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专题九 《平面向量》讲义
9.2 数量积
知识梳理 . 数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹
角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则
a与b垂直．
2．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|
定义
·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
投影
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上
几何意义
的投影|b|cos_θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充
a·b＝0 xx＋yy＝0
1 2 1 2
要条件
题型一 . 基本公式
1．若非零向量→、→满足 → → 且 → → →，则→与→的夹角为（ ）
a b |a|=|b| (2a+b)⊥b a b
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【解答】解：∵非零向量→、→满足 → → ，且 → → →，设→与→的夹角为
a b |a|=|b| (2a+b)⊥b a b
， [0， ]，
θ θ∈ π∴（2→ →）•→ 2→•→ → 0，即2→•→ → ，∴2|→|•|→|•cos → ，
a+b b= a b+b2= a b=−b2 a a =−|a|2
θ
1 2π
求得cos =− ，∴ = ，
2 3
θ θ
故选：C．
2．已知非零向量→，→夹角为45°，且|→|＝2，|→ →|＝2．则|→|等于（ ）
a b a a−b b
A．2√2 B．2 C．√3 D．√2
【解答】解：非零向量→，→夹角为45°，且|→|＝2，|→ →|＝2．
a b a a−b
可得→ → → → 4，
a2−2a⋅b+b2=
4﹣2 |→|+|→|2＝4
√2
b b
则|→|＝2 ．
√2
b
故选：A．
9
→ → → → → →
3．已知向量 ， 及实数t满足| t |＝3．若 • 2，则t的最大值是 ．
a b a+ b a b=
8
【解答】解：由于求t的最大值，即t＞0，
由|→ t→|＝3，→•→ 2，
a+ b a b=
两边平方可得（→ t→）2＝9，
a+ b
即为→2+t2→2+2t→•→ 9，
a b a b=
即有→2+t2→2＝9﹣4t，
a b
由→2+t2→2≥2t|→|•|→|≥2t→•→ 4t，
a b a b a b=
当且仅当→，→同向时，取得等号．
a b
9
由9﹣4t≥4t，解得t≤ ．
8
9
即有t的最大值为 ．
89
故答案为： ．
8
题型二 . 几何意义——投影
→ → 2π → → → → → → →
1．设向量 e ， e 是夹角为 的单位向量，若 a= 3 e ， b=e −e ，则向量 b 在 a 方向
1 2 3 1 1 2
的投影为（ ）
3 1 1
A． B． C．− D．1
2 2 2
→ → 2π
【解答】解：∵向量 ， 是夹角为 的单位向量，
e e
1 2 3
→ → → → 2π 1
∴|e |=|e |=1，e ⋅e =1×1×cos =− ．
1 2 1 2 3 2
→ → 3，
|a|=|3e |=
1
→ → → → → → → → 1 9
∴a⋅b=3e ⋅(e −e )=3e 2−3e ⋅e =3−3×(− )= ．
1 1 2 1 1 2 2 2
9
→ →
∴向量→在→方向的投影为b⋅a 2 3．
b a = =
→ 3 2
|a|
故选：A．
2．如图，在平行四边形 ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 → → 18
AP⋅AC=
．
【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC＝2AO
∵AP⊥BD，AP＝3，
在Rt△APO中，AOcos∠OAP＝AP＝3
∴| → |cos∠OAP＝2| → |×cos∠OAP＝2| → |＝6，
AC AO AP
由向量的数量积的定义可知， → → | → || → |cos∠PAO＝3×6＝18
AP⋅AC= AP AC
故答案为：183．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量 → 在A点处与圆O相切，点P是
AB
圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则 → • → 的取值范围是 [ ﹣ 5 ， 5 ] ．
AP AB
【解答】解：如图所示：设∠PAB＝ ，作OM⊥AP，则∠AOM＝ ，
AM θ θ
∴sin = ，AM＝5sin ，AP＝2AM＝10sin ．
OA
θ θ θ
∴ → → 10sin ×1×cos ＝5sin2 [﹣5，5]，
AP⋅AB=
θ θ θ∈
故答案为：[﹣5，5]．
题型三 . 转换基底
1．如图，在△ABC中，AD⊥AB， → 2 → ，| → |＝1，则 → • → （ ）
BC= √3BD AD AC AD=
√3
A．2√3 B．√3 C． D．﹣2√3
2
【解答】解：在△ABC中，AD⊥AB， → 2 → ，| → |＝1，
BC= √3BD AD
则 → • → （ → → ）• → → → → → → →
AC AD= AB+BC AD=AB⋅AD+BC⋅AD=BC⋅AD
＝0+2 → • → 2 （ → → ）• →
√3BD AD= √3 AD−AB AD＝2 → 2 → → 2 •1﹣0＝2 ，
√3AD2− √3AB⋅AD= √3 √3
故选：A．
2．已知向量 → 与 → 的夹角为 120°，且 → ， → ，若 → → → 且
AB AC |AB|=3 |AC|=2 AP=λAB+AC
→ → ，则实数 的值为（ ）
AP⊥BC
λ
3 7 7 12
A． B． C． D．
7 3 12 7
【解答】解：向量 → 与 → 的夹角为120°，且 → ， → ，
AB AC |AB|=3 |AC|=2
可得 → • → 3×2×cos120°＝﹣3，
AB AC=
若 → → → 且 → → ，
AP=λAB+AC AP⊥BC
则 → • → （ → → ）•（ → → ） → 2﹣ → 2+（ ﹣1） → • →
AP BC= AB+AC AC−AB =AC AB AB AC
λ λ λ
＝4﹣9 ﹣3（ ﹣1）＝0，
λ 7 λ
解得 = ．
12
λ
故选：C．
3．如图，P为△AOB所在平面内一点，向量 → →， → →，且点P在线段AB的垂直平
OA=a OB=b
→ → → → → → 5
分线上，向量 ．若| |＝3，| |＝2，则 的值为 ．
OP=c a b c⋅(a−b)
2
【解答】解：设线段AB的垂直平分线为PH，H为垂足，
→ → → → → 1 → →
则OP=OB+BH+HP=OB+ BA+HP
2
→ 1 → 1 → → 1 → 1 → →
=OB+ OA− OB+HP= OA+ OB+HP，
2 2 2 2→ → 1 → 1 → → → →
则 c⋅(a−b)=（ OA+ OB+HP）•（
OA−OB
）
2 2
1
=
2
（ O → A2−O → B2） +H → P⋅B → A
1 5
= ×（32﹣22）+0= ．
2 2
5
故答案为： ．
2
题型四 . 数量积运算律求最值
1．向量→ →的夹角为120°， → → ， → ，则 → → → 的最大值为
a，b |a|=|b|=1 |c|=2 |a+2b+c|
（ ）
A．2−√3 B．2 C．2+√3 D．4
【解答】解：|→ 2→ →|≤|→ 2→|+|→|，计算：|→ 2→|2 →2+4→2+4→ → |→|2+4|→|2+4|→|•|
a+ b+c a+ b c a+ b =a b a⋅b= a b a
1
→ |cos ＝1+4﹣4× =3，
b
2
θ
∴|→ 2→| ，|→ 2→ →|≤|→ 2→|+|→|＝2 ，当且仅当||→ 2→|＝|→|时取等号．
a+ b
=√3
a+ b+c a+ b c
+√3
a+ b c
故 → → → 的最大值为2 ，
|a+2b+c|
+√3
故选：C．
5
→ → → → → → → →
2．已知向量 ， 满足| |＝5，| |＝1且| 4 |≤√21，则 • 的最小值为 ．
a b a b a− b a b
2
【解答】解：∵|→ 4→| ，
≤√21
a− b
∴→ 8→ → 16→ 21，
a2− a⋅b+ b2≤
即25﹣8→ → 16≤21，
a⋅b+
→ → 5
∴a⋅b≥ ．
2
5
故答案为： ．
23．在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，M 是线段 BC 上的动点，若
→ → ，则 → → 的取值范围是 [ 1 ， 4 ） ．
BD⋅AM=−3 BA⋅BC
→ → → 1 → → →
【解答】解：由已知有：|
AB
|＝|
BC
|，CD= BA，
BM=λBC
，（0≤ ≤1），
2
λ
→ → → → → → → 1 → → →
则 BD⋅AM= （ BC+CD ） ⋅(AB+BM ）＝（BC+
2
BA）（ λBC−BA ）＝﹣3，
→ → 2+8λ 18
所以BA⋅BC= = −8，
2−λ 2−λ
因为0≤ ≤1，∴ → → [1，10]，
BA⋅BC
λ ∈
因为 → → → → ，其中 为 → 与 → 的夹角， （0， ），
θ
BA⋅BC=|BA|⋅|BC|⋅cosθ BA BC
θ∈ π
因为cos （﹣1，1），所以 → → 2×2cos ＝4cos （﹣4，4），
BA⋅BC=
θ∈ θ θ∈
又 → → ，所以 → → ．
1⩽BA⋅BC⩽10 BA⋅BC∈[1，4)
故答案为：[1，4）．
题型五 . 数量积坐标运算
1．已知向量→ （2，1），→ （1，﹣1），→ （m﹣2，﹣n），其中m，n均为正数，
a= b= c=
且（→ →）∥→，下列说法正确的是（ ）
a−b c
A．→与→的夹角为钝角
a b
→ → √5
B．向量 在 方向上的投影为
a b
5
C．2m+n＝4
D．mn的最大值为2
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，向量→ （2，1），→ （1，﹣1），则→•→ 2﹣1＝1＞0，则→、→的夹角为锐
a= b= a b= a b
角，A错误；→ →
对于B，向量 → （2，1）， → （1，﹣1），则向量a在b方向上的投影为
a⋅b
=
√2
，
a= b=
→ 2
|b|
B错误；
对于C，向量→ （2，1），→ （1，﹣1），则→ → （1，2），若（→ →）∥→，则
a= b= a−b= a−b c
（﹣n）＝2（m﹣2），变形可得2m+n＝4，C正确；
1 1
对于 D，由 C 的结论，2m+n＝4，而 m，n 均为正数，则有 mn= （2m•n）≤ （
2 2
2m+n
）2＝2，即mn的最大值为2，D正确；
2
故选：CD．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若
→ → ，则 → → 的值是 ．
AB⋅AF=√2 AE⋅BF √2
【解答】解：∵ → → → ，
AF=AD+DF
→ → → → → → → → → → → | → | ，
AB⋅AF=AB⋅(AD+DF)=AB⋅AD+AB⋅DF=AB⋅DF=√2DF
=√2
∴| → |＝1，| → | 1，
=√2−
DF CF
∴ → → （ → → ） （ → → ）
AE⋅BF= AB+BE BC+CF
=A
→
B⋅C
→
F+B
→
E⋅B
→
C=−√2(√2−1)+1×2=−
2+√2+2=√2 ，
故答案为：√2
3．已知边长为 2 的菱形 ABCD 中，点 F 为 BD 上一动点，点 E 满足 → 2 → ，
BE= EC
→ → 2 → →
AE⋅BD=−
3
，则
AF⋅EF
的最小值为（ ）2 4 152 73
A．− B．− C．− D．−
3 3 75 36
→ 2 →
【解答】解：由题意知：BE= BC，
3
设∠DAB＝ ，
所 以 θ→ → （ → → ） • （ → → ） → → → 2
AE⋅BD= AB+BE AD−AB =AB⋅AD−AB
2 → → 2 → → 8 8 2
+ BC⋅AD− BC⋅AB=4cos ﹣4+ − cos =− ，
3 3 3 3 3
θ θ
1
所以cos = ，
2
θ
又 （0， ），
θ∈ π π
所以θ= ，
3
以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如图所示的直角坐标系，
2√3 1
所以A（−√3，0），C（√3，0），D（0，1），B（0，﹣1），E（ ，− ），
3 3
设F（0，t），
则
A
→
F=
（√3，t），
E
→
F=
（− 2√3 ，t+ 1 ），
3 3
1 1 1 73
所以 → → 2+t（t+ ）＝t2+ t−2=（t+ ）2− ，
AF⋅EF=−
3 3 6 36
1 73
当t=− 时， → → 取最小值− ，
6
AF⋅EF
36
故选：D．
题型六 . 极化恒等式
1．设向量→，→满足|→ →| ，|→ →| ，则→ → （ ）
a b a+b
=√10
a−b
=√6
a⋅b=
A．﹣1 B．1 C．4 D．﹣4【解答】解：∵|→
a+
→
b
|
=√10
，∴（→
a+
→
b
）2＝10，∴→
a2+
→
b2+
2→
a
•→
b=
10 ①，
∵|→
a−
→
b
|
=√6
，∴（→
a−
→
b
）2＝6，∴→
a2+
→
b2−
2→
a
•→
b=
6 ②，
①﹣②得 4→•→ 4，∴→•→ 1．
a b= a b=
故选：B．
2．如图，△ABC是边长为2√3的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一
点，则 → → 的取值范围是 [ 1 ， 13 ] ．
AP⋅BP
【解答】解：∵ → → 2 ，∠ACB＝60°
|AC|=|BC|= √3
∴ → • → 2 •2 cos60°＝6
AC BC= √3 √3
∵ → → → ， → → →
AP=AC+CP BP=BC+CP
∴ → → （ → → ）（ → → ） → • → → （ → → ） → 2
AP⋅BP= AC+CP BC+CP =AC BC+CP AC+BC +CP
∵ → 1
|CP|=
∴ → • → 6 → （ → → ）+1＝7 → （ → → ）
AP BP= +CP AC+BC +CP AC+BC
∵△ABC是边长为2√3的等边三角形，
∴向量 → → 是与AB垂直且方向向上，长度为6的一个向量
AC+BC
由此可得，点P在圆C上运动，当 → 与 → → 共线同向时， → （ → → ）取最大
CP AC+BC CP AC+BC
值，且这个最大值为6
当 → 与 → → 共线反向时， → （ → → ）取最小值，且这个最小值为﹣6
CP AC+BC CP AC+BC故 → → 的最大值为7+6＝13，最小值为7﹣6＝1．即 → → 的取值范围是[1，13]
AP⋅BP AP⋅BP
故答案为：[1，13]
3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 → → → 的最
PA⋅(PB+PC)
小值为（ ）
8
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣2 D．−
3
【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则A（0，2√3），B（﹣2，0），C（2，0），
设P（x，y），则 → （﹣x，2 y）， → （﹣2﹣x，﹣y）， → （2﹣x，﹣
PA= √3− PB= PC=
y），
所以则 → → → 的最＝﹣x•（﹣2x）+（2 y）•（﹣2y）＝2x2﹣4 y+2y2
PA⋅(PB+PC) √3− √3
＝2[x2+2（y−√3）2﹣3]；
所以当x＝0，y=√3 时，
P
→
A⋅(P
→
B+P
→
C)
取得最小值为2×（﹣3）＝﹣6，
故选：B．
课后作业 . 数量积
1．已知向量→、→满足 → ， → ， → → → → ，则→与→夹角为
a b |a|=1 |b|=2 |2a+b|=√3|2a−b| a b
（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【解答】解： → → ， → → → → ，
|a|=1，|b|=2 |2a+b|=√3|2a−b|
∴ → → → → ，
(2a+b) 2=3(2a−b) 2∴ → → → → → → → → ，
4a2+4a⋅b+b2=12a2−12a⋅b+3b2
∴ → → → → ，即4 → → ，
4a2−8a⋅b+b2=0 −8a⋅b+4=0
∴→ → ，
a⋅b=1
→ →
∴cos＜ → a， → b＞= a⋅b = 1 ，且 → → ，
→ → 2 0°≤＜a，b＞≤180°
|a||b|
∴ → → ．
＜a，b＞=60°
故选：B．
2．已知△ABC满足 → → → ，则△ABC的形状为（ ）
AB2=2BA⋅CA
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：根据 → 2 → • → 得到：c2＝2bccosA，
AB2= BA CA
b c
由正弦定理 = =2R，可得sin2C＝2sinBsinCcosA，
sinB sinC
又C为三角形的内角，得到sinC≠0，
可得sinC＝2sinBcosA，
又sinC＝sin[ ﹣（A+B）]＝sin（A+B），
∴sin（A+B）π＝sinAcosB+cosAsinB＝2sinBcosA，即sinAcosB﹣cosAsinB＝0，
∴sin（A﹣B）＝0，且A和B都为三角形的内角，
∴A＝B，
则△ABC的形状为等腰三角形．
故选：D．
3．已知向量→ →，|→|＝1，对任意t R，恒有|→ t→|≥|→ →|，则（ ）
a≠e e a− e a−e
∈
A．→⊥→ B．→⊥（→ →）
a e a a−e
C．→⊥（→ →） D．（→ →）⊥（→ →）
e a−e a+e a−e【解答】解：已知向量 → →，|→|＝1，对任意t R，恒有|→ t→|≥|→ →|
a≠e e a− e a−e
∈
即|→ t→|2≥|→ →|2∴ → → → →
a− e a−e t2−2a⋅et+2a⋅e−1≥0
即
→ → → → → → → → → → → → → →
△=(2a⋅e) 2−4(2a⋅e−1)≤0即(a⋅e−1) 2≤0∴a⋅e−1=0a⋅e−e2=0∴e⋅(a−e)=0
故选：C．
4．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则 → → （ ）
AB⋅AC=
A．34 B．28 C．﹣16 D．﹣22
【解答】解：∵ → → → ， → → → 且AM＝3，BC＝10，
AB=AM+MB AC=AM+MC
∴| → |＝3，| → |＝| → |＝5，
AM BM MC
∴ → → 25， → → → → → → → 0，
MB⋅MC=− AM⋅MC+AM⋅MB=AM⋅(MC+MB)=
∴ → → （ → → ） • （ → → ）
AB⋅AC= AM+MB AM+MC
→ → → → → → →
=AM2+AM⋅MC+MB⋅AM+MB⋅MC
＝9﹣25
＝﹣16．
故选：C．
π
5 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ，∠BAC= ， → → ， P 为 CD 上 一 点 ， 且 满 足
AD=2DB
3
→ → 1 → → →
AP=mAC+ AB，若AC＝3，AB＝4，则 的值为（ ）
2
AP⋅CD13 13 1
A．﹣3 B．− C． D．
12 12 12
→ → → 2 →
【解答】解：∵ AD=2
DB
，∴AD= AB，
3
→ → → → → → → → → → 1 →
∵
CP
∥
CD
，∴ CP=k
CD
，即 AP−AC=k（
AD−AC
），又∵AP=mAC+ AB，
2
{m−1=−k
则（m﹣1） → 1 → k（2 → → ），∴ ，∴k 3，m 1，
AC+ AB= AB−AC 1 2 = =
2 3 = k 4 4
2 3
→ → → → → 1 → 1 → 2 → → 1 → 1 →
则 • •（ ）＝（ AC+ AB）•（ AB−AC）= AB2− AC2
AP CD=AP AD−AC
4 2 3 3 4
1 → → 16 9 1 π 13
− AB•AC= − − ×4×3cos = ，
3 3 4 3 3 12
故选：C．
6．如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若
→ → ，则 → → 的值是 ．
AB⋅AF=√2 AE⋅BF √2
【解答】解：∵ → → → ，
AF=AD+DF
→ → → → → → → → → → → | → | ，
AB⋅AF=AB⋅(AD+DF)=AB⋅AD+AB⋅DF=AB⋅DF=√2DF
=√2
∴| → |＝1，| → | 1，
=√2−
DF CF
∴ → → （ → → ） （ → → ）
AE⋅BF= AB+BE BC+CF=A
→
B⋅C
→
F+B
→
E⋅B
→
C=−√2(√2−1)+1×2=−
2+√2+2=√2 ，
故答案为：√2
7．已知→ →均为单位向量，且→ → ．若 → → → → ，则 → → 的取
a、b a⋅b=0 |c−4a|+|c−3b|=5 |c+a|
值范围是（ ）
A．[3，√10] B．[3，5] C．[3，4] D．[√10，5]
【解答】解：∵→ →均为单位向量，且→ → ．
a、b a⋅b=0
∴设→ → ，再设→ ，
a=(1，0)，b=(0，1) c=(x，y)
代入
|
→
c−4
→
a|+|
→
c−3
→
b|=5
，得 √(x−4) 2+ y2+√x2+(y−3) 2=5 ．
即（x，y）到A（4，0）和B（0，3）的距离和为5，
∴→的终点轨迹是点（4，0）和（0，3）之间的线段，
c
→ → ，表示M（﹣1，0）到线段AB上点的距离，
|c+a|=√(x+1) 2+ y2
最小值是点（﹣1，0）到直线3x+4y﹣12＝0的距离．
→ → |−3−12|
∴|c+a| = =3．
min 5
最大值为|MA|＝5．
∴ → → 的取值范围是[3，5]．
|c+a|
故选：B．
8．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB＝1，BC＝2，若AM是BC边上的高，点P
在△ABC内部或边界上运动，则 → → 的取值范围是（ ）
AM⋅BP
1 3 1 3
A．[﹣1，0] B．[− ，0] C．[− ， ] D．[− ，0]
2 4 2 4【解答】解：如图，
由AB＝1，BC＝2，可得AC=√3，
以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
y √3
则B（1，0），C（0，√3），直线BC方程为x+ =1则直线AM方程为y= x，
√3 3
3 √3
联立，解得：M（ ， ），
4 4
由图可知，当P在线段BC上时， → • → 有最大值为0，
AM BP
当P在线段AC上时， → • → 有最小值，设P（0，y）（0≤y ），
≤√3
AM BP
→ → 3 √3 3 √3 3
∴
AM
•
BP=
（ ， ）（﹣1，y）=− + y≥− ．
4 4 4 4 4
3
→ →
∴ • 的范围是[− ，0]．
AM BP
4
故选：D．
9．在平面内，定点A，B，C，D满足| → |＝| → |＝| → |＝2， → • → → • → → •
DA DB DC DA BC=DB AC=DC
49
→ 0，动点P，M满足| → |＝1， → → ，则| → |2的最大值为 ．
AB= AP PM=MC BM
4
【解答】解：平面内，| → |＝| → |＝| → |＝2， → • → → • → → • → 0，
DA DB DC DA BC=DB AC=DC AB=
∴ → ⊥ → ， → ⊥ → ， → ⊥ → ，
DA BC DB AC DC AB
可设D（0，0），A（2，0），B（﹣1，√3），C（﹣1，−√3），
∵动点P，M满足| → |＝1， → → ，
AP PM=MC
1+cosθ sinθ−√3
可设P（2+cos ，sin ），M（ ， ），
2 2
θ θ
→ 3+cosθ sinθ−3√3
∴ （ ， ），
BM=
2 2π
37+12sin( −θ)
∴ → 3+cosθ 2 sinθ−3√3 2 6 49，
BM2=( ) +( ) = ≤
2 2 4 4
π
当且仅当sin（ − ）＝1时取等号，
6
θ
∴| → |2的最大值为 49 ．
BM
4
49
故答案为： ．
4
