文档内容
平面向量的基本定理及坐标表示
目录
题型一： 平面向量基本定理及其应用..........................................................................................3
题型二： 平面向量的坐标运算.......................................................................................................4
题型三： 平面向量坐标应用...........................................................................................................6
题型四： 共线向量坐标表示及其应用........................................................................................12
题型五： 利用向量求最值问题....................................................................................................14
知识点总结
1．平面向量基本定理
如果e，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
1 2
一对实数λ，λ，使a＝λe＋λe.我们把{e，e}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
1 2 1 1 2 2 1 2
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐标运算
①平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量 a，b满足a＝(x ，y)，b＝(x ，y)，则a±b＝ ( x ± x ， y ± y )，λa＝
1 1 2 2 1 2 1 2
( λx ， λ y )(λ∈R)，ua±vb＝ ( ux ± v x ， u y ± v y )(u，v∈R)．
1 1 1 2 1 2
②向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.
③向量坐标的求法a．若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
b．设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则AB＝ ( x － x ， y － y)，
2 1 2 1
|AB|＝.
(3)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x ，y)，b＝(x ，y)，其中b≠0，向量a，b共线的充
1 1 2 2
要条件是xy － xy ＝ 0.
1 2 2 1
3．平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λe ＋λe ，b＝λe ＋λe(λ ，λ ，λ ，λ∈R)，且e ，e 不共线，若a＝b，则λ ＝λ
1 1 2 2 3 1 4 2 1 2 3 4 1 2 1 3
且λ＝λ.
2 4
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(3)平面向量基本定理的推论：
①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在
直线l上的充要条件是：存在实数t，使得OP＝(1－t)OA＋tOB.特别地，当t＝时，点P是
线段AB的中点．
②对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得OP＝
λOA＋μOB，且λ＋μ＝1.
常用结论与知识拓展
已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则线段AB的中点坐标为，△ABC的重心
1 1 2 2 3 3
坐标为.例题精讲
题型一：平面向量基本定理及其应用
【要点讲解】(1)合理选择基底，注意基底必须是两个不共线的向量．
(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的
充要条件，把相关向量用基底表示出来．
(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如
平行、相似等．
注意：同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
【例1】设 ， 是平面内两个不共线的向量，则以下 ， 可作为该平面内一组基底的
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：对 ， 不能用 表示，故 ， 不共线，所以符合；
对 ， ，所以 ， 共线，故不符合；
对 ， 不能用 表示，故 ， 不共线，所以符合；
对 ， 不能用 表示，故 ， 不共线，所以符合．
故选： ．
【变式训练1】设 ， 是同一平面内两个不共线的向量，以下不能作为基底的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：根据两不共线向量可以作为平面内一组基底，
则 选项中因为 ，即两向量共线，所以 不可以，故选： ．
【变式训练2】已知 是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基
底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解： 是平面内两个不共线的向量，
对于A， ，即向量 共线，A不是；
对于B， ，即向量 共线，B不是；
对于 C，因为 ，即向量 与 不共线，则向量
与 能作为平面的一个基底，C是．
对于D， ，即向量 共线，D不是．
故选：C．
题型二：平面向量的坐标运算
【要点讲解】(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的
坐标，则应先求向量的坐标；
(2)注意待定系数法的应用．先求出有关向量的坐标，再用“向量相等，则坐标相同”这一
结论，列方程(组)进行求解．【例2】已知 ， ，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
．
故选： ．
【变式训练1】若向量 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 向量 ， ，则 ，
故选： ．
【变式训练2】已知向量 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【变式训练3】已知向量 与 ，且 ，则
A． B． C．1 D．4
【解答】解： 向量 与 ，且 ，
．
故选： ．【变式训练4】如果向量 ， ，那么等于
A． B． C． D．
【解答】解：向量 ， ，
则于 ， ， ， ， ， ， ，
故选： ．
题型三：平面向量坐标应用
【例3】如图，正方形 中， 、 分别是 、 的中点，若 ，
则
A．2 B． C． D．
【解答】解：以 ， 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为1，则 ， ， ， ．
，
，解得 ．
．
故选： ．【变式训练1】已知矩形 中， ，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
【变式训练2】如图所示的矩形 中， ， 满足 ， 为 的中
点，若 ，则 的值为
A． B． C． D．2
【解答】解：由题意可知， ，
，
因为 为 的中点，
所以 ，所以 ， ， ．
故选： ．
【例4】在 中 ， 点 ， 满 足 与 交 于 点 ， 若
，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 在 上，故 ，所以存在唯一实数 ，使得 ，又
，故 为 的中点，
所以 ，所以 ；同理存在 ，使得 ，
又 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，在 中， ， 是 上一点，若 ，
则实数 的值为A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 及 图 ，
，
又， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，解得 ， ，
故选： ．
【变式训练2】向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，
则
A． B． C．4 D．2
【解答】解：设正方形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系则易知 ， ， ，
，
， ， ， ，
解得， ， ，故 ．
故选： ．
【变式训练3】如图，在 中，点 是 的中点．过点 的直线分别交直线 ，
于不同的两点 ， ，若 ， ，则 的值为
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：由已知得 ，
结合 ， ，所以 ．
又因为 ， ， 三点共线，所以 ，
所以 ．故选： ．
【例5】 中， 为边 上的一点，且满足 ，若 为边 上的一点，且
满足 ，则下列结论正确的是
A． B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，故 错误；
则 ，则 ，
即 最大值为 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 正确；
，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，故 错误；
，当且仅当 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ，故 正确．
故选： ．
【变式训练1】设 为 的重心，过 作直线 分别交线段 ， （不与端点重
合）于 ， ．若 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的取值范围．【解答】解：（1）连接 并延长，交 于 ，则 是 的中点，设 ，
，
， ．
， ， 三点共线，故存在实数 ，使 ，
， ；
（2）由（1）得 ，
， ， ，解得 ． ．
．
当 时， 取得最小值 ，当 或2时， 取得最大值 ．
的取值范围是 ， ．题型四：共线向量坐标表示及其应用
【要点讲解】)利用两向量共线求参数时，如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利
用“若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件是xy＝xy”解题；
1 1 2 2 1 2 2 1
利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，求与一个已知向量 a共线的向量时，可设所
求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到
所求的向量．
【例6】已知向量 ， ， ，若 ，则 ．
【解答】解： ，
，
所以
故答案为：
【变式训练1】已知向量 ， ，若 与 共线，则 等于
A． B． C． D．2
【解答】解： ， ， 与 共线，
， ，则 ，
故选： ．【变式训练2】已知平面向量 ， ，若 与 共线，则实数
A． B．8 C． D．2
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
因为 与 共线，所以 ，
解得 ．
故选： ．
【变式训练3】已知向量 ， ， ，若 ，则 ．
【解答】解：由题意可得 ，
，
， ， ，
， ，解得 ，
故答案为 5．
【变式训练4】设向量 ， ，若向量 与向量 共线，则
．
【解答】解： 向量 ， ，若向量 ，
又向量 与向量 共线，
，
．
故答案为：2．
【变式训练5】已知向量 ， ， ，若 ，则实数．
【解答】解： 向量 ， ， ，
，
，
，
解得 ．
实数 ．
故答案为： ．
【变式训练6】已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为向量 ， ，
若 ，则 ，即 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选： ．
题型五：利用向量求最值问题
【例7】如 图 ， 在 中 ， ， ， 为 上 一 点 ， 且 满 足
，若 ， ，则 的值为 ．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．，
， ， ，
， ， ， ， ．
， ， ，
， ， ，
， ．
设 ，
与 比较，可得： ， ，
解得 ．
， ， ， ，
．
故答案为： ．
【变式训练1】在 中 ， 已 知 ， ， 点 满 足，其中 满足，则 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ，所以 ，
所以 ，
则 ，
所以当 时， 取最小值 ，
则 的最小值为 ，
故选： ．
【变式训练2】如图，在四边形 中， ， ， ， ，
， ，则
A． B．2 C．3 D．6
【解答】解：以 为坐标原点，以 为 轴，过点 作 的垂线为 轴，建立平面直角
坐标系，则 ，
故 ，
则由 可得 ，即 ， ，
故 ．
故选： ．
【变式训练3】 中， 为 上一点且满足 ，若 为 上一点，且满足
， ， 为正实数，则下列结论正确的是
A． 的最小值为16 B． 的最大值为
C． 的最大值为16 D． 的最小值为4
【解答】解：因为 为 上一点且满足 ，
所以 ，因为 ，则 ，
又 为 上一点，所以 ， ， 三点共线，则有 ，
由基本不等式可得， ，解得 ，当且仅当 时取
等号，
故 的最大值为 ，故选项 错误，选项 正确；
由公式可得， ，当且仅当 时取等号，故 的最小值为4，故选项 错误，选项 正确．
故选： ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．在 中，点 在线段 上， ，则
A． B． C． D．1
【解答】解：因为点 在线段 上，
所以存在实数 ，使得 ，
由平面向量的减法法则可得： ，
即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，所以 ．
故选： ．
2．已知向量 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意 ．故选： ．
3．如图，在 中， ， ，设 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
故选： ．
4．若向量 ，则向量 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
．
故选： ．
5．已知O为△ABC的重心，AD＝2DC，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：取BC的中点M，
因为O为△ABC的重心，
所以 ，
又因为AD＝2DC，所以 ，
则 ＝ ＝ ＝ ．故选：B．
6．下列各组向量中，可以作为基底的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：对于 ， ，不可以作为基底， 错误；
对于 ， ， ， 共线，不可以作为基底， 错误；
对于 ， 与 为不共线的非零向量，可以作为一组基底， 正确；
对于 ， ， ， 共线，不可以作为基底， 错误．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．下列各组向量中，可以表示它们所在平面内所有向量的基底的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解： ，
， 不共线，
， 可作为一组基底，
故选项 正确；
同理可判断，选项 、 正确，选项 错误；
故选： ．
8．已知 ，则下列结论正确的有
A．
B．与 方向相同的单位向量是
C．
D． 与 平行
【解答】解： ，则 ， 正确；
与 方向相同的单位向量是 ， 正确；
，而 ，所以 ， 正确；
因 ，则 与 不平行， 不正确．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．如图，在 中，向量 ，且 ，则 1 ．
【解答】解： ， ， ， 三点共线，，
，
故答案为：1．
10 ． 已 知 中 ， ， ， ， 为 的 外 心 ， 若
，则 的值为 ．
【解答】解：由题意可知， 为 的外心，
设半径为 ，在圆 中，过 作 ， ，垂足分别为 ， ，
因为 ，两边乘以 ，即 ， 的夹角为
，而 ，
则 ，得 ①，
同理 两边乘 ，即 ， ，
则 ，得 ②，
①②联立解得 ， ，
所以 ．
故答案为： ．11．如图，点 ， 是线段的三等分点，以 为基底表示 ．
【解答】解：因为 、 是线段 的三等分点，所以 ，
故
．
故答案为： ．
12．半径为 1 的扇形 的圆心角为 ，点 在弧 上， ，若
，则 ．【解答】解：建立直角坐标系，如图所示， ．
， ．
，即 ．
．
，即 ．
．
．
，解得 ．
．
故答案为： ．
四．解答题（共3小题）
13．已知平面上两点 、 的坐标分别为 、 ，求 的单位向量 的坐标．
【解答】解： ， ，的单位向量 ．
14．如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， ， ， 的中点．
求证： ．
【解答】证明：因为 ， ， ， 分别是边 ， ， ， 的中点，
所以在 中， 为中位线，所以 且 ，
所以 ，
在 中， 为中位线，所以 且 ，
所以 ，
所以 ．
15．如图，在四边形 中， ， ， ， ， 是
的中点，设 ， ．
（1）用 ， 表示 ；（2）若 ， 与 交于点 ，求 ．
【解答】解：如图建立直角坐标系：
（1）由题意易知 ， ， ， ，则 ， ．
因为 是 的中点，所以 点坐标为 ，则 ．
令 ，则 ， ， ， ，解得 ， ．
所以 ．
（2）因为 ，所以 点坐标为 ，又 点坐标为 ，所以直线 的方程
为 ，整理得到 ①．
因为 点坐标为 ， 点坐标为 ，所以直线 的方程为 ，整理得到
②．
联立①②，解得 点坐标为 ， ．
则 ， ，则 ．
