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题九 《平面向量》讲义
9.3 三角形四心及面积问题
题型一 . 三角形四心
考点 1 . 重心
1．已知△ABC和点M满足 → → → →．若存在实数m使得 → → → 成
MA+MB+MC=0 AM=m(AB+AC)
立，则m＝（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
2 3 4
【解答】解：因为 → → → → → → 2 → → → ，
AB+AC=AM+MB+AM+MC= AM+MB+MC
又 → → → →，所以 → → → → ，
MA+MB+MC=0 MB+MC=−MA=AM
→ → → → → → 1 → →
则
AB+AC=2AM+AM=3AM
，所以AM= (AB+AC)，
3
1
所以m= ，
3
故选：C．
2．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 → →
OP=OA+
λ
→ →
AB AC
（ + ） [0，+∞），则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的
→ →
|AB|sinB |AC|sinC
λ∈
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解答】解：∵ → → 设它们等于t，
|AB|sinB=|AC|sinC
1
→ → → →
∴ OP=OA+ ⋅ （ AB+AC ）
t
λ
而 → → 2 →
AB+AC= AD
1 → → → →
⋅ （ AB+AC ）表示与 AD 共线的向量 AP
t
λ
而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选：C．
3．已知点P是△ABC所在平面内，且使得| → |2+| → |2+| → |2取得最小值的点，则点P是
PA PB PC
△ABC的（ ）
A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心
【解答】解：根据题意，设 → →， → →， → →， → →，
OA=a OB=b OC=c OP=p
则 | → |2+| → |2+| → |2 → → → → → → 3→ 2 （ → → →） • → （
PA PB PC =(a−p) 2+(b−p) 2+(c−p) 2= p2− a+b+c p+
→ → → ），
a2+b2+c2
→ 1 → → →
当p= （
a+b+c
）时，上式取得最小值，此时P是△ABC的重心．
3
故选：A．
考点 2 . 内心
1．O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
→ →
→ → AB AC
OP=OA+λ( + )，λ∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的 内
→ →
|AB| |AC|
心．
【解答】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，
→ →
→ → AB AC
动点P满足OP=OA+λ( + )，λ∈[0，+∞)，
→ →
|AB| |AC|
即P在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．
故答案为：内
2．已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，A、B、C 所对的边的分别为 a，b，c，若
→ → → →，则O是△ABC的（ ）
aOA+bOB+cOC=0A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【解答】解：∵ → → → ， → → →
OB=AB−AO OC=AC−AO
∴ → → → a → b（ → → ）+c（ → → ）
aOA+bOB+cOC= OA+ AB−AO AC−AO
＝b → c → （a+b+c） →
AB+ AC− AO
而 → → → →，
aOA+bOB+cOC=0
∴（a+b+c） → b → c →
AO= AB+ AC
→ b → c →
即 AO= AB+ AC
a+b+c a+b+c
记 → c→ ， → b→ ，其中→ 、→ 分别表示 → 、 → 方向上的单位向量
AB= n AC= n n n AB AC
1 2 1 2
→ bc → →
则 AO= （ n +n ）
a+b+c 1 2
由该式可以看出AO位于∠BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点．
故选：D．
考点 3 . 外心
1．设P是△ABC所在平面内的一点，若 → → → → → ，且 → → ．
AB⋅(CB+CA)=2AB⋅CP |AP|=|CP|
则点P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解答】解：取AB的中点D，则 → → 2 → ，
CA+CB= CD
∵ → → → → → ，即2 → → 2 → → ，
AB⋅(CB+CA)=2AB⋅CP AB⋅CD= AB⋅CP
∴ → （ → → ）＝0，即 → → ，
AB⋅ CD−CP AB⋅PD=0
∴P在AB的中垂线上，
∴PA＝PB，又AP＝CP，
∴P为△ABC的外心．
故选：A．2 ． 设 P 是 △ ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 ， 若 → → → → → 且
AB⋅(CB+CA)=2AB⋅CP
→ → → → ．则点P是△ABC的（ ）
AB2=AC2−2BC⋅AP
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解答】解：如图所示，取AB的中点D，则 → → 2 → ，
CB+CA= CD
∵ → •（ → → ）＝2 → • → ，即2 → • → 2 → • → ，
AB CB+CA AB CP AB CD= AB CP
∴ → •（ → → ） → • → 0，即 → ⊥ → ，
AB CD−CP =AB PD= AB PD
∴P在AB的中垂线上，
又 → → → → ．
AB2=AC2−2BC⋅AP
∴（ → → ）•（ → → ）＝﹣2 → • → ，
AB+AC AB−AC BC AP
∴（ → → ）• → 2 → • → ，
AB+AC CB=− BC AP
即 → •（ → → ）＝2 → • → ，
CB AB+AC CB AP
∴点P也在BC的中垂线上，
∴点P是△ABC的外心．
故选：A．
考点 4 . 垂心
1．已知O为△ABC所在平面上一点，且 → 2 → 2 → 2 → 2 → 2 → 2，则O一定为
OA +BC =OB +CA =OC +AB△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解答】解：∵ → 2 → 2 → 2 → 2，
OA +BC =OB +CA
∴ → 2+（ → → ）2 → 2+（ → → ）2，
OA OC−OB =OB OA−OC
即 → 2 → 2 → 2﹣2 → • → → 2 → 2 → 2﹣2 → • → ，
OA +OB +OC OC OB=OA +OB +OC OC OA
即 → • → → • → ，即 → •（ → → ） → • → 0，
OC OB=OC OA OC OB−OA =OC AB=
即OC⊥AB，
同理，OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故选：D．
2 ． O 是 平 面 上 一 定 点 ， A ， B ， C 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足
→ →
→ → AB AC
OP=OA+λ( + )， R，则 P 的轨迹一定通过
→ →
|AB|cos∠ABC |AC|cos∠BCA
λ∈
△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．
→ → →
→ AB |BC||AB|cos(π−B) →
则 • = =−|BC|，
BC
→ →
|AB|cos∠ABC |AB|cos∠ABC
→
→ AC →
同理BC⋅ =|BC|，
→
|AC|cos∠ACD
→ →
→ → AB AC
∵动点P满足OP=OA+λ( + )， R．
→ →
|AB|∠cosABC |AC|cos∠BCA
λ∈
→ →
→ AB AC
∴AP=λ( + )， R．
→ →
|AB|cos∠ABC |AC|cos∠ACD
λ∈→ → → →
→ → BC⋅AB BC⋅AC → →
∴AP⋅BC=λ( + )=λ(−|BC|+|BC|)=0，
→ →
|AB|cos∠ABC |AC|cos∠ACD
∴ → → ，
AP⊥BC
因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
故选：D．
题型二 . 面积问题——奔驰定理
1．已知点O为三角形ABC内一点， → → → →，则S △ABC = 3 ．
OA+2OB+3OC=0
S
△AOC
【解答】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；
→ → → → → → →
OA+2OB+3OC=(OA+OC)+2(OB+OC)
→ →
=2OE+4OD
→
=0
∴ → → ；
OE=−2OD
∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；
3
∴DE= OE，AB＝2DE；
2
∴AB＝3OE；
∴S ．
△ABC =3
S
△AOC故答案为：3．
2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且 → 1 → 1 → ，则S （ ）
AD= AB+ AC △BCD=
3 2 S
△ABD
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
【解答】解：由已知，在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，
→ 1 → 1 →
且AD= AB+ AC，
3 2
点D在平行于AB的中位线上，且为靠近AC边，
1 1
从而有S = S ，S = S ，
△ABD 2 △ABC △ACD 3 △ABC
1 1 1 ，有S 1．
S =(1− − )S = S △BCD=
△BCD 2 3 △ABC 6 △ABC S 3
△ABD
故选：B．
3．若点 M 是△ABC 所在平面内一点，且满足 → → → ，则△ABM 与
|3AM−AB−AC|=0
1
△ABC的面积之比值为 ．
3
【解答】解：如图，取BC的中点为D，则 → → → ，
AB+AC=2AD
∵ → → → ，
|3AM−AB−AC|=0
∴ → → → →，
3AM−AB−AC=0→ → → 2 →
∴ ，∴AM= AD，
3AM=2AD
3
→ 2 →
∴|AM|= |AD|，
3
2 2 1 1
∴S = S = ×( S )= S ，
△ABM 3 △ABD 3 2 △ABC 3 △ABC
∴S 1．
△ABM =
S 3
△ABC
1
故答案为： ．
3
4．平面上O，A，B三点不共线，设 → → → →，则△OAB的面积等于（ ）
OA=a，OB=b
A．√ → → → → B．√ → → → →
|a|2|b|2−(a⋅b) 2 |a|2|b|2+(a⋅b) 2
C．1√ → → → → D．1√ → → → →
|a|2|b|2−(a⋅b) 2 |a|2|b|2+(a⋅b) 2
2 2
1 → → → →
【解答】解：S = |a||b|sin＜a，b＞
△OAB 2
√ → →
1 → → √ → → 1 → → • (a⋅b) 2
= |a||b| 1−cos2＜a，b＞ = |a||b| 1−
2 2 → →
|a|2|b|2
1√ → → → → ；
= |a|2|b|2−(a⋅b) 2
2
故选：C．
5．已知点 A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域 D 由所有满足
→ → → （1≤ ≤2，0≤ ≤1）的点P组成，则D的面积为 3 ．
AP=λAB+μAC
λ μ
【解答】解：设P的坐标为（x，y），则
→ （2，1）， → （1，2）， → （x﹣1，y+1），∵ → → → ，
AB= AC= AP= AP=λAB+μAC2 1
{λ= x− y−1
∴{x−1=2λ+μ，解之得 3 3
y+1=λ+2μ 1 2
μ=− x+ y+1
3 3
2 1
{1≤ x− y−1≤2
∵1≤ ≤2，0≤ ≤1，∴点P坐标满足不等式组 3 3
1 2
0≤− x+ y+1≤1
λ μ
3 3
作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部
其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）
∵|CF| ，
=√(4−3) 2+(2−0) 2=√5
|2×5−1−6| 3√5
点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6＝0的距离为d= =
√5 5
3√5
∴平行四边形CDEF的面积为S＝|CF|×d=√5× =3，即动点P构成的平面区域D的
5
面积为3
故答案为：3
→ 2 → 1 → → 1 → 2 →
6．设 P、Q为△ABC内的两点，且AP= AB+ AC，AQ= AB+ AC，则△ABP的
5 5 4 3
面积与△ABQ的面积之比为（ ）
4 8 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 10
→ 2 → → 1 →
【解答】解：设AM= AB，AN= AC，则
5 5
→ 2 → 1 → → → →
∵AP= AB+ AC，∴
AP=AM+AN
5 5
由平行四边形法则知NP∥AB
1
∴△ABP的面积与△ABC的面积之比
52
同理△ABQ的面积与△ABC的面积之比为
3
1 2 3
∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 ： =
5 3 10
故选：D．
