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专题九 《平面向量》讲义
9.3 三角形四心及面积问题
题型一 . 三角形四心
考点 1 . 重心
1．已知△ABC和点M满足 → → → →．若存在实数m使得 → → → 成
MA+MB+MC=0 AM=m(AB+AC)
立，则m＝（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
2 3 4
2．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 → →
OP=OA+
λ
→ →
AB AC
（ + ） [0，+∞），则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的
→ →
|AB|sinB |AC|sinC
λ∈
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．已知点P是△ABC所在平面内，且使得| → |2+| → |2+| → |2取得最小值的点，则点P是
PA PB PC
△ABC的（ ）
A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心
考点 2 . 内心
1．O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
→ →
→ → AB AC
OP=OA+λ( + )，λ∈[0，+∞)，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的
→ →
|AB| |AC|
心．
2．已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，A、B、C 所对的边的分别为 a，b，c，若
→ → → →，则O是△ABC的（ ）
aOA+bOB+cOC=0
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心考点 3 . 外心
1．设P是△ABC所在平面内的一点，若 → → → → → ，且 → → ．
AB⋅(CB+CA)=2AB⋅CP |AP|=|CP|
则点P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2 ． 设 P 是 △ ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 ， 若 → → → → → 且
AB⋅(CB+CA)=2AB⋅CP
→ → → → ．则点P是△ABC的（ ）
AB2=AC2−2BC⋅AP
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
考点 4 . 垂心
1．已知O为△ABC所在平面上一点，且 → 2 → 2 → 2 → 2 → 2 → 2，则O一定为
OA +BC =OB +CA =OC +AB
△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2 ． O 是 平 面 上 一 定 点 ， A ， B ， C 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足
→ →
→ → AB AC
OP=OA+λ( + )， R，则 P 的轨迹一定通过
→ →
|AB|cos∠ABC |AC|cos∠BCA
λ∈
△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
题型二 . 面积问题——奔驰定理
1．已知点O为三角形ABC内一点， → → → →，则S △ABC = ．
OA+2OB+3OC=0
S
△AOC
2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且 → 1 → 1 → ，则S （ ）
AD= AB+ AC △BCD=
3 2 S
△ABD
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
3．若点 M 是△ABC 所在平面内一点，且满足 → → → ，则△ABM 与
|3AM−AB−AC|=0△ABC的面积之比值为 ．
4．平面上O，A，B三点不共线，设 → → → →，则△OAB的面积等于（ ）
OA=a，OB=b
A．√ → → → → B．√ → → → →
|a|2|b|2−(a⋅b) 2 |a|2|b|2+(a⋅b) 2
C．1√ → → → → D．1√ → → → →
|a|2|b|2−(a⋅b) 2 |a|2|b|2+(a⋅b) 2
2 2
5．已知点 A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域 D 由所有满足
→ → → （1≤ ≤2，0≤ ≤1）的点P组成，则D的面积为 ．
AP=λAB+μAC
λ μ
→ 2 → 1 → → 1 → 2 →
6．设 P、Q为△ABC内的两点，且AP= AB+ AC，AQ= AB+ AC，则△ABP的
5 5 4 3
面积与△ABQ的面积之比为（ ）
4 8 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 10
