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第 1 讲 平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1.已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②AB＋MB＋BO＋OM；③OA＋OB＋BO＋
CO；④AB－AC＋BD－CD.其中结果为零向量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B.
答案 B
2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|·a
解析 对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；
B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关
系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.
答案 B
3.如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )
A.0 B.BE
C.AD D.CF
解析 由题图知BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝CB＋BF＝
CF.
答案 D
4.设a 为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a ；②若
0 0
a与a 平行，则a＝|a|a ；③若a与a 平行且|a|＝1，则a＝a .假命题的个数是(
0 0 0 0
)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a 的模相同，但方向不一定相同，
0
故①是假命题；若a与a 平行，则a与a 的方向有两种情况：一是同向，二是反
0 0
向，反向时a＝－|a|a ，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.
0
答案 D
5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内
任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( )
A.OM B.2OM C.3OM D.4OM
解析 OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝2OM＋2OM＝4OM.故选D.
答案 D
6.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
解析 ∵BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC＝2(AC－AD)，
∴3AD＝2AC＋AB，∴AD＝AC＋AB＝b＋c.
答案 A
7.(2017·温州八校检测)设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若
A，B，D三点共线，则实数p的值为( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
解析 ∵BC＝a＋b，CD＝a－2b，
∴BD＝BC＋CD＝2a－b.
又∵A，B，D三点共线，∴AB，BD共线.
设AB＝λBD，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.
答案 B
8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三
等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝( )
A.a－b B.a－b
C.a＋b D.a＋b
解析 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，
所以AD＝AC＋CD＝b＋a.
答案 D
二、填空题
9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形
的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA相等的向量
有________个.
解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量
OA相等的向量有CB，DO，EF，共3个.
答案 3
10.如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.
解析 因为ABCD为平行四边形，所以AB＋AD＝AC＝2AO，已知AB＋AD＝
λAO，故λ＝2.
答案 2
11.向量e ，e 不共线，AB＝3(e ＋e )，CB＝e －e ，CD＝2e ＋e ，给出下列结论：
1 2 1 2 2 1 1 2
①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线.其中所有正
确结论的序号为________.
解析 由AC＝AB－CB＝4e ＋2e ＝2CD，且AB与CB不共线，可得A，C，D共线，
1 2
且B不在此直线上.
答案 ④
12.已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝
mAM成立，则m＝________.
解析 由已知条件得MB＋MC＝－MA，如图，延长AM交
BC于D点，则D为BC的中点.
延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证
E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，
∴AM＝AD＝(AB＋AC)，即AB＋AC＝3AM，则m＝3.
答案 3
13.(2017·延安模拟)设e 与e 是两个不共线向量，AB＝3e ＋2e ，CB＝ke ＋e ，
1 2 1 2 1 2
CD＝3e －2ke ，若A，B，D三点共线，则k的值为( )
1 2
A.－ B.－
C.－ D.不存在
解析 由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD.
又AB＝3e ＋2e ，CB＝ke ＋e ，CD＝3e －2ke ，
1 2 1 2 1 2
所以BD＝CD－CB＝3e －2ke －(ke ＋e )
1 2 1 2
＝(3－k)e －(2k＋1)e ，
1 2
所以3e ＋2e ＝λ(3－k)e －λ(2k＋1)e ，
1 2 1 2
所以解得k＝－.
答案 A
14.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋
BA，则( )
A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上
解析 因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长
线上，故选B.
答案 B
15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP＝OA
＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解析 作∠BAC的平分线AD.∵OP＝OA＋λ，
∴AP＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，
∴AP＝·AD，∴AP∥AD.
∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.
答案 B
16.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则
△ABC的形状为________.
解析 OB＋OC－2OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB
－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.
答案 直角三角形
