26.1二次函数及其图象同步练习新人教版_1、初中学习资料_4-2、数学_4-2-6、初三数学下册_人教数学九年级下课时练习（120份）_同步练习（第2套含答案）（共37份）

26.1 二次函数及其图象 专题一 开放题 1．请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为﹣1，且经过点（1，3）的抛物线的解析 式 ．（答案不唯一） 2．（1）若y (m2 m)xm2m是二次函数，求m的值； （2）当k为何值时，函数y (k1)xk22k1(k3)xk是二次函数？ 专题二 探究题 3．如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移 2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物 线的解析式是（ ） A． B． y(x1)2 1 y(x1)2 1 C． y (x1)2 1 D． y  (x1)2 1 4．如图，若一抛物线y＝ax2与四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2围成 的正方形有公共点，求a的取值范围. 专题三 存在性问题5．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3. （1）求抛物线的解析式； （2）若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP 的周长最小？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由. b 注：二次函数y ax2 bxc（a≠0）的对称轴是直线x= . 2a = 1 6．如图,二次函数y  x2 xc的图象与x轴分别交于A、B两点,顶点M 关于x轴的对 2 称点是M′. （1）若A(－4,0),求二次函数的关系式; （2）在(1)的条件下,求四边形AMBM′的面积; 1 （3）是否存在抛物线y  x2 xc,使得四边形AMBM′为正方形？若存在,请求出此抛 2 物线的函数关系式;若不存在,请说明理由. 【知识要点】1．二次函数的一般形式 （其中a≠0，a，b，c为常数）. yax2 bxc 2．二次函数 y ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a＞0时，抛物线的开口向上， 顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点 是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大． 3．抛物线y a(xh)2 k 的图象与性质： （1）二次函数y a(xh)2 k 的图象与抛物线y ax2形状相同，位置不同，由抛物线 y ax2平移可以得到抛物线y a(xh)2 k .平移的方向、距离要根据h，k的值确定. （2）①当a0时，开口向上；当a＜0时，开口向下； ②对称轴是直线xh； ③顶点坐标是（h，k）. b b 4acb2 4．二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x= ，顶点坐标为( , ). 2a 2a 4a 【温馨提示】 1．二次函数的一般形式y=ax2+bx+c中必须强调a≠0. 2．当a＜0时，a越小，开口越小，a越大，开口越大. 3．二次函数的增减性是以对称轴为分界线的. 4．当a＞0时，二次函数有最小值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最 近处，取得函数的最小值；当a＜0时，二次函数有最大值，若自变量取值范围不包括顶点 的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最大值. 【方法技巧】 1．一般地，抛物线的平移规律是 “上加下减常数项，左加右减自变量”. 2．如已知三个点求抛物线解析式，则设一般式y=ax2+bx+c. 3．若已知顶点和其他一点，则设顶点式 . y a(xh)2 k 参考答案 1．答案不唯一，如y=x2+3x﹣1等. 【解析】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵ 开口向上，∴a＞0. ∵其与y轴交点纵坐标为﹣1，∴c=﹣1. ∵经过点（1，3），∴a+b－1=3.令a=1，则b=3，所以y=x2+3x﹣1． m2 m  2, 2．解:（1）由题意，得 解得m=2．  m2 m 0, k2 2k 1 2, （2）由题意，得 解得k=3． k 1 0, 3．C【解析】把抛物线y=x2沿直线y=x平移 个单位，即是将抛物线向上平移一个单位长度 2 后再向右移1个单位长度，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后 的抛物线的解析式为 ，答案为C. y (x1)2 1 4．解:因为四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2围成正方形ABCD，所以A(1，2)，C(2，1). 设过A点的抛物线解析式为y＝ax2，过C点的抛物线解析式为y＝ax2，则a≤a≤a. 1 2 2 1 把A(1，2)，C(2，1)分别代入，可求得a=2，a=.所以a的取值范围是≤a≤2. 1 2 1 c 3, 5．解:（1）将A（-2,0）， C（0,3）代入y=  x2 bxc 得  2 22bc 0, 1 1 解得b= ，c= 3.∴此抛物线的解析式为 y=  x2+ x+3. 2 2 (2) 连接AD交对称轴于点P，则P为所求的点.设直线AD的解析式为y=kx+b. 2k b 0, 1 1 由已知得 解得k= ，b=1.∴直线AD的解析式为y= x+1.  2k b  2, 2 2 b 1 1 5 1 5 对称轴为直线x=－ = .当x = 时，y = ，∴ P点的坐标为（ ， ）. 2a 2 2 4 2 4 1 6．解:(1) 把A(－4，0)代入y  x2  xc，解出c＝-12. 2 1 ∴二次函数的关系式为y  x2  x12. 2 (2)如图, y M' A O B x M1 令y＝0,则有 x2 x120，解得x  4,x 6，∴A(－4,0),B(6,0)， ∴AB＝10. 2 1 2 1 1 25 25 25 ∵y  x2 x12 (x1)2  ,∴M(1,  ), ∴M′(1, )， ∴MM′＝25. 2 2 2 2 2 1 1 ∴四边形AMBM′的面积＝ AB·MM′＝ ×10×25＝125. 2 2 1 (3) 存在.假设存在抛物线 y  x2  xc,使得四边形AMBM′为正方形.令y＝0,则 2 1 y  x2  xc  0，解得x 1 12c . 2 ∴A( ,0),B( ,0)，∴AB＝ . 1 12c 1 12c 2 12c ∵四边形AMBM′为正方形, ∴MM′＝ . 2 12c b ∵对称轴为直线x   1，∴顶点M(1,  12c). 2a 1 1 把点M的坐标代入y  x2 xc,得 12c＝ 1c, 2 2 3 1 3 整理得c2 c 0,解得c  (不合题意,舍去), c   . 4 1 2 2 2 1 3 ∴抛物线关系式为y  x2  x 时, 四边形AMBM′为正方形. 2 2