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第5讲 空间向量及其运算
最新考纲 考向预测
1.了解空间向量的概念，了解空间向量 本讲内容是空间向量的运
的基本定理及其意义，掌握空间向量 算、线性运算、数量积及其坐
的正交分解及其坐标表示. 命题趋 标运算，利用空间向量证明
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标 势 空间中的平行与垂直关系，
表示. 多数是解答题中的第一小
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表
问.
示，能运用向量的数量积判断向量的
共线与垂直.
4.理解直线的方向向量与平面的法向
量.
5.能用向量语言表述直线与直线、直线 核心素
逻辑推理、数学运算
养
与平面、平面与平面的垂直、平行关
系.
6.能用向量方法证明立体几何中有关
线面位置关系的一些定理(包括三垂线
定理).
1．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在
唯一的实数λ，使得 a ＝ λ b ．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的
充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p ＝ x a ＋ y b ．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，
存在有序实数组{x，y，z}，使得 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c ．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，
OB＝b，则 ∠ AOB 叫做向量a与b的夹角，记作〈 a ， b 〉 ．通常规定0≤〈a，b〉≤π．
若〈a，b〉＝，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积
两个非零向量a，b的数量积a·b＝ | a | | b | cos 〈 a ， b 〉 ．
(3)向量的数量积的性质
①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；
②a⊥b⇔ a · b ＝ 0 ；
③|a|2＝a·a＝a2；
④|a·b|≤|a||b|.
(4)向量的数量积满足如下运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②a·b＝b·a(交换律)；
③a·(b＋c)＝ a · b ＋ a · c (分配律)．
3．空间向量的坐标运算
(1)设a＝(a ，a ，a )，b＝(b ，b ，b )．
1 2 3 1 2 3
a＋b＝(a ＋b ，a ＋b ，a ＋b )，
1 1 2 2 3 3
a－b＝(a －b ，a －b ，a －b )，
1 1 2 2 3 3
λa＝(λa ，λa ，λa )，a·b＝a b ＋ a b ＋ a b ，
1 2 3 1 1 2 2 3 3
a⊥b⇔a b ＋a b ＋a b ＝0，
1 1 2 2 3 3
a∥b⇔a ＝λb ，a ＝λb ，a ＝λb (λ∈R)，
1 1 2 2 3 3
cos〈a，b〉＝＝ .
(2)设A(x ，y ，z )，B(x ，y ，z )，
1 1 1 2 2 2
则AB＝OB－OA＝ ( x － x ， y － y ， z － z )．
2 1 2 1 2 1
4．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直
线l的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直
线的方向向量可以有无数个．
(2)平面的法向量
①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多
个，任意两个都是共线向量．
②确定：设a，b是平面α内两个不共线向量，n为平面α的法向量，则求平面
α的法向量的方程组为
5．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示直线l ，l 的 l ∥l n ∥n ⇔n ＝ λ n
1 2 1 2 1 2 1 2
方向向量分
l ⊥l n ⊥n ⇔n · n ＝ 0
1 2 1 2 1 2
别为n ，n
1 2
直线l的方 l∥α n⊥m⇔ n · m ＝ 0
向向量为
n，平面α的 l⊥α n∥m⇔n＝λm
法向量为m
平面α，β的 α∥β n∥m⇔n＝λm
法向量分别
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
为n，m
常用结论
1．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1)PA＝λPB(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，OP＝OA＋λAB(λ∈R)；
(3)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．
2．证明空间任意四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
(1)MP＝xMA＋yMB；
(2)对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；
(3)对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋zOB(x＋y＋z＝1)；
(4)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM)．
常见误区
1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)
＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
2．在利用MN＝xAB＋yAC①证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N
不在平面ABC内(因为①式只表示MN与AB，AC共面)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间中任意两非零向量a，b共面．( )
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( )(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．( )
(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )
(6)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
2．(多选)以下各组向量中的三个向量，能构成空间基底的是( )
A．a＝(1，0，0)，b＝(0，2，0)，c＝
B．a＝(1，0，0)，b＝(0，1，0)，c＝(0，0，2)
C．a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，c＝(2，1，2)
D．a＝(1，1，1)，b＝(0，1，0)，c＝(1，0，2)
解析：选BCD.若空间三个向量a，b，c能构成空间的基底，则向量a，b，c不共
面，对于选项A，因为a＝(1，0，0)，b＝(0，2，0)，c＝，则c＝a－b，即向量a，b，c共
面，故选项A中的三个向量不能构成空间基底，对于选项B，C，D中的三个向量
均不共面，即能够构成空间的基底．
3．已知空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM
＝2MA，N为BC中点，则MN＝( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
解析：选B.如图所示，MN＝MA＋AB＋BN＝OA＋(OB－
OA)＋BC＝OB－OA＋(OC－OB)＝－a＋b＋c.
4．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当v
＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，
－10)时，α与β的位置关系为________．
解析：当v＝(3，－2，2)时，u⊥v，则α⊥β；
当v＝(4，－4，－10)时，u∥v，则α∥β.
答案：α⊥β α∥β
5．(易错题)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝OA＋OB＋t
OC，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．
解析：因为P，A，B，C四点共面，所以＋＋t＝1，所以t＝.
答案：空间向量的线性运算
[题组练透]
1．在空间四边形ABCD中，若AB＝(－3，5，2)，CD＝(－7，－1，－4)，点E，F
分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为( )
A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1)
解析：选B.因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以
EF＝OF－OE，OF＝(OA＋OD)，OE＝(OB＋OC)．所以EF＝(OA＋OD)－(OB＋
OC)＝(BA＋CD)＝[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]
＝(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
2．正方体ABCD A B C D 中，点E为上底面A C 的中心．若向量AE＝AA1＋
1 1 1 1 1 1
xAB＋yAD，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1
解析：选C.如图，AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)，故x＝y＝.
故选C.
3．在三棱锥O ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是
△ABC的重心，用基向量OA，OB，OC表示(1)MG；(2)OG.
解：(1)MG＝MA＋AG
＝OA＋AN
＝OA＋(ON－OA)
＝OA＋
＝－OA＋OB＋OC.
(2)OG＝OM＋MG
＝OA－OA＋OB＋OC＝OA＋OB＋OC.
用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关
键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量
之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称
为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间
仍然成立．
共线、共面向量定理的应用
如图所示，已知斜三棱柱ABCA B C ，点M，N分别在AC 和BC上，且
1 1 1 1
满足AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．
(1)向量MN是否与向量AB，AA1共面？
(2)直线MN是否与平面ABB A 平行？
1 1
【解】 (1)因为AM＝kAC1，BN＝kBC，
所以MN＝MA＋AB＋BN
＝kC1A＋AB＋kBC
＝k(C1A＋BC)＋AB
＝k(C1A－C1B1)＋AB
＝kB1A＋AB
＝AB－kAB1＝AB－k(AA1＋AB)
＝(1－k)AB－kAA1，
所以由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB A 内，当00，BC·CD>0，CD·DA>0，DA·AB>0，则该
四边形为( )
A．平行四边形 B．梯形
C．长方形 D．空间四边形
解析：选D.由AB·BC>0，BC·CD>0，CD·DA>0，DA·AB>0，知该四边形一定不
是平面图形．
4．如图所示，在平行六面体ABCDA B C D 中，M为A C 与B D 的交点．若
1 1 1 1 1 1 1 1
AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是 ( )A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
解析：选A.由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM＝BB1＋B1M＝AA1＋
(AD－AB)
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
5．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有( )
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB＋BC＋CD＋DA＝0
B．若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB∥CD
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是
共面向量
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋
zOC(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
解析：选CD.对于A，已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB＋BC＋CD＋DA
＝0，正确；对于B，若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB∥CD，正确；
对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可
以是共面向量，不正确；对于D，对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，
C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，
故错误．
6.如图所示，在长方体ABCDA B C D 中，O为AC的中点．
1 1 1 1
用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________．
解析：因为OC＝AC
＝(AB＋AD)，
所以OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1.
答案：AB＋AD＋AA1
7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是
CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐
标系中，则MN＝________．
解析：连接PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以
MN＝PD，又P(0，0，1)，D(0，1，0)，所以PD＝＝，
所以MN＝.
答案：
8．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝
________．
解析：AB＝，AC＝，
由a·AB＝0，a·AC＝0，得即x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
9．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.
(1)若|c|＝3，且c∥BC，求c；
(2)求a和b的夹角的余弦值；
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解：(1)因为c∥BC，
所以c＝mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)．
所以|c|＝＝3|m|＝3，即m＝±1.
所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．
所以a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1.
又|a|＝＝，|b|＝＝，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－.
所以a和b的夹角的余弦值为－.
(3)因为ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，
所以(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，
解得k＝2或k＝－.所以当ka＋b与ka－2b相互垂直时，
k＝2或k＝－.
10．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的
中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH.
证明：(1)连接BG，
则EG＝EB＋BG
＝EB＋(BC＋BD)
＝EB＋BF＋EH
＝EF＋EH，
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．
(2)因为EH＝AH－AE
＝AD－AB
＝(AD－AB)＝BD，
所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
[B级 综合练]
11．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－
1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．下列结论正确的是( )
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C.AP是平面ABCD的法向量
D.AP∥BD
解析：选ABC.因为AB·AP＝0，AD·AP＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正
确．又AB与AD不平行，所以AP是平面ABCD的法向量，则C正确．由于BD＝AD
－AB＝(2，3，4)，AP＝(－1，2，－1)，所以BD与AP不平行，故D错误．
12．在正三棱柱ABCA B C 中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，
1 1 1
C1N＝λNC，且AB ⊥MN，则λ的值为________．
1
解析：如图所示，取B C 的中点P，连接MP，以MC，MA，MP的方向为x轴，y
1 1轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
因为底面边长为1，侧棱长为2，则
A，B (－，0，2)，
1
C，C ，
1
M(0，0，0)，设N，
因为C1N＝λNC，所以N，
所以AB1＝，
MN＝.
又因为AB ⊥MN，所以AB1·MN＝0.
1
所以－＋＝0，所以λ＝15.
答案：15
13.如图所示，在直三棱柱ABCA B C 中，平面AA C C和
1 1 1 1 1
平面AA B B都是正方形且互相垂直，M为AA 的中点，N为
1 1 1
BC 的中点．
1
求证：(1)MN∥平面A B C ；
1 1 1
(2)平面MBC ⊥平面BB C C.
1 1 1
证明：由题意知，AA ，AB，AC两两垂直，则以A为坐标原
1
点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AA ＝2，则A(0，0，0)，A (2，0，0)，B(0，2，0)，B (2，2，
1 1 1
0)，C(0，0，2)，C (2，0，2)，M(1，0，0)，N(1，1，1)．
1
(1)因为AA ⊥A B ，AA ⊥A C ，
1 1 1 1 1 1
且A B ∩A C ＝A ，
1 1 1 1 1
所以AA ⊥平面A B C .
1 1 1 1
因为MN＝(0，1，1)，AA1＝(2，0，0)，
所以MN·AA1＝0，即MN⊥AA .
1
因为MN⊄平面A B C ，
1 1 1
故MN∥平面A B C .
1 1 1
(2)设平面MBC 与平面BB C C的法向量分别为n ＝(x ，y ，z )，n ＝(x ，y ，
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
z )．
2
因为MB＝(－1，2，0)，MC1＝(1，0，2)，
所以⇒令x ＝2，
1
则n ＝(2，1，－1)．同理可得n ＝(0，1，1)．
1 2因为n ·n ＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
1 2
所以平面MBC ⊥平面BB C C.
1 1 1
14．如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4.
(1)求证：BD⊥PC；
(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面PAB，求λ的值．
解：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标
原点，DA，DF，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则
A(1，0，0)，B(1，，0)，D(0，0，0)，C(－3，，0)．
设PD＝a，则P(0，0，a)，
(1)证明：BD＝(－1，－，0)，PC＝(－3，，－a)，
因为BD·PC＝3－3＝0，
所以BD⊥PC.
(2)由题意知，AB＝(0，，0)，DP＝(0，0，a)，PA＝(1，0，－a)，PC＝(－3，，－a)，
因为PE＝λPC，所以PE＝(－3λ，λ，－aλ)，
DE＝DP＋PE＝(0，0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)
＝(－3λ，λ，a－aλ)．
设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
则即令z＝1，得x＝a，所以n＝(a，0，1)，
因为DE∥平面PAB，所以DE·n＝0，
所以－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0，
因为a≠0，所以λ＝.
[C级 创新练]
15．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋
zOC(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当x＝2，y＝－3，z＝2时，即OP＝2OA－3OB＋2OC.则AP－AO＝
2OA－3(AB－AO)＋2(AC－AO)，即AP＝－3AB＋2AC，根据共面向量定理知，P，
A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设AP＝
mAB＋nAC(m，n∈R)，即OP－OA＝m(OB－OA)＋n(OC－OA)，即OP＝(1－m－
n)·OA＋mOB＋nOC，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3，2.故
“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．
16．(多选)(2020·山东临沂期末)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD
A B C D ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是
1 1 1 1
60°，则下列说法中正确的是( )
A．(AA1＋AB＋AD)2＝2(AC)2
B.AC1·(AB－AD)＝0
C．向量B1C与AA1的夹角是60°
D．BD 与AC所成角的余弦值为
1
解析：选AB.以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是
60°，可设棱长为1，则AA1·AB＝AA1·AD＝AD·AB＝1×1×cos 60°＝，所以
(AA1＋AB＋AD)2＝AA12＋AB2＋AD2＋2AA1·AB＋2AB·AD＋2AA1·AD＝1＋1
＋1＋3×2×＝6.又2(AC)2＝2(AB＋AD)2＝2(AB2＋AD2＋2AB·AD)＝2＝2×3＝6，
所以 (AA1＋AB＋AD)2＝2(AC)2，所以 A 正确.AC1·(AB－AD)＝(AA1＋AB＋
AD)·(AB－AD)＝AA1·AB－AA1·AD＋AB2－AB·AD＋AD·AB－AD2＝－＋1－＋
－1＝0，所以B正确．由已知条件，得△AA D为等边三角形，则∠AA D＝60°，所
1 1
以向量A1D与AA1的夹角是120°，向量B1C＝A1D，即向量B1C与AA1的夹角是
120°，所以C不正确．因为BD1＝AD＋AA1－AB，AC＝AB＋AD，所以|BD1|＝＝
＝，|AC|＝＝＝，BD1·AC＝(AD＋AA1－AB)·(AB＋AD)＝＋1＋＋－1－＝1，所以
cos〈BD1，AC〉＝＝＝，所以D不正确．故选AB.
