文档内容
第十七章 勾股定理
勾股定理的应用（12大题型+17道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 求梯子滑落高度
考查题型二 求旗杆高度
考查题型三 求小鸟飞行距离
考查题型四 求大树折断前的高度
考查题型五 解决水杯中筷子问题
考查题型六 解决航海问题
考查题型七 求河宽
考查题型八 求台阶上地毯长度
考查题型九 判断汽车是否超速
考查题型十 判断是否受台风影响
考查题型十一 选址使到两地距离相等
考查题型十二 求最短路径
考查题型一 求梯子滑落高度
一、解答题
1．（2023上·河北保定·八年级统考期中）为进一步改善校园环境和面貌，消除校园安全隐患，提升校园环
境品质，完善基础设施建设，某学校利用暑假全力做好教学条件提升改造工程．如图，某教室外部墙面
上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子 完成维修工作．梯子的长度为 ，将其斜靠
在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处 ，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时的梯于顶部
D面最损处A相距 ．
(1)求教室外墙面破损处A距离地面 的高度；
(2)为了方便施工，需要将梯子底部向内移动至离墙角 处，求此时梯子顶部距离墙面破损处A的高度．2．（2024·全国·八年级假期作业）如图，一架 长的梯子 斜靠在竖直的墙壁 上，这时梯子的底
端B到墙壁 的距离 ，当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点 时，底端B沿水平地面向外滑动到
点．当 时，线段 的长度与线段 的长度相等吗？你是怎样知道的？
3．（2023上·江苏宿迁·八年级校联考期中）一架梯子 长 米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的
底端的距离 为 米．
(1)求梯子的顶端与地面的距离 ；
(2)如果梯子的顶端上升了 米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了 米？为什么？
4．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
5．（2024上·辽宁辽阳·八年级统考期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消
防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援
的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到 米（即
米），消防车高 米，救人时云梯伸长至最长，在完成从 米（即 米）高的 处救人后，
还要从 米（即 米）高的 处救人，这时消防车从 处向着火的楼房靠近的距离 为多少
米？
考查题型二 求旗杆高度
一、解答题
1．（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）学过《勾股定理》后，某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳
子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为6米（如图2）．
(1)若旗杆的高度 米，那么绳子的长度可以表示为________米（用含x的代数式表示）
(2)求旗杆 的高度．
2．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）如图，小明想要测量旗杆 的高度（已知旗杆直立于地面，即
），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发
现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆 的高度．
3．（2023上·陕西渭南·八年级统考期中）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端
的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决
这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离 米，如图2．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处 ，作 垂直 于
点 ．
(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度 ；
(2)在（1）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离 米，求此时绳结到地面的高度 ．
4．（2024上·甘肃酒泉·八年级校联考期末）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度
，将它往前推送1.8m（水平距离 ）时，秋千的踏板离地的垂直高度 ，秋千
的绳索始终拉得很直，求绳索 的长度．
考查题型三 求小鸟飞行距离
一、单选题
1．（2024上·福建宁德·八年级统考期末）如图，有两棵树，一棵高20米，另一棵高10米，两树相距24
米，若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）A．26米 B．30米 C．36米 D．40米
二、填空题
2．（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图，在一棵树的10米高的 处有两只猴子为抢吃池塘边水果，
一只猴子爬下树跑到 处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶 后直接跃到 处，距离以直线计算，
若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
三、解答题
3．（2022上·江苏·八年级校考竞赛）如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的
池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘
的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？
4．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，
某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 ，他们进行
了如下操作：①测得 的长度为8米；（注： ）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高 米；
(1)求风筝的垂直高度 ．
(2)若王明同学想让风筝沿 方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
考查题型四 求大树折断前的高度
一、单选题
1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，一棵树在离地面 处折断，树的顶部落在离底部 处．
树折断之前高（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2024上·上海浦东新·八年级校考期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一
道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图 中，
， 与 的和为10尺， 为3尺，求 的长， 尺．三、解答题
3．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期中）有一棵高 的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离
．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车， 的距离为 ，求 的距离（点B为
大树顶端着地处）．
4．（2023上·河北保定·八年级校考期中）如图，一根直立的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点C处折断，顶
部B着地且离旗杆底部A的距离为 ．
(1)求旗杆在距地面多高处折断（即求 的长度）．
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方 的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，
若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部 米处是否有被砸伤的风险？
5．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断 ，树顶
落在离树根 处，工作人员要查看断痕 处的情况，在离树根 有 的 处架起一个长 的梯子
，点 在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．考查题型五 解决水杯中筷子问题
一、填空题
1．（2023上·福建泉州·八年级泉州七中校考阶段练习）如图，将一根长 的筷子，置于底面直径为
，高 的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是
2．（2023上·内蒙古包头·八年级包钢第三中学校考期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道
有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根新
生的芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇
的长度为 尺．
二、解答题
3．（2023上·云南文山·八年级统考阶段练习）如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇 生长在
它的中央，高出水面部分 为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B
恰好碰到岸边的 ，请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的的长度各是多少？4．（2023上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，一个直径为 （即 ）的圆柱形杯子，在
杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外 （即 ），当筷子 倒向杯壁时
（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子 的长度．
5．（2023上·河北邯郸·八年级统考期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面 ．大风吹过，
红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 ，则水深是多少？
考查题型六 解决航海问题
一、单选题
1．（2023上·陕西榆林·八年级校联考期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海
里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （ ）
A． 海里/时 B．20海里/时 C． 海里/时 D． 海里/时
二、解答题
2．（2023上·重庆·八年级校联考期中）如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时
绳子 的长度为 的3倍．
(1)求此时船离岸边 的长；（结果保留根号）
(2)若此人以 米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点 的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳
子是直的，结果精确到 米，参考数据： ， ）
3．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）一辆轿车从 地以 的速度向正东方向行驶，同时一辆
货车以 速度从 地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达 走向公路上的 两地．(1)求 两地的距离；
(2)若要从 地修建一条最短新路 到达公路 ，求 的距离．
4．（2023上·宁夏银川·八年级校考期中）如图，一艘货轮在上午8：00时位于A处，沿A到B的方向航行，
10：00时该货轮位于B处，求该货轮航行的速度．
5．（2023上·广东深圳·八年级深圳大学附属中学校考期中）港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门
的跨海大桥，总长 ，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为 的
岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子 的长为 ．（假设绳子是直的，结果保留根号）(1)若工作人员以 的速度收绳． 后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少 ？
(2)若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来
多少米？
6．（2023上·福建三明·八年级统考期中）如图，一艘轮船由 港口沿着北偏东 的方向航行 到达
港口，然后再沿北偏西 方向航行 到达 港口．
(1)求 ， 两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2) 港口在 港口的什么方向上？
考查题型七 求河宽
一、单选题
1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）如图，湖的两岸有A，C两点，在与 成直角的 方向
上的点C处测得 米， 米，则A，C两点间的距离为（ ）A．3米 B．6米 C．9米 D．10米
二、解答题
2．（2023下·浙江台州·八年级统考期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与 方向成直角的 方向
上一点，测得 ．求A，B两点间的距离．
3．（2022上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，湖中心的点 处有一棵树，王晶想测
量这棵树与湖边缘A之间的距离 ，她在湖外的点 处用测角仪测得 的度数，并在 处做好标记，
在A处测得 的度数，恰好发现 ．若已知 米， 米，请你求出这棵树
与湖边缘A之间的距离 ．（结果保留根号）
4．（2024上·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，明明在距离河面高度为 的岸边C处，用长为
的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳 后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？5．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着
绳子另一端向右走，绳端从点 移动到点 ，同时小船从点 移动到点 ，且绳长始终保持不变，回答下
列问题：
(1)根据题意，可知 ________ （填“ ”“ ”“ ”）；
(2)若 米， 米， 米，求男孩需向右移动的距离 （结果保留根号）．
6．（2023下·湖南长沙·八年级长沙市长郡梅溪湖中学校考阶段练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂
直的路线 横渡，由于受水流的影响，实际沿着 航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果
发现 比河宽 多10米．(1)求该河的宽度 ；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
考查题型八 求台阶上地毯长度
一、单选题
1．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）如图，在一个长为 ，宽为 的长方形草地上放着一根长
方体木块，已知该木块的较长边和场地宽 平行，横截面是边长为 的正方形，若点A处有一只蚂蚁，
它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2023下·安徽宣城·八年级校考期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合
唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为 ，
则购买这种地毯至少需要 元．三、解答题
3．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高 、长 、宽 的楼
道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
4．（2022上·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，要修建一个育苗棚，棚高 ，棚宽 ，棚
的长为 ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
考查题型九 判断汽车是否超速
一、填空题
1．（2023上·广东茂名·八年级校考期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行
驶到路对面车速检测仪 处的正前方 的 处，过了 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ，
则这辆小汽车的速度是 ．二、解答题
2．（2023上·陕西·八年级校考期中）如图，一辆小汽车在一条限速 的街路上沿直道行驶，某一时
刻刚好行驶到路面车速检测仪 的正前方 处的 点，过了 后，测得小汽车所在的 点与车速检测仪
之间的距离为 ．
(1)求 ， 间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
3．（2023上·全国·八年级期末）某条高速公路限速 ，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，
某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 处的正前方 的 处，过了 ，大巴车到达 处，此时测得大
巴车与车速检测仪间的距离为 ．(1)求 的长．
(2)这辆大巴车超速了吗？
4．（2022下·湖北宜昌·八年级统考期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学
在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为 的P处．这时，一辆
红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为 ，并测得 ，
，
(1)求AP的长？
(2)试判断此车是否超过了 / 的限制速度？（ ）
5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米
的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路 （点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该
如何修路（请在图中画出）？新路 长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A
中学170米．一辆车经过 区间用时5秒，若公路l限速为 （约 ），请判断该车是否超速，
并说明理由．
6．（2023上·宁夏银川·八年级银川一中校联考期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车
在城街路上行㧒速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚
好行驶到路面对车速检测仪 正前方60米 处，过了5秒后，测得小汽车 与车速检测仪 间距离为100
米，这辆小汽车超速了吗？
考查题型十 判断是否受台风影响
一、解答题
1．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，
防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路 的一侧
点A处有一村庄，村庄A到公路 的距离AB为800米，若宣讲车周围1700米以内能听到广播宣传，宣
讲车在公路 上沿 方向行驶．
(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
2．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，
使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即
以台风中心为圆心， 为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段 是台风中心从 市向西
北方向移动到 市的大致路线， 是某个大型农场，且 ．若 之间相距 之间相距
．
(1)判断农场 是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
3．（2023上·辽宁丹东·八年级统考期中）如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点 飞向点 ，在直线
的正下方有一个着火点 ，且点 与 两点的距离分别为 和 ，又 两点距离为 ，
飞机与着火点距离在 以内可以受到洒水影响．(1)请通过计算说明，着火点 是否受洒水影响；
(2)若救火飞机的速度为 ，要想扑灭着火点 估计需要13秒，请你通过计算说明在救火飞机从点
飞到点 的过程中，着火点 能否被扑灭．
4．（2024上·重庆北碚·八年级统考期末）如图，某海港 的正东方向 海里处有一海岛 ，气象站发现
在海岛 的正南方向 海里的 处有一台风中心，测得它正以 海里/小时的速度沿 方向向海港 运
动，以台风中心为圆心，周围 海里以内为受影响区域．
(1)通过计算说明海岛 会受台风影响吗？
(2)求出台风中心同时影响海港 和海岛 的时长．
考查题型十一 选址使到两地距离相等
一、单选题
1．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点 知道校车自
点 处沿 轴向原点 方向匀速驶来，去截汽车．若点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
2．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，某社区要在 所在的直线上建一图书室，点 和点
为社区附近的两所学校，作 于点 ， 于点 ，已知 ， ，
．
(1)尺规作图：要求图书室 到两所学校的距离相等，请在图中作出点 ；
(2)在（1）的条件下，求 的距离．
3．（2023上·山东菏泽·八年级统考阶段练习）两根电线杆 、 ， ， ，它们的底部
相距 ，现在要在两根电线杆底端之间 线段 上 选一点 ，由 分别向两根电线杆顶端拉钢索 、
，若使钢索 与 相等，那么点 应该选在距点 多少米处？4．（2022上·陕西汉中·八年级统考期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，现要在 上建造一个供应站P，使
得 ，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出 的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式 （其中 ）最小
值为 ．
5．（2023上·山东青岛·八年级校考期中） “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略
是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距 ，C、D为两村庄， 于A，
于B，已知 ，现在要在公路 上建一个土特产品市场E，使得C、D两
村庄到市场E的距离相等．(1)求市场E应建在距A多少千米处？
(2)此时 的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明．
6．（2023上·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）两个村庄C、D在河 的同侧，已知 ，
C、D两村到河的距离分别为 ， ．现在要在河边建一水厂，向C、D两村送自来水，
铺设水管的费用为每千米2万元，请在 上选择水厂位置E，使水厂到两村庄距离相等．
(1)请用圆规和直尺在图中作出水厂E的位置；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求铺设水管的总费用．
考查题型十二 求最短路径
一、单选题
1．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为 ，底面半圆直径
为 ，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路
程是多少（ 取3）（ ）A． B．8 C． D．10
2．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，P是长方形 内部的动点， ， ，
的面积等于 ，则点P到 、C两点距离之和 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题
3．（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校联考期中）如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为
9cm，7cm，5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 cm．
4．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）小明求代数式 的最小值时，采用如下方法：
如图，在同一直角坐标平面内，设 为 轴上的一个动点，选取点 和 ，根据两点的距离
公式得 ， ，通过构造，将求代数式的最小值转化为求 的最小值，
由此小明求出 的最小值等于 ．5．（2023下·天津·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在杯内离
杯底 的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁
到达蜂蜜的最短距离为 ．
三、解答题
6．（2023上·海南海口·八年级校考期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为 的
长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是一
个边长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块
的侧面展开图，并用实线连接 ；
(2)线段 的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
7．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3）
(1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？
(2)现用一根绳子绕圆柱侧面两周，绳子的两个端点分别与点A、点B重合，则绳子长度至少为多少分米？
一、单选题
1．（2023下·辽宁丹东·八年级统考期中）如图，已知直线 交x、y轴于A、B两点，以 为边
作等边 （A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为 ，连接 ，则
的最小值为（ ）A．6 B． C．6.5 D．7
二、填空题
2．（2023下·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上
方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ．
3．（2023下·广西桂林·八年级校考期中）如图，在等腰直角 中． ， ， 的
平分线交 于点 ，点 为 边的中点，点 和 分别是 和 上动点，则 的最小值是
．
4．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）已知如图，点 、 、 ，设
为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位的速度运
动到 ，再沿线段 以每秒 个单位的速度运动到 后停止，当点 的坐标是 时，点 在整个运
动过程中用时最少．
5．（2023上·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在 中， ， ， ，点
是 内一点，则点 到 三个顶点的距离和的最小值是 ．6．（2022上·重庆江北·八年级校考期末）如图，在 中， ， ， ，
是 的平分线，若M、N分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
7．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点
B，C构成等腰三角形 ．图甲是梯子两脚架夹角A为 时的示意图，图乙是由图甲当点 与点
的距离缩小 ，而点A与地面的距离增大 时的示意图，若点A与地面的距离为 时，则此
时点 与点 的距离是 ．
三、解答题
8．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年
来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了
一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，
．请用a、b、c分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积
之间的关系，可得到勾股定理：______，
______，
______，
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理 ．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为______千米
（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站P，使
得 ，求出 的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．9．（2020上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝
160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H
分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
10．（2023下·江西吉安·八年级校联考阶段练习）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且
，在A处有一所中学， 米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的
速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
11．（2021上·山东青岛·八年级统考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现
了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，
∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S ABCD＝ ，
梯形
S EBC＝ ，
△
S AECD＝ ，
四边形
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使
得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式 的最小值＝ ．
12．（2021上·江苏连云港·八年级统考期中）将 沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的
点E处．展开如图1．【操作观察】（1）图1中， ， ．
①则 _______；
②若 ，则 _______；
【理解应用】（2）如图2，若 ，试说明： ；
【拓展延伸】（3）如图3，若 ，点G为AC的中点，且 ．点P是AD上的一个动点，连
接PG、PC．求 的最小值．
13．（2022上·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中， 的位置如图所示，请回答下列
问题：(1)请直接写出A﹑B、C三点的坐标____________、___________、_________．
(2) 的周长为_________，面积为_________；
(3)画出 关于x轴的对称图形 ．
(4)已知点P为x轴上一动点，则 的最小值为_________．
14．（2022上·全国·八年级专题练习）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，
ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的值；
(2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？
(3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式 的最小值．
15．（2022上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，一条河流的 段长为 ，在 点的正北方
处有一村庄 ，在 点的正南方 处有一村庄 ，计划在 上建一座桥 ，使得桥 到 村和 村的
距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：(1)将桥 建在何处时，可以使得桥 到 村和 村的距离和最小？请在图中画出此时 点的位置；
(2)小明发现：设 ，则 ，则 ，根据（1）中的结论可以
求出当 ______时， 的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
① 的最小值______；
② 的最小值为______．
16．（2023下·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）
(1)问题提出
如图1，已知点C为线段 上一动点，分别过点B、D作 ， ，连接 、 ．已知
， ， ，则 的最小值是_______．
(2)问题探究
如图2，在四边形 中， ， ， ， ， ，E是四边形 内
一动点，且 ，求 的最小值．
(3)问题解决
如图3，已知 ，长度为2的线段 在射线 上滑动，点C在射线 上，且 ， 的
两个内角的角平分线相交于点F，过F作 ，垂足为G，求 的最大值．17．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期末）如图，等腰三角形 中， ，D为
边上一点，E为射线 上一点，连接 ．
(1)如图1，点F在线段 上，连接 、 ．若 ， 为等边三角形， ， ，
求 的长；
(2)如图2，F为线段 的垂直平分线上一点，连接 、 、 ，M为 的中点，连接 、 ．若
，求证： ；
(3)如图3， ，D为 中点，F为 中点， 与 交于点G，将 沿射线 方向平移得
，连接 、 ．若 ，直接写出 的最小值．
