
有一对实数λ，λ，使 ＝λ ＋λ .其中，不共线的向量 ， 叫做表示这一平
1 2 1 2
面内所有向量的一组基底
三．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，
1 1 2 2
则a＋b＝(x＋x，y＋y)，
1 2 1 2
a－b＝(x－x，y－y)，
1 2 1 2
λa＝(λx ，λy )，|a|＝.
1 1
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝(x－x，y－y)，
1 1 2 2 2 1 2 1
|AB|＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b xy－xy＝0.
1 1 2 2 1 2 2 1
⇔
题型一 . 线性运算
1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 →
EB=
（ ）3 → 1 → 1 → 3 → 3 → 1 → 1 → 3 →
A． AB− AC B． AB− AC C． AB+ AC D． AB+ AC
4 4 4 4 4 4 4 4
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
→ → → → 1 →
EB=AB−AE=AB− AD
2
→ 1 1 → →
=AB− × （ ）
AB+AC
2 2
3 → 1 →
= AB− AC，
4 4
故选：A．
2．（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点， → 3 → ，则（ ）
BC= CD
→ 1 → 4 → → 1 → 4 →
A．AD=− AB+ AC B．AD= AB− AC
3 3 3 3
→ 4 → 1 → → 4 → 1 →
C．AD= AB+ AC D．AD= AB− AC
3 3 3 3
【解答】解： → → ；
BC=3CD
∴ → → → → ；
AC−AB=3(AD−AC)
→ 1 → 4 →
∴AD=− AB+ AC．
3 3
故选：A．
3．（2014•新课标Ⅰ）设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则
→ → （ ）
EB+FC=
→ 1 → → 1 →
A． B． AD C． D． BC
AD BC
2 2
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
→ → → → → → → → 1 → → →
∴
EB+FC=
（
EF+FB
）+（
FE+EC
）=FB+EC= （
AB+AC
）
=AD
，
2
故选：A．4．已知A，B，C三点不共线，且点O满足 → → → →，则（ ）
16OA−12OB−3OC=0
A． → → → B． → → →
OA=12AB+3AC OA=−12AB+3AC
C． → → → D． → → →
OA=12AB−3AC OA=−12AB−3AC
【解答】解：因为点O满足16 → 12 → 3 → →，
OA− OB− OC=0
故 → 12 → 12 → 3 → 3 → →；
OA+ OA− OB+ OA− OC=0
即： → 12 → 3 → → → 12 → 3 → ；
OA+ BA+ CA=0 OA= AB+ AC
⇒
故选：A．
题型二 . 共线向量基本定理
1．设→，→是不共线的两个平面向量，已知 → → →， → → → ，
a b AB=a−2b BC=3a+kb(k∈R)
若A，B，C三点共线，则k＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
【解答】解：根据题意，若A，B，C三点共线，则 → → ，
AB∥BC
又由 → → → ， → → → ，则有 k = 3 ，
AB=a−2b BC=3a+kb(k∈R)
−2 1
解可得k＝﹣6；
故选：D．
2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若 → → → ，其中 R，则点P一定在（
CB−PB= PA
λ λ∈
）
A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部【解答】解：∵ → → →
CB−PB=λPA
又， → → →
PB=PC+CB
∴ → → → →
CB−(PC+CB)=λPA
即， → → ∴ → →
−PC= PA CP=λPA
λ
∴ → →
CP∥PA
∴P点在AC边所在直线上．
故选：A．
3．在△ABC中， → →， → →．若点D满足 → → ，则 → （ ）
AB=c AC=b CD=2DB AD=
2→ 1→ 1→ 2→ 2→ 1→ 1→ 2→
A． b+ c B． b+ c C． b− c D． b− c
3 3 3 3 3 3 3 3
【解答】解：∵ → → ，
CD=2DB
→ 2 →
∴CD= CB，
3
→ → → → 2 → → 2 → → 2 → 1 →
∴AD=AC+CD=AC+ CB=AC+ (AB−AC)= AB+ AC，
3 3 3 3
又由 → →， → →．
AB=c AC=b
→ 1→ 2→
故AD= b+ c，
3 3
故选：B．
4．△ABC内一点O满足 → → → →，直线AO交BC于点D，则（ ）
OA+2OB+3OC=0
A． → → → B． → → → C． → → → D． → → →
2DB+3DC=0 3DB+2DC=0 OA−5OD=0 5OA+OD=0
【解答】解：∵△ABC内一点O满足 → → → →，直线AO交BC于点D，
OA+2OB+3OC=0
1 → 2 → 3 → →
∴ OA+ OB+ OC=0，
5 5 5
→ 2 → 3 → 1 → → →
令OE= OB+ OC，则 OA+OD=0，
5 5 5∴B，C，E三点共线，A，O，E三点共线，∴D，E重合．
∴ → → →，∴2 → 3 → 2 → 2 → 3 → 3 → → 5 → →．
OA+5OD=0 DB+ DC= OB− OD+ OC− OD=−OA− OD=0
故选：A．
题型三 . 三点共线定理
1．（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 → 2 → ，
AD= DB
→ 1 → →
CD= CA+λCB，则 ＝（ ）
3
λ
2 1 1 2
A． B． C．− D．−
3 3 3 3
【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点
→ → → 1 → →
∵ AD=2
DB
，CD= CA+λCB，
3
→ → → → 2 → → 2 → → 1 → 2 →
∴CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ (CB−CA)= CA+ CB，
3 3 3 3
2
∴ = ，
3
λ
故选：A．
2．（2010•大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 → →， → →，
CB=a CA=b
|→|＝1，|→|＝2，则 → （ ）
a b CD=
1→ 2→ 2→ 1→ 3→ 4→ 4→ 3→
A． a+ b B． a+ b C． a+ b D． a+ b
3 3 3 3 5 5 5 5
【解答】解：∵CD为角平分线，
BD BC 1
∴ = = ，
AD AC 2
∵ → → → → →，
AB=CB−CA=a−b
→ 2 → 2→ 2→
∴AD= AB= a− b，
3 3 3→ → → → 2→ 2→ 2→ 1→
∴CD=CA+AD=b+ a− b= a+ b
3 3 3 3
故选：B．
3．（2008•广东）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE
的延长线与CD交于点F．若 → →， → →，则 → （ ）
AC=a BD=b AF=
1→ 1→ 2→ 1→ 1→ 1→ 1→ 2→
A． a+ b B． a+ b C． a+ b D． a+ b
4 2 3 3 2 4 3 3
【解答】解：∵由题意可得△DEF∽△BEA，
DE DF 1 DF 1
∴ = = ，再由AB＝CD可得 = ，
EB AB 3 DC 3
DF 1
∴ = ．
FC 2
作FG平行BD交AC于点G，
FG CG 2
∴ = = ，
DO CO 3
→ 2 → 1 → 1→
∴GF= OD= BD= b．
3 3 3
→ → → → 1 → 1 → 1 → 2 → 2→
∵AG=AO+OG=AO+ OC= AC+ AC= AC= a，
3 2 6 3 3
→ → → 2→ 1→
∴AF=AG+GF= a+ b，
3 3
故选：B．
4．（2009•安徽）给定两个长度为1的平面向量 → 和 → ，它们的夹角为120°．如图所示，
OA OB
点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若 → x → y → ，其中x，y R，
OC= OA+ OB
∈
则x+y的最大值是 2 ．【解答】解：【方法一】建立如图所示的坐标系，
则A（1，0），B（cos120°，sin120°），
1 √3
即B（− ， ）．
2 2
设∠AOC＝ ，则 → （cos ，sin ）．
OC=
α α α
→ → → y √3
∵ OC=x OA+y OB= （x，0）+（− ， y）
2 2
＝（cos ，sin ）；
α α
y
{x− =cosα
则 2 ，
√3
y=sinα.
2
sinα
{x= +cosα
解得 √3 ，
2sinα
y=
√3
∴x+y=√3sin +cos ＝2sin（ +30°）．
∵0°≤ ≤120α°．∴α30°≤ +3α0°≤150°．
∴x+y有α最大值2，当 ＝α60°时取最大值2．
【解法二】 → x → αy → ，
OC= OA+ OB
∴ → x2+y2+2xy → • → x2+y2+2xycos120°＝x2+y2﹣xy，
OC2= OA OB=
∴x2+y2﹣xy＝1，
∴（x+y）2﹣3xy＝1，
x+ y 2
∴（x+y）2﹣1＝3xy≤3•( ) ，
2
1
∴ •（x+y）2≤1，
4
解得x+y≤2．
故答案为：2．5．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD
相切的圆上．若 → → → ，则 + 的最大值为（ ）
AP= AB+ AD
λ μ λ μ
A．3 B．2√2 C．√5 D．2
【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标
系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC＝2，CD＝1，
∴BD
=√22+12=√5
1 1
∴ BC•CD= BD•r，
2 2
2
∴r= ，
√5
4
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，
5
2√5 2√5
设点P的坐标为（ cos +1， sin +2），
5 5
θ θ
∵ → → → ，
AP= AB+ AD
λ μ
2√5 2√5
∴（ cos +1， sin +2）＝ （1，0）+ （0，2）＝（ ，2 ），
5 5
θ θ λ μ λ μ
2√5 2√5
∴ cos +1＝ ， sin +2＝2 ，
5 5
θ λ θ μ
2√5 √5
∴ + = cos + sin +2＝sin（ + ）+2，其中tan ＝2，
5 5
λ μ θ θ θ φ φ
∵﹣1≤sin（ + ）≤1，
∴1≤ + ≤3，θ φ
λ μ故 + 的最大值为3，
故选λ ：μA．
6．（2006•湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区
域内（不含边界）运动，且 → → → ，则x的取值范围是 （﹣∞， 0 ） ；
OP=xOA+ yOB
1 1 3
当x=− 时，y的取值范围是 ( ， ) ．
2 2 2
【解答】解：如图，OM∥AB，点P在由射线OM，
线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，
且 → → → ，由向量加法的平行四边形法则，
OP=xOA+ yOB
OP为平行四边形的对角线，
该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，
∴x的取值范围是（﹣∞，0）；
1 1 3
当x=− 时，要使 P点落在指定区域内，即 P点应落在 DE上，CD= OB，CE=
2 2 2
OB，
1 3
∴y的取值范围是（ ， ）．
2 2
1 3
故答案为：（﹣∞，0）；（ ， ）
2 2题型四 . 坐标运算
3 2
1．已知向量 → （3，﹣2）， → （x，y﹣1）且 → ∥ → ，若x，y均为正数，则 + 的
a= b= a b
x y
最小值是（ ）
8 5
A．24 B．8 C． D．
3 3
【解答】解：∵→∥→，
a b
∴﹣2x﹣3（y﹣1）＝0，
化简得2x+3y＝3，
3 2 3 2 1
∴ + =（ + ）× （2x+3y）
x y x y 3
1 9 y 4x 1 √9 y 4x
= （6+ + +6）≥ （12+2 ⋅ ）＝8，
3 x y 3 x y
3
当且仅当2x＝3y= 时，等号成立；
2
3 2
∴ + 的最小值是8．
x y
故选：B．
2．已知A（﹣3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在第二象限内，|OC|=2√2，
π → → →
且∠AOC=
4
，设
OC=λOA+OB(λ∈R)
，则 的值为（ ）
λ
2 1 2
A．1 B．− C． D．
3 2 3
【解答】解：由已知设C（x，y），
π π
则有y＝2√2×sin =2，x＝﹣2√2cos =−2，
4 4
即C（﹣2，2），
又 → → → ，
OC=λOA+OB(λ∈R)2
由向量相等的充要条件得：﹣2＝﹣3 ，即λ= ，
3
λ
故选：D．
3．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一
点，若 → x → y → （xy≠0），则以下说法正确的是： ①④ （请将所有正确
AC= DE+ AP
的命题序号填上）
①若点E和A重合，点P和B重合，则x＝﹣1，y＝1；
②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧^DB的中点；
③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则x+y＝3；
④若点E与B重合，点P为^DB上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分．
【解答】解：以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
如图，
则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）， → （1，1）．
AC=
因为 → x → y → （xy≠0），
AC= DE+ AP
所以，对于①，若点E和A重合，点P和B重合，则E（0，0），P（1，0）， →
DE=
（0，﹣1）， → （1，0），
AP=
→ → → { y=1
AC=x DE+y
AP
（1，1）＝x（0，﹣1）+y（1，0），即
x=−1
，故①正确；
⇒
则x＝﹣1，y＝1；
1 → 1
对于②，若点E是线段AB的中点，则E（ ，0），
DE=
（ ，﹣1）；若点P是圆弧
2 2
√2 √2 → √2 √2 →
^DB的中点，则P（cos45°，sin45°），即P（ ， ）， AP= （ ， ）， AC=x
2 2 2 2{1
x+
√2
y=1
→ y → （1，1）＝x（1，﹣1）+y（√2，√2），即 2 2 ，此方程组无
DE+ AP
2 2 2 √2
−x+ y=1
⇒
2
解，
故②错误；
对于③，若点E和B重合，则E（1，0）， → （1，﹣1）；又点P为靠近D点的圆
DE=
弧的三等分点，则P（cos60°，sin60°），
1 √3 → 1 √3 → → → 1
即P（ ， ）， AP= （ ， ）， AC=x DE+y AP （1，1）＝x（1，﹣1）+y（
2 2 2 2 2
⇒
1
{ x+ y=1
，√3），即 2 ，解得{ x=2−√3 ，
2 √3 y=2√3−2
−x+ y=1
2
则x+y=√3，故③错误；
对于④，若点E与B重合，则E（1，0）， → （1，﹣1）；
DE=
又点P（a，b）为
^DB
上任一点，则
A
→
P=
（a，b）（0≤a≤1，0≤b≤1，a2+b2＝1），
→ x → y → （1，1）＝x（1，﹣1）+y（a，b），
AC= DE+ AP
⇒
即{ x+ ya=1 ，由a2+b2＝1得：(1−x) 2 (1+x) 2 1，整理得： y2 x2＝1，则动点
+ = −
−x+ yb=1 y2 y2 2
（x，y）的轨迹为双曲线的一部分，故④正确．
综上所述，说法正确的是①④，
故答案为：①④．课后作业 . 线性运算、基本定理和坐标运算
1．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，BD交CE于F，则 → （ ）
AF=
2 → 1 → 3 → 1 → 1 → 1 → 2 → 1 →
A． AB+ AD B． AB+ AD C． AB+ AD D． AB+ AD
3 3 4 4 2 4 3 2
【解答】解
如图，∵平行四边形ABCD中，E为AB中点，
DF DC
∴ = =2，
FB BE
2
∴DF= DB，
3
∴ → → →
AF=AD+DF
→ 2 →
=AD+ DB
3
→ 2 → →
=AD+ (AB−AD)
3
2 → 1 →
= AB+ AD，
3 3
故选：A．
2．设x R，向量→ （x，1），→ （1，﹣2），且→∥→，则|→ →|＝（ ）
a= b= a b a+b
∈
√5 √10
A． B． C．√5 D．5
2 2
【解答】解：根据题意，向量→ （x，1），→ （1，﹣2），
a= b=1
若 → ∥ → ，则﹣2x＝1，解可得x=− ，
a b
2
1 1
→ → →
则 （− ，1），故 （ ，﹣1），
a= a+b=
2 2
→ → √1 √5
则| a+b |= +1= ，
4 2
故选：A．
3．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足 → → → → → ，若|AB|＝
|OB−OC|=|OB+OC−2OA|
7π
2，|AC|=√3，则△ABC的外接圆的面积为 ．
4
【解答】解：已知等式| → → |＝| → → 2 → |＝| → → → → |，变形得：
OB−OC OB+OC− OA OB−OA+OC−OA
| → |＝| → → |，
CB AB+AC
∵ → → → ，
CB=AB−AC
∴| → → |＝| → → |，
AB+AC AB−AC
π
两边平方，整理得： → • → 0，即A= ，
AB AC=
2
∵|AB|＝c＝2，|AC|＝b=√3，
∴a ，
=√22+(√3) 2=√7
a a √7
由正弦定理 =2R，得到R= = ，
sinA 2sinA 2
7π
则△ABC的外接圆的面积为 R2= ．
4
π
7π
故答案为：
4
4．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC与不同的两点M，
N，若 → → → → ，则 1 + 4 的最小值为（ ）
AB=mAM，AC=nAN，m＞0，n＞0
m n
9
A．2 B．4 C． D．9
2→ 1 → →
【解答】解：∵点O是BC的中点，∴AO= (AB+AC)
2
→ → → → → m → n →
又 ∴AO= AM+ AN
AB=mAM，AC=nAN，m＞0，n＞0
2 2
m n
∵M、O、N三点共线，∴ + =1
2 2
1 4 1 4 m n 5 n 2m 5 √ n 2m 9
故 + =( + )( + )= + + ≥ +2 ⋅ =
m n m n 2 2 2 2m n 2 2m n 2
n 2m 2 4 1 4 9
当且仅当 = ，即m= ，n= 时取到等号，故 + 的最小值为：
2m n 3 3 m n 2
故选：C．
5．如图，正方形ABCD中，E为线段CD的中点，若 → → → ，则 + ＝ 1 ．
BD= AE+ BE
λ μ λ μ
→ 1 → 1 → →
【解答】解：依题意，ED= BA= (BE−AE)，则
2 2
→ → → → 1 → 1 → 1 → 3 →
BD=BE+ED=BE+ BE− AE=− AE+ BE，
2 2 2 2
1 3
故λ+μ=− + =1．
2 2
故答案为：1．
6．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD＝2AD，AE＝2EC，点P是线段
DE上的任意一点，若 → x → y → ，则xy的最大值为（ ）
AP= AB+ AC
1 1 1 1
A． B． C． D．
36 18 12 9
【解答】解：如图所示，
→ 1 → → 2 →
AD= AB，AE= AC．
3 3
∵点P是线段DE上的任意一点，→ → → 1 → 2(1−k) →
∴存在实数k使得 AP=k AD+(1−k)AE=k⋅ AB+ AC，
3 3
1
{ x= k
与 → x → y → 比较可得： 3 ，
AP= AB+ AC 2(1−k)
y=
3
2
∴2x+y= ，
3
2
∴ ≥2√2xy，
3
1 1
化为xy≤ ，当且仅当2x＝y= 时取等号．
18 3
故选：B．
