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§7.6 空间向量的概念与运算
考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的
正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及
其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向
量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
知识梳理
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 长度相等而方向相反的向量
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行
共线向量(或平行向量)
或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝
λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存
在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，
z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)．
1 2 3 1 2 3
向量表示 坐标表示
数量积 a·b ab ＋ ab ＋ ab
1 1 2 2 3 3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a ＝ λ b ， a ＝ λ b ， a ＝ λ b
1 1 2 2 3 3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ab ＋ ab ＋ ab ＝ 0
1 1 2 2 3 3
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模 |a|
cos〈a，b〉＝(a≠0，
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝
b≠0)
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此
向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
l∥l n∥n⇔n＝λn(λ∈R)
1 2 1 2 1 2
直线l，l 的方向向量分别为n，n
1 2 1 2
l⊥l n⊥n⇔n·n＝0
1 2 1 2 1 2
直线l的方向向量为n，平面α的法 l∥α n⊥m⇔n·m＝0
向量为m，l⊄α l⊥α n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
α∥β n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
常用结论
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任
意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，
O为空间中任意一点．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( × )
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( √ )
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( × )
教材改编题
1. 如图，在平行六面体ABCD－ABC D 中，AC与BD的交点为点M，设AB＝a，AD＝b，
1 1 1 1
AA1＝c，则下列向量中与C1M相等的向量是( )
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A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b－c D．－a－b＋c
答案 C
解析 C1M＝C1C＋CM＝C1C＋(CB＋CD)＝A1A＋DA＋BA＝－a－b－c.
2. 如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，棱长为a，M，N分别为AB和AC上的点，
1 1 1 1 1
AM＝AN＝，则MN与平面BBC C的位置关系是( )
1 1 1
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
答案 B
解析 分别以C B ，C D ，C C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．因为AM＝
1 1 1 1 1 1
AN＝，所以M，N，所以MN＝，
又C (0,0,0)，D(0，a,0)，所以C1D1＝(0，a,0)，所以MN·C1D1＝0，所以MN⊥C1D1.
1 1
因为C1D1是平面BBC C的一个法向量，且MN⊄平面BBC C，所以MN∥平面BBC C.
1 1 1 1 1 1
3．设直线 l ，l 的方向向量分别为 a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若 l⊥l ，则 m＝
1 2 1 2
________.
答案 10
解析 ∵l⊥l，∴a⊥b，
1 2
∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)在空间四边形ABCD中，AB＝(－3,5,2)，CD＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线
段BC，AD的中点，则EF的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
答案 B
解析 因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，
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所以EF＝OF－OE，OF＝(OA＋OD)，OE＝(OB＋OC)．
所以EF＝(OA＋OD)－(OB＋OC)＝(BA＋CD)＝×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]
＝×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱ABC －ABC中，D是四边形BBC C的中心，且AA1
1 1 1 1 1
＝a，AB＝b，AC＝c，则A1D等于( )
A.a＋b＋c
B.a－b＋c
C.a＋b－c
D．－a＋b＋c
答案 D
解析 A1D＝A1A＋AB＋BD
＝－AA1＋AB＋(BB1＋BC)
＝－AA1＋AB＋AA1＋(AC－AB)
＝－AA1＋AB＋AC
＝－a＋b＋c.
思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
跟踪训练1 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
答案 B
解析 由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
(2)如图，在长方体ABCD－ABC D 中，O为AC的中点．
1 1 1 1
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①化简A1O－AB－AD＝________；
②用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________.
答案 ①A1A ②AB＋AD＋AA1
解析 ①A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AO＝A1O＋OA＝A1A.
②因为OC＝AC＝(AB＋AD)．
所以OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1.
题型二 空间向量基本定理及其应用
例2 (1)下列命题正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
答案 C
解析 若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；
因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错
误；
假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；
假设b＝0，若a, c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a, c不共线，则
不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误．
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若AB，CD共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点
共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，则λ＋μ＝1是A，
B，C三点共线的充要条件
答案 CD
解析 由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量
a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若AB，CD共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，因为＋＋＝1，
可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA－PC＝λ(PB－PC)，即CA＝λCB，
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所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以
D正确．
思维升华 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
PA＝λPB MP＝xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝OA＋tAB 对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－ 对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－
x)OB y)OB
跟踪训练2 (1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间
中任意一点，若BD＝6PA－4PB＋λPC，则λ等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 B
解析 BD＝6PA－4PB＋λPC，即PD－PB＝6PA－4PB＋λPC，
整理得PD＝6PA－3PB＋λPC，
由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，且满足DE＝xDA＋yDC＋(1－x
1 1 1 1
－y)DD1，则|DE|的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为DE＝xDA＋yDC＋(1－x－y)DD1，由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D
1
四点共面，即点E在平面ACD 上，所以|DE|的最小值即为点D到平面ACD 的距离d，由正
1 1
方体的棱长为1，可得△ACD 是边长为的等边三角形，则 ＝×()2×sin ＝，S ＝
1 △ACD
×1×1＝，由等体积法得 ，所以××d＝××1，解得d＝，所以|DE|的最小值
为.
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 (1)已知点O为空间直角坐标系的原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，
且点Q在直线OP上运动，当QA·QB取得最小值时，OQ的坐标是______．
答案
解析 ∵OP＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，
设OQ＝λOP＝(λ，λ，2λ)，
又∵OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，
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∴QA＝OA－OQ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
QB＝OB－OQ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
则QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，
当λ＝时，QA·QB取得最小值，
此时OQ的坐标为.
(2)如图，已知平行六面体ABCD－ABC D 中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA ＝2，
1 1 1 1 1
∠AAB＝∠AAD＝120°.
1 1
①求线段AC 的长；
1
②求异面直线AC 与AD所成角的余弦值；
1 1
③求证：AA⊥BD.
1
①解 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，
c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
因为AC1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c，
所以|AC1|＝|a＋b＋c|＝
＝
＝＝，
所以线段AC 的长为.
1
②解 因为AC1＝a＋b＋c，A1D＝b－c，
所以AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)
＝a·b－a·c＋b2－c2
＝0＋1＋1－4＝－2，
|A1D|＝|b－c|＝
＝
＝＝，
设异面直线AC 与AD所成的角为θ，
1 1
则cos θ＝|cos〈AC1，A1D〉|＝
＝＝，
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即异面直线AC 与AD所成角的余弦值为.
1 1
③证明 由①知AA1＝c，BD＝b－a，
所以AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，
即AA1·BD＝0，
所以AA⊥BD.
1
思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接
计算；二是利用坐标运算．
跟踪训练3 (1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，
则PO·PA等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AO，∴PO·OA＝0，
|AO|＝·|AB|·sin 60°＝，
故PO·PA＝PO·(PO＋OA)＝|PO|2＝|AP|2－|AO|2＝4－＝.
(2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．
①求〈AB，BC〉；
②求AC在AB上的投影向量．
解 ①因为A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)，
所以AB＝(0,3,3)，BC＝(2，－2,0)．
因为AB·BC＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，
|AB|＝3，|BC|＝2，
所以cos〈AB，BC〉＝＝＝－，
故〈AB，BC〉＝.
②因为AC＝(2,1,3)，AB＝(0,3,3)，
所以AC·AB＝0＋1×3＋3×3＝12.
因为|AB|＝3，|AC|＝，
所以cos〈AC，AB〉＝＝＝，
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所以AC在AB上的投影向量为|AC|cos〈AC，AB〉＝××＝AB＝(0,2,2)．
题型四 向量法证明平行、垂直
例4 如图所示，在长方体ABCD －ABC D 中，AA＝AD＝1，E为CD的中点．
1 1 1 1 1
(1)求证：BE⊥AD；
1 1
(2)在棱AA 上是否存在一点P，使得DP∥平面BAE？若存在，求AP的长；若不存在，说
1 1
明理由．
(1)证明 以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示
的空间直角坐标系．设AB＝a，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D(0,1,1)，E，B(a,0,1)．
1 1
故AD1＝(0,1,1)，B1E＝.
因为B1E·AD1＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以B1E⊥AD1，即BE⊥AD.
1 1
(2)解 存在满足要求的点P，
假设在棱AA 上存在一点P(0,0，z)，
1 0
使得DP∥平面BAE，此时DP＝(0，－1，z)，
1 0
设平面BAE的法向量为n＝(x，y，z)．
1
AB1＝(a,0,1)，AE＝.
因为n⊥平面BAE，所以n⊥AB1，n⊥AE，
1
得
取x＝1，则y＝－，z＝－a，
故n＝.
要使DP∥平面BAE，只需n⊥DP，
1
则－az＝0，解得z＝.
0 0
所以存在点P，满足DP∥平面BAE，此时AP＝.
1
思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直
条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
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(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有
关定理．
跟踪训练4 如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC ＝4，点E在线
1 1 1 1
段BB 上，且EB＝1，D，F，G分别为CC ，C B，C A 的中点．
1 1 1 1 1 1 1
(1)求证：平面ABD⊥平面ABD；
1 1
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
证明 以B为坐标原点，BA，BC，BB 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空
1
间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)．
1
设BA＝a，则A(a,0,0)，G.
(1)因为BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，B1D＝(0,2，－2)，
所以B1D·BA＝0，B1D·BD＝0.
所以B1D⊥BA，B1D⊥BD，
即BD⊥BA，BD⊥BD.
1 1
又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，所以BD⊥平面ABD.
1
因为BD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ABD.
1 1 1 1 1
(2)方法一 因为EG＝，EF＝(0,1,1)，B1D＝(0,2，－2)，
所以B1D·EG＝0，B1D·EF＝0.
所以BD⊥EG，BD⊥EF.
1 1
因为EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，所以BD⊥平面EGF.
1
又由(1)知BD⊥平面ABD，
1
所以平面EGF∥平面ABD.
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方法二 因为GF＝，
所以GF＝－BA，∴GF∥BA，
又GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，
又GF∩EF＝F，GF，EF⊂平面EGF，
所以平面EGF∥平面ABD.
课时精练
1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若
l∥α，则x等于( )
A．－6 B．6 C．－4 D．4
答案 D
解析 若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，
即3x－2－10＝0，解得x＝4.
2．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若OA，OB，OC是空间的一组基底，且OD＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，D四点共面
D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底
答案 ACD
解析 对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则 a，b为共线向量，即
a∥b，故A正确；
对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；
对于C，若OA，OB，OC是空间的一组基底，且OD＝OA＋OB＋OC，
则OD－OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)，即AD＝AB＋AC，
可得A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D，若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，
则空间任意一个向量d存在唯一实数组(x，y，z),
使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，
则a，b，c也是空间的一组基底．
3. 如图，在长方体ABCD－ABC D 中，设AD＝1，则BD1·AD等于( )
1 1 1 1
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A．1 B．2
C．3 D.
答案 A
解析 由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB，AD∥BC，AD＝BC＝1，
1
BD1＝BA＋BC＋BB1，所以BD1·AD＝(BA＋BC＋BB1)·AD＝BA·AD＋BC·AD＋BB1·AD＝0＋
BC2＋0＝1.
4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平
面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.
C. D.
答案 B
解析 对于选项A，PA＝(1,0,1)，PA·n ＝5，所以PA与n不垂直，排除A；同理可排除C，
D；对于选项B，有PA＝，所以PA·n＝0，因此B项正确．
5. 如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半
平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( )
A．2 B．3 C．2 D．4
答案 B
解析 ∵CD＝CA＋AB＋BD，
∴CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋2CA·BD＋2AB·BD，
∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴CA·AB＝0，BD·AB＝0，
CA·BD＝|CA||BD|cos(180°－120°)＝×1×2＝1.
∴CD2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴|CD|＝3.
6．(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法
正确的是( )
A．向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直
B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面
C．若a与b分别是异面直线l 与l 的方向向量，则其所成角的余弦值为
1 2
D．向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)
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答案 BC
解析 对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，
故a，c不垂直，故A错；
对于B，设d＝ma＋nb，
则m(2，－2,1)＋n(3,0,4)＝(1，－4，－2)，
所以解得
即2a－b＝d，故B对；
对于C，因为cos〈a，b〉＝＝＝，
所以异面直线l 与l 所成角的余弦值为，故C对；
1 2
对于D，向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝3×××(3,0,4)＝，故D错．
7．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝
(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b＝________.
答案 2
解析 ∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量，
n＝(2,3,3)是平面α的一个法向量，l⊥α，∴m∥n，
∴＝＝，解得a＝，b＝－，
∴a＋b＝2.
8．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝VC，VM＝VB， VN
＝VD.则VA与平面PMN的位置关系是________．
答案 VA∥平面PMN
解析 如图，设VA＝a，VB＝b，VC＝c，则VD＝a＋c－b，
由题意知PM＝b－c，PN＝VD－VC＝a－b＋c.
因此VA＝PM＋PN，∴VA，PM，PN共面．
又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.
9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)
解 (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
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(2)令AE＝tAB (t∈R)，AB＝(1，－1，－2)，
所以OE＝OA＋AE＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若OE⊥b，则OE·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.
因此存在点E，使得OE⊥b，此时点E的坐标为.
10. 如图，四棱锥P －ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，
F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：
(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
证明 (1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．
PD＝(0,2，－2)，AH＝(1,0,0)，AF＝(0,1,1)，
∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.
∴PD⊥AF，PD⊥AH，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF.
11.如图，在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝AD＝AA＝，点P为线段AC上的动点，则下
1 1 1 1 1 1
列结论不正确的是( )
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A．当A1C＝2A1P时，B，P，D三点共线
1
B．当AP⊥A1C时，AP⊥D1P
C．当A1C＝3A1P时，DP∥平面BDC
1 1
D．当A1C＝5A1P时，AC⊥平面DAP
1 1
答案 B
解析 如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，C(0，，0)，D(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1，，
1 1 1
1)，D(0,0,0)，
B(1，，0)，C (0，，1)，
1
当A1C＝2A1P时，A1P＝，
DP＝DA1＋A1P＝，
而DB1＝(1，，1)，
∴DP＝DB1，∴B，P，D三点共线，A正确；
1
设A1P＝λA1C，A1C＝(－1，，－1)，则AP＝AA1＋A1P＝AA1＋λA1C＝(－λ，λ，1－λ)．
当AP⊥A1C时，有AP·A1C＝5λ－1＝0，
∴λ＝，
∴AP·D1P＝·＝－≠0，∴AP与D1P不垂直，B不正确；
当A1C＝3A1P时，A1P＝，
D1P＝A1P－A1D1＝，
又DB＝(1，，0)，DC1＝(0，，1)，
∴D1P＝DB－DC1，∴D1P，DB，DC1共面，又DP⊄平面BDC ，∴DP∥平面BDC ，C正
1 1 1 1
确；
当A1C＝5A1P时，A1P＝，从而AP＝，
又AD1·A1C＝(－1,0,1)·(－1，，－1)＝0，
∴AC⊥AD，
1 1
AP·A1C＝·(－1，，－1)＝0，
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∴AC⊥AP，∵AD∩AP＝A，AD，AP⊂平面DAP，∴AC⊥平面DAP，D正确．
1 1 1 1 1 1
12．(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－ABC D 中，AA ＝3，点M，N分别在
1 1 1 1 1
棱AB和BB 上运动(不含端点)．若DM⊥MN，则下列命题正确的是( )
1 1
A．MN⊥AM
1
B．MN⊥平面DMC
1
C．线段BN长度的最大值为
D．三棱锥C －ADM体积不变
1 1 1
答案 ACD
解析 在正方体ABCD－ABC D 中，以点D为原点，射线DA，DC，DD 分别为x，y，z
1 1 1 1 1
轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(3,0,3)，D(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，
1 1
设 M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，D1M＝(3，y，－3)，MN＝(0,3－y，z)，而
DM⊥MN，
1
则D1M·MN＝y(3－y)－3z＝0，
即z＝y(3－y)．
对于 A 选项，连接 AM，A1M＝(0，y，－3)，则A1M·MN＝y(3－y)－3z＝0，则
1
A1M⊥MN，MN⊥AM，A正确；
1
对于B选项，CM＝(3，y－3,0)，CM·MN＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，
从而MN与平面DMC不垂直，B不正确；
1
对于C选项，BN＝(0,0，z)，则线段BN长度|BN|＝z＝≤，当且仅当y＝时等号成立，C正确；
对于D选项，连接DM，AC ，MC ，不论点M如何移动，点M到平面ADC 的距离均为
1 1 1 1 1 1 1
3，而 ＝，所以三棱锥C －ADM体积为定值，即D正
1 1 1
确．
13．在正三棱柱ABC－ABC 中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，C1N＝
1 1 1
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λNC，且AB⊥MN，则λ的值为________．
1
答案 15
解析 如图所示，取BC 的中点P，连接MP，
1 1
以MC，MA，MP的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
因为底面边长为1，侧棱长为2，
则A，B，C，C ，M(0,0,0)，
1 1
设N，
因为C1N＝λNC，
所以N，
所以AB1＝，MN＝.
又因为AB⊥MN，
1
所以AB1·MN＝0，
所以－＋＝0，
解得λ＝15.
14．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为AD ，BB 的中
1 1 1 1 1 1 1
点，则cos∠EAF＝________，EF＝________.
答案
解析 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直
1
角坐标系，
∵正方体的棱长为1，
则E，F，
∴AE＝，AF＝，
EF＝，
cos〈AE，AF〉＝＝＝，
∴cos∠EAF＝，
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EF＝|EF|＝＝.
15．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形
ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何
体．已知当点F满足AF＝λAB(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直
角坐标系，如图所示，
则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，
设F(t,0,0)，0
