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第 1 讲 导数的概念及运算
一、选择题
1.设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝
eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D.
答案 D
2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( )
A.2 B.0 C.－2 D.－4
解析 ∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，
∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
答案 D
3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则
P点的坐标为( )
A.(1，3) B.(－1，3)
C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3)
解析 f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或
(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
答案 C
4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A.e B.－e
C. D.－
解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x ，ln x )，则y′|x＝x ＝，
0 0 0
切线方程为y－ln x ＝(x－x )，因为切线过点(0，0)，所以－ln x ＝－1，解得x
0 0 0 0
＝e，故此切线的斜率为.
答案 C
5.(2016·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)
在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )A.－1 B.0 C.2 D.4
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－，
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)
＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
答案 B
二、填空题
6.(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)
的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________.
解析 f′(x)＝a＝a(1＋ln x)，由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案 3
7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝
f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.
解析 设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，
f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.
答案 2x＋y＋1＝0
8.(2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切
线垂直，则P的坐标为________.
解析 y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1) 处的切线的斜率k ＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x
1
＞0)的导数为y′＝－(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k ＝－(m＞0)，
2
因为两切线垂直，所以k k ＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).
1 2
答案 (1，1)
三、解答题
9.(2017·长沙调研)已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M
处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围.
解 (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，
∴斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，
∴切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.故α的取值范围为∪.
10.已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.
解 (1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′| ＝4.
x＝2
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x ＝
0
x.
∴切线方程为y－＝x(x－x )，即y＝x·x－x＋.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x
0
＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x ＋1)－4(x ＋1)(x －1)＝0，∴(x ＋1)(x －2)2＝0，解得x ＝－1或x ＝2，故
0 0 0 0 0 0 0
所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
11.已知f (x)＝sin x＋cos x，f (x)是f (x)的导函数，即f (x)＝f ′(x)，f (x)＝
1 n＋1 n 2 1 3
f′ (x)，…，f (x)＝f ′(x)，n∈N*，则f (x)等于( )
2 n＋1 n 2 017
A.－sin x－cos x B.sin x－cos x
C.－sin x＋cos x D.sin x＋cos x
解析 ∵f (x)＝sin x＋cos x，
1
∴f (x)＝f ′(x)＝cos x－sin x，
2 1
∴f (x)＝f ′(x)＝－sin x－cos x，
3 2
∴f (x)＝f ′(x)＝－cos x＋sin x，
4 3
∴f (x)＝f ′(x)＝sin x＋cos x，
5 4
∴f (x)是以4为周期的函数，
n
∴f (x)＝f (x)＝sin x＋cos x，故选D.
2 017 1
答案 D
12.已知函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋
1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A.4 B.－ C.2 D.－
解析 f′(x)＝g′(x)＋2x.∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为 y＝2x＋1，
∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为4.答案 A
13.(2016·全国Ⅱ卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝
ln(x＋1)的切线，则b＝________.
解析 y＝ln x＋2的切线为：y＝·x＋ln x ＋1(设切点横坐标为x ).
1 1
y＝ln(x＋1)的切线为：y＝x＋ln(x ＋1)－(设切点横坐标为x ).
2 2
∴
解得x ＝，x ＝－，∴b＝ln x ＋1＝1－ln 2.
1 2 1
答案 1－ln 2
14.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为
定值，并求此定值.
解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是
解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x ，y )为曲线上任一点，
0 0
由y′＝1＋知曲线在点P(x ，y )处的切线方程为y－y ＝(x－x )，即y－＝(x－x ).
0 0 0 0 0
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝
2x ，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x ，2x ).
0 0 0
所以点P(x ，y )处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x |＝
0 0 0
6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定
值，且此定值为6.
