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专题 10.5 互斥对立，条件概率与独立事件
题型一 互斥与对立
题型二 频率与概率
题型三 古典概型
题型四 独立事件的概率
题型五 条件概率
题型六 全概率公式
题型七 贝叶斯公式
题型一 互斥与对立
例1．抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件A表示“掷出的点数大于2”，则与A互斥且不对立的事件是（
）．
A．掷出的点数为偶数 B．掷出的点数为奇数
C．掷出的点数小于2 D．掷出的点数小于3
例2．一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，
0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率．
(2)至少射中7环的概率．
练习1．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
练习2．已知随机事件 中， 与 互斥， 与 对立，且 ，则
（ ）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9
练习3．下列说法中正确的是（ ）
A．若事件 与事件 是互斥事件，则
B．对于事件 和 ，
C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”
与事件“乙分得红牌”是互斥事件
练习4．（多选）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号为
1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于
5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ）
A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件B是对立事件
C．事件 发生的概率为 D．事件 发生的概率为
练习5．某射击运动员在一次射击中，射中 环的概率是射中 环的概率的2倍，运动员射中 环以下的概
率为 ，求运动员在一次射击中，射中 环的概率．
题型二 频率与概率
例3．在抛掷硬币试验中，记事件A为“正面朝上”，则下列说法正确的（ ）
A．抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为
B．抛掷十枚硬币，事件B为“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明
C．抛掷100次硬币，事件A发生的频率比抛掷50次硬币发生的频率更接近于0.5
D．当抛掷次数足够大时，事件A发生的频率接近于0.5
例4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米3285石，验得米内
有夹谷，抽样取米一把，数得261粒米内有夹谷29粒，则这批米内夹谷约为_____石.练习6．在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸
出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红
球约有_____个.
练习7．某制造商今年 月份生产了一批乒乓球，随机抽取 个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：
mm），将数据分组如下：
频
分组 频率
数
10 0.10
20 0.20
50 0.50
20 0.20
合计 100 1.00
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为 ，则这批乒乓球的直径误差不超过 的
概率是_____．
练习8．（多选）某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下
的为食用米线汉堡等其它食品（每人只选一种），结果如表所示：
总人次
大米套餐人次数 面食人次数
数
1000 550 260
假设随机抽取一位同学，记中午吃大米套餐为事件M，吃面食为事件N，吃米线汉堡等其他食品为事件
H，若用频率估计事件发生的概率，则（ ）
A． B．
C． D．练习9．甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A
查到共有840人参与评价，其中好评率为 ，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为
．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A． B． C． D．
练习10．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得
此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在 的概率约为0.5
题型三 古典概型
例5．用0，1，2三个数字组成的没有重复数字的三位数中，其中三位数为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
例6．若从集合 中任取3个元素组成该集合的一个子集，那么取得的子集中，满足3个元素中恰
好含有2个连续整数的概率等于_____；
练习11．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风
情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这
6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（ ）
A． B． C． D．
练习12．一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从
袋中一次性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
练习13．2022年11月8日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育场开幕，这是九江市举
办的规模最大、规格最高的综合性体育赛事．赛事期间，有3000多名志愿者参加了活动．现将4名志愿者
分配到跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志
愿者，则“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率为_____．
练习14．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王
的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组
分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为
_____．
练习15．某校组织了600名高中学生参加中国共青团相关的知识竞赛，将竞赛成绩分成 ， ，
， ， 五组，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据 ， ， 成等差数
列，成绩落在区间 内的人数为300.(1)求出频率分布直方图中 ， ， 的值；
(2)估计该校学生分数的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)现采用分层抽样的方法从分数落在 ， 内的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取
2人进行现场知识答辩，求抽取的这2人中恰有1人的得分在区间 内的概率.
题型四 独立事件的概率
例7．甲，乙，丙三人打靶，他们的命中率分别 ，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙
没有击中目标的概率为 ，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为 ，已知“甲击中目标”，“乙击中目
标”，“丙击中目标”是相互独立事件，则 的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
例8．如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为 ，则灯亮的概率为_____．练习16．抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件 “第一枚骰子奇数面朝上”，事件 “第二枚骰子偶
数面朝上”，事件 “两枚骰子向上点数之和为 ”.则下列结论正确的是（ ）
A． 与 对立 B． 与 互斥
C． D． 与 独立
练习17．某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如
果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段
比赛的概率均为 ，乙通过每个阶段比赛的概率均为 ，丙通过每个阶段比赛的概率均为 ，且三人每次
通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
练习18．在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军。乒乓球决赛采
用7局4胜制.在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在
平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率
为 ，樊振东发球时马龙得分的概率为 ，各球的结果相互独立，在双方 平后，马龙先发球，则双
方战至 的概率为（ ）
A． B． C． D．
练习19．（多选）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为 事件，“第二次抛掷结
果向上的点数是3的倍数”记为 事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为 事件，“两次抛
掷结果向上的点数之和为奇数”记为 事件，则下列叙述中不正确的是（ ）
A． 与 互斥 B．
C． 与 相互独立 D． 与 不相互独立练习20．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为 ，乙同学一次投篮命中的概
率为 ，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命中的概率是_____．
题型五 条件概率
例9．从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件 ：“取出的5个不同的数的中位数是
4”，事件 ：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则 （ ）
A． B． C． D．
例10．（多选）已知 为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
练习21．2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习
“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，
现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（
）．
A． B． C． D．
练习22．若 是互斥事件且 ，则 （ ）
A． B．C． D．
练习23．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中
随机取出一球放入乙罐，分别以 、 和 表示从甲罐中取出红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一
球，以 表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
练习24．已知 ， ， ，则 _____．
练习25．甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球为1个，
标号为1的2个，标号为2的n个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是 .
(1)求n的值；
(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率.
题型六 全概率公式
例11．甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单
位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
例12．已知 ，则 _____．
练习26．甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以 ， 表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以
表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则 （ ）
A． B． C． D．
练习27．某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为 ；若浇水，盆
栽枯萎的概率为 ．邻居浇水的概率为 ．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（ ）
A． B． C． D．
练习28．有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占 ，乙工厂生产的占 .已知甲、乙两工厂生
产的该型号产品的次品率分别为 ， ，则从这批产品中任取一件是次品的概率是_____.
练习29．有 台车床加工同一型号的零件，第 台加工的次品率为 ，第 ， 台加工的次品率均为 ，
加工出来的零件混放在一起，第 ， ， 台车床加工的零件数分别占总数的 ， ， .随机取一
个零件，记 “零件为次品”， “零件为第 台车床加工” ，则下列结论：
①
②
③
④
其中正确的序号为_____ .
练习30．“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000
多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青
团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青
团”和4个青菜馅的“青团”.问：(1)从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的的概率是多少？
(2)若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率；
(3)若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青
团”是蛋黄馅的概率.
题型七 贝叶斯公式
例13．托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：
，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中 称为
的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放
入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概
率为（ ）
A． B． C． D．
例14．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：
．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，
周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周
六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为
_____．
练习31．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占 ，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都
占 ，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中
的概率为（ ）A． B． C． D．
练习32．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为
0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3
练习33．某货车为某书店运送书籍，共 箱，其中 箱语文书、 箱数学书、 箱英语书．到达目的地时
发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的 箱书中随机打开 箱，结果是 箱语文书、 箱数学书，
则丢失的一箱是英语书的概率为（ ）
A． B． C． D．
练习34．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3
台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的
10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概
率为_____．
练习35．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为
80%，当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%，
某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为_____（精确到
0.1%）.
