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§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
课标要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e 和e 是同一平面内两个______的向量，那么对该平面内____________向量a，存在
1 2
______的一对实数λ，λ，使a＝λe＋λe.
1 2 1 1 2 2
把不共线的向量e 和e 叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e，e}．
1 2 1 2
2．平面向量的正交基、正交分解及标准正交基
(1)若基中的两个向量互相______，则称这组基为正交基．
(2)在______下向量的线性表示称为正交分解．
(3)若基中的两个向量是互相垂直的______向量，则称这组基为标准正交基．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝____________，a－b＝____________，λa＝____________，|a|＝____________.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则________坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝____________________________________________
1 1 2 2
________，|AB|＝___________________________________________________________.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b ________________________.
1 1 2 2
常用结论
⇔
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P为线段AB的中点，若A(x，y)，B(x，y)，则P点坐标为.
1 1 2 2
3．已知△ABC的重心为G，若A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则G.
1 1 2 2 3 3
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基．( )
(2)基中可以含有零向量．( )
(3)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( )
1 1 2 2(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．( )
2．若e ，e 是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能构成平面内所有向量的
1 2
一组基的是( )
A．e 与e＋e B．e－2e 与2e＋e
1 1 2 1 2 1 2
C．e－2e 与e＋2e D．e－e 与e－e
1 2 1 2 1 2 2 1
3．若向量a＝(3，－4)，b＝(－1，m)，且a∥b，则m等于( )
A．－ B. C．－ D.
4．已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是
________．
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)设{e，e}为平面内的一组基，则下面四组向量中不能作为基的是( )
1 2
A．e＋e 和e－e
1 2 1 2
B．4e＋2e 和2e－4e
1 2 2 1
C．2e＋e 和e＋e
1 2 1 2
D．e－2e 和4e＋2e
1 2 2 1
(2)(2023·西安模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AE＝AD，CF＝CD，则BA等于( )
A.AF－CE B.AF－CE
C.AF＋CE D.AF＋CE
思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进
行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基，并运用该基将条件和结论
表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练1 (1)平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，
b的说法中正确的是( )
A．向量a，b的方向相同
B．向量a，b中至少有一个是零向量
C．向量a，b的方向相反
D．当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0
(2)(2023·太原模拟)已知在矩形ABCD中，E为AB边中点，AC，DE交于点F，则BF等于(
)
A．－AB＋AD B.AB－ADC.AB－AD D．－AB＋AD
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知A(－1,2)，B(3,0)，点P在直线AB上且|AP|＝2|PB|，则点P的坐标为( )
A. B．(7,2)
C.或(7，－2) D．(2,1)或(7，－2)
(2)(2024·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ的值
为( )
A. B. C. D．2
跟踪训练2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )
A. B.
C. D.
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基表示c，则( )
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
题型三 向量共线的坐标表示
例3 (1)(2023·济宁模拟)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m
＝________.
(2)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分别为AB，BC中点，则AF与CE的交
点坐标为________________．
跟踪训练3 (1)(2024·景德镇模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若
(a＋b)∥c，则tan α的值为( )
A．2 B．－2 C. D．－
(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标
为____________．
