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§7.6 空间向量的概念与运算
考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的
正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及
其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向
量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
知识梳理
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有__________和________的量
相等向量 方向________且模________的向量
相反向量 长度________而方向________的向量
共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相________或______的
(或平行向量) 向量
共面向量 平行于________________的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使
________________．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存
在______的有序实数对(x，y)，使p＝______.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，
z)，使得p＝____________，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝________________．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)．
1 2 3 1 2 3
向量表示 坐标表示
数量积 a·b
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)模 |a|
cos〈a，b〉＝(a≠0，
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝______________
b≠0)
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此
向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
l∥l n∥n⇔n＝λn(λ∈R)
1 2 1 2 1 2
直线l，l 的方向向量分别为n，n
1 2 1 2
l⊥l n⊥n⇔n·n＝0
1 2 1 2 1 2
直线l的方向向量为n，平面α的法 l∥α n⊥m⇔n·m＝0
向量为m，l⊄α l⊥α n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
α∥β n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
常用结论
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任
意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，
O为空间中任意一点．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( )
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( )
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( )
教材改编题
1. 如图，在平行六面体ABCD－ABC D 中，AC与BD的交点为点M，设AB＝a，AD＝b，
1 1 1 1
AA1＝c，则下列向量中与C1M相等的向量是( )A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b－c D．－a－b＋c
2. 如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，棱长为a，M，N分别为AB和AC上的点，
1 1 1 1 1
AM＝AN＝，则MN与平面BBC C的位置关系是( )
1 1 1
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
3．设直线 l ，l 的方向向量分别为 a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若 l⊥l ，则 m＝
1 2 1 2
________.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)在空间四边形ABCD中，AB＝(－3,5,2)，CD＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线
段BC，AD的中点，则EF的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱ABC －ABC中，D是四边形BBC C的中心，且AA1
1 1 1 1 1
＝a，AB＝b，AC＝c，则A1D等于( )
A.a＋b＋c
B.a－b＋c
C.a＋b－c
D．－a＋b＋c
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．跟踪训练1 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
(2)如图，在长方体ABCD－ABC D 中，O为AC的中点．
1 1 1 1
①化简A1O－AB－AD＝________；
②用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________.
题型二 空间向量基本定理及其应用
例2 (1)下列命题正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若AB，CD共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点
共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，则λ＋μ＝1是A，
B，C三点共线的充要条件
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
PA＝λPB MP＝xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝OA＋tAB 对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－ 对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－
x)OB y)OB
跟踪训练2 (1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间
中任意一点，若BD＝6PA－4PB＋λPC，则λ等于( )A．2 B．－2 C．1 D．－1
(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，且满足DE＝xDA＋yDC＋(1－x
1 1 1 1
－y)DD1，则|DE|的最小值是( )
A. B. C. D.
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 (1)已知点O为空间直角坐标系的原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，
且点Q在直线OP上运动，当QA·QB取得最小值时，OQ的坐标是______．
听课记录：______________________________________________________________
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(2)如图，已知平行六面体ABCD－ABC D 中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA ＝2，
1 1 1 1 1
∠AAB＝∠AAD＝120°.
1 1
①求线段AC 的长；
1
②求异面直线AC 与AD所成角的余弦值；
1 1
③求证：AA⊥BD.
1
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思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接
计算；二是利用坐标运算．
跟踪训练3 (1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，
则PO·PA等于( )
A. B. C. D.
(2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．
①求〈AB，BC〉；
②求AC在AB上的投影向量．
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________________________________________________________________________题型四 向量法证明平行、垂直
例4 如图所示，在长方体ABCD －ABC D 中，AA＝AD＝1，E为CD的中点．
1 1 1 1 1
(1)求证：BE⊥AD；
1 1
(2)在棱AA 上是否存在一点P，使得DP∥平面BAE？若存在，求AP的长；若不存在，说
1 1
明理由．
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思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直
条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有
关定理．
跟踪训练4 如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC ＝4，点E在线
1 1 1 1
段BB 上，且EB＝1，D，F，G分别为CC ，C B，C A 的中点．
1 1 1 1 1 1 1
(1)求证：平面ABD⊥平面ABD；
1 1
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
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