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§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e，e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，
1 2
一对实数λ，λ，使a＝ .
1 2
若e，e 不共线，我们把{e，e}叫做表示这一平面内所有向量的一个 ．
1 2 1 2
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ，|AB|＝ .
1 1 2 2
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b⇔ .
1 1 2 2
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x ，y)，B(x ，y)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点
1 1 2 2
A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心G的坐标为.
1 1 2 2 3 3
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若λa＋λb＝0，则λ＝λ＝0.( )
1 2 1 2
(3)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( )
1 1 2 2
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( )
教材改编题
1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e＝(0,0)，e＝(1,2)
1 2B．e＝(2，－3)，e＝
1 2
C．e＝(3,5)，e＝(6,10)
1 2
D．e＝(－1,2)，e＝(5,7)
1 2
2．若P(1,3)，P(4,0)，且P是线段PP 的一个三等分点(靠近点P)，则点P的坐标为( )
1 2 1 2 1
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是( )
A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE＝2EO，则ED等
于( )
A.AD－AB B.AD＋AB
C.AD－AB D.AD＋AB
(2)(2023·天津模拟)已知在△ABC中，AB＝a，AC＝b，D，F分别为BC，AC的中点，P为
AD与BF的交点，若BP＝xa＋yb，则x＋y＝________.
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思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则
进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和
结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb
C．若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得MP＝xMA＋yMB
(2)如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹
角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知AB＝(1，－1)，C(0,1)，若CD＝2AB，则点D的坐标为( )
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若
CA＝λCE＋μDB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A. B.
C．2 D.
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思维升华 (1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根
据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解
答转化为我们熟知的数量运算．
跟踪训练2 (1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且PN＝－2PM，则P
点的坐标为( )
A．(2,4) B．(－14,16)
C．(6,1) D．(22，－11)
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示c，则( )
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
题型三 向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求参数
例3 已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
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命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标
例4 设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB|＝2|AP|，则点P的坐标为( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)
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思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是xy＝xy.
1 1 2 2 1 2 2 1
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3 (1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为(
)
A. B. C. D.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，若m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，
c＋)，且m∥n，则△ABC的面积为( )
A．3 B. C. D．3
