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专题九 《平面向量》讲义
9.2 数量积
知识梳理 . 数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹
角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则
a与b垂直．
2．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|
定义
·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
投影
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上
几何意义
的投影|b|cos_θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充
a·b＝0 xx＋yy＝0
1 2 1 2
要条件
题型一 . 基本公式
1．若非零向量→、→满足 → → 且 → → →，则→与→的夹角为（ ）
a b |a|=|b| (2a+b)⊥b a b
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
2．已知非零向量→，→夹角为45°，且|→|＝2，|→ →|＝2．则|→|等于（ ）
a b a a−b b
A．2√2 B．2 C．√3 D．√23．已知向量 →，→及实数 t 满足 |→ t→|＝3．若→•→ 2，则 t 的最大值是
a b a+ b a b=
．
题型二 . 几何意义——投影
→ → 2π → → → → → → →
1．设向量 e ， e 是夹角为 的单位向量，若 a= 3 e ， b=e −e ，则向量 b 在 a 方向
1 2 3 1 1 2
的投影为（ ）
3 1 1
A． B． C．− D．1
2 2 2
2．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 → → ．
AP⋅AC=
3．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量 → 在A点处与圆O相切，点P是
AB
圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则 → • → 的取值范围是 ．
AP AB
题型三 . 转换基底
1．如图，在△ABC中，AD⊥AB， → 2 → ，| → |＝1，则 → • → （ ）
BC= √3BD AD AC AD=
√3
A．2√3 B．√3 C． D．﹣2√3
2
2．已知向量 → 与 → 的夹角为 120°，且 → ， → ，若 → → → 且
AB AC |AB|=3 |AC|=2 AP=λAB+AC
→ → ，则实数 的值为（ ）
AP⊥BC
λ3 7 7 12
A． B． C． D．
7 3 12 7
3．如图，P为△AOB所在平面内一点，向量 → →， → →，且点P在线段AB的垂直平
OA=a OB=b
分线上，向量 → →．若|→|＝3，|→|＝2，则 → → 的值为 ．
OP=c a b c⋅(a−b)
题型四 . 数量积运算律求最值
1．向量→ →的夹角为120°， → → ， → ，则 → → → 的最大值为
a，b |a|=|b|=1 |c|=2 |a+2b+c|
（ ）
A．2−√3 B．2 C．2+√3 D．4
2．已知向量→，→满足|→|＝5，|→|＝1 且|→ 4→| ，则→•→的最小值为
≤√21
a b a b a− b a b
．
3．在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，M 是线段 BC 上的动点，若
→ → ，则 → → 的取值范围是 ．
BD⋅AM=−3 BA⋅BC
题型五 . 数量积坐标运算
1．已知向量→ （2，1），→ （1，﹣1），→ （m﹣2，﹣n），其中m，n均为正数，
a= b= c=
且（→ →）∥→，下列说法正确的是（ ）
a−b c
A．→与→的夹角为钝角
a b
→ → √5
B．向量 在 方向上的投影为
a b
5
C．2m+n＝4
D．mn的最大值为22．如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若
→ → ，则 → → 的值是 ．
AB⋅AF=√2 AE⋅BF
3．已知边长为 2 的菱形 ABCD 中，点 F 为 BD 上一动点，点 E 满足 → 2 → ，
BE= EC
→ → 2 → →
AE⋅BD=−
3
，则
AF⋅EF
的最小值为（ ）
2 4 152 73
A．− B．− C．− D．−
3 3 75 36
题型六 . 极化恒等式
1．设向量→，→满足|→ →| ，|→ →| ，则→ → （ ）
a b a+b
=√10
a−b
=√6
a⋅b=
A．﹣1 B．1 C．4 D．﹣4
2．如图，△ABC是边长为2√3的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一
点，则 → → 的取值范围是 ．
AP⋅BP
3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 → → → 的最
PA⋅(PB+PC)
小值为（ ）
8
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣2 D．−
3
课后作业 . 数量积1．已知向量→、→满足 → ， → ， → → → → ，则→与→夹角为（
a b |a|=1 |b|=2 |2a+b|=√3|2a−b| a b
）
A．45° B．60° C．90° D．120°
2．已知△ABC满足 → → → ，则△ABC的形状为（ ）
AB2=2BA⋅CA
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
3．已知向量→ →，|→|＝1，对任意t R，恒有|→ t→|≥|→ →|，则（ ）
a≠e e a− e a−e
∈
A．→⊥→ B．→⊥（→ →）
a e a a−e
C．→⊥（→ →） D．（→ →）⊥（→ →）
e a−e a+e a−e
4．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则 → → （ ）
AB⋅AC=
A．34 B．28 C．﹣16 D．﹣22
π
5 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ，∠BAC= ， → → ， P 为 CD 上 一 点 ， 且 满 足
AD=2DB
3
→ → 1 → → →
AP=mAC+ AB，若AC＝3，AB＝4，则 的值为（ ）
2
AP⋅CD
13 13 1
A．﹣3 B．− C． D．
12 12 12
6．如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若
→ → ，则 → → 的值是 ．
AB⋅AF=√2 AE⋅BF7．已知→ →均为单位向量，且→ → ．若 → → → → ，则 → → 的取
a、b a⋅b=0 |c−4a|+|c−3b|=5 |c+a|
值范围是（ ）
A．[3，√10] B．[3，5] C．[3，4] D．[√10，5]
8．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB＝1，BC＝2，若AM是BC边上的高，点P
在△ABC内部或边界上运动，则 → → 的取值范围是（ ）
AM⋅BP
1 3 1 3
A．[﹣1，0] B．[− ，0] C．[− ， ] D．[− ，0]
2 4 2 4
9．在平面内，定点A，B，C，D满足| → |＝| → |＝| → |＝2， → • → → • → → •
DA DB DC DA BC=DB AC=DC
→ 0 ， 动 点 P ， M 满 足 | → | ＝ 1 ， → → ， 则 | → |2 的 最 大 值 为
AB= AP PM=MC BM
．
