文档内容
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
课标要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e 和e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的
1 2
一对实数λ，λ，使a＝λe＋λe.
1 2 1 1 2 2
把不共线的向量e 和e 叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e，e}．
1 2 1 2
2．平面向量的正交基、正交分解及标准正交基
(1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．
(2)在正交基下向量的线性表示称为正交分解．
(3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，a－b＝ ( x － x ， y － y)，λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b xy － xy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
常用结论
⇔
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P为线段AB的中点，若A(x，y)，B(x，y)，则P点坐标为.
1 1 2 2
3．已知△ABC的重心为G，若A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则G.
1 1 2 2 3 3
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基．( × )
(2)基中可以含有零向量．( × )
(3)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( × )
1 1 2 2
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．( √ )2．若e ，e 是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能构成平面内所有向量的
1 2
一组基的是( )
A．e 与e＋e B．e－2e 与2e＋e
1 1 2 1 2 1 2
C．e－2e 与e＋2e D．e－e 与e－e
1 2 1 2 1 2 2 1
答案 D
解析 因为e－e＝－(e－e)，故e－e 与e－e 共线，不能构成基．
2 1 1 2 1 2 2 1
3．若向量a＝(3，－4)，b＝(－1，m)，且a∥b，则m等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 由题意得3m＝4，则m＝.
4．已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是
________．
答案 (－2,15)
解析 设点O为坐标原点，
∵点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，
∴2BP＝3AP，
即2(OP－OB)＝3(OP－OA)，
∴OP＝3OA－2OB＝3(2,3)－2(4，－3)＝(－2,15)．
∴点P的坐标为(－2,15).
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)设{e，e}为平面内的一组基，则下面四组向量中不能作为基的是( )
1 2
A．e＋e 和e－e
1 2 1 2
B．4e＋2e 和2e－4e
1 2 2 1
C．2e＋e 和e＋e
1 2 1 2
D．e－2e 和4e＋2e
1 2 2 1
答案 C
解析 平面向量的基由两个不共线的非零向量组成，C选项中，2e ＋e ＝2，即2e ＋e 和e
1 2 1 2 1
＋e 为共线向量，所以它们不能作为基．其他选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以
2
作为基．
(2)(2023·西安模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AE＝AD，CF＝CD，则BA等于( )A.AF－CE B.AF－CE
C.AF＋CE D.AF＋CE
答案 C
解析 设AB＝a，AD＝b，
因为AE＝AD，所以CE＝CD＋DE＝－a－b，
因为CF＝CD，所以AF＝AD＋DF＝a＋b，
设BA＝mAF＋nCE，
则－a＝m＋n，
解得m＝，n＝，
即BA＝AF＋CE.
思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进
行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基，并运用该基将条件和结论
表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练1 (1)平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，
b的说法中正确的是( )
A．向量a，b的方向相同
B．向量a，b中至少有一个是零向量
C．向量a，b的方向相反
D．当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0
答案 D
解析 因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
所以根据平面向量的基本定理得，向量a，b不共线，故A，B，C不正确；
因为a，b不共线，所以当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0，故D正确．
(2)(2023·太原模拟)已知在矩形ABCD中，E为AB边中点，AC，DE交于点F，则BF等于(
)
A．－AB＋AD B.AB－AD
C.AB－AD D．－AB＋AD
答案 D
解析 如图，取CD中点G，连接BG，交AC于点H，
∵BE＝DG，BE∥DG，∴四边形BEDG为平行四边形，
∴BG∥DE，又E为AB中点，
∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，
∴AF＝AC＝(AB＋AD)，
∴BF＝BA＋AF＝－AB＋(AB＋AD)
＝－AB＋AD.
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知A(－1,2)，B(3,0)，点P在直线AB上且|AP|＝2|PB|，则点P的坐标为( )
A. B．(7,2)
C.或(7，－2) D．(2,1)或(7，－2)
答案 C
解析 设点P的坐标为(x，y)，
∵A(－1,2)，B(3,0)
∴AP＝(x＋1，y－2)，PB＝(3－x，－y)．
由点P在直线AB上且|AP|＝2|PB|，
得AP＝2PB或AP＝－2PB.
∴或
解得或
∴点P的坐标为或(7，－2)．
(2)(2024·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ的值
为( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角
坐标系，如图，
令AB＝2，则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，M(2,1)，AC＝(2,2)，AM＝(2,1)，BD＝(－2,2)，
λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，
因为AC＝λAM＋μBD，
所以
解得λ＝，μ＝，λ＋μ＝，所以λ＋μ的值为.
思维升华 (1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据
“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解
答转化为我们熟知的数量运算．
跟踪训练2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵a－2b＋3c＝0，
∴c＝－(a－2b)．
∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，
∴c＝－(a－2b)＝.
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基表示c，则( )
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
答案 D
解析 如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，a＝AB，b＝BC，c＝CD，
则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，
所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，
设向量c＝ma＋nb，
则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
所以解得
所以c＝3a－2b.
题型三 向量共线的坐标表示
例3 (1)(2023·济宁模拟)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m
＝________.答案
解析 a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，
则a＋2b＝(－1＋2m，－4)，
由题意得(a＋2b)∥a，
故4＝2(－1＋2m)，解得m＝.
(2)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分别为AB，BC中点，则AF与CE的交
点坐标为________．
答案
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(2,0)，C(0,4)，E(1,0)，F(1,2)，
设AF与CE交点为D(x，y)，
则AD＝(x，y)，AF＝(1,2)，
且AD∥AF，即2x－y＝0，①
又CD＝(x，y－4)，CE＝(1，－4)，
且CD∥CE，即y－4＋4x＝0，②
由①②得x＝，y＝，
故交点D.
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是xy＝xy.
1 1 2 2 1 2 2 1
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3 (1)(2024·景德镇模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若
(a＋b)∥c，则tan α的值为( )
A．2 B．－2 C. D．－
答案 A
解析 因为a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，
所以a＋b＝(4，sin α)，
又c＝(2，cos α)且(a＋b)∥c，
所以4cos α＝2sin α，则tan α＝＝2.
(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为____．
答案 (2,4)
解析 ∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
∴DC＝2AB，
设点D的坐标为(x，y)，
则DC＝(4－x,2－y)，
又AB＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
即∴
∴点D的坐标为(2,4)．
课时精练
一、单项选择题
1．下列各组向量中，{e，e}不能作为平面的一组基的是( )
1 2
A．e＝(2，－1)，e＝(1，－2)
1 2
B．e＝(4，－2)，e＝(－2,1)
1 2
C．e＝(3,3)，e＝(－1,1)
1 2
D．e＝(2,3)，e＝(－1,3)
1 2
答案 B
解析 对于A，C，D，因为两向量不共线，所以{e，e}能作为一组基；
1 2
对于B，因为e＝－2e，所以e∥e，所以{e，e}不能作为一组基．
1 2 1 2 1 2
2．(2024·齐齐哈尔模拟)已知a＝(2,1)，b＝(3x2－1，x)，若a∥b，则x等于( )
A．1或－ B．－
C.或 D.
答案 A
解析 因为a∥b，所以3x2－1－2x＝0，解得x＝1或x＝－.
3．(2023·洛阳模拟)已知向量a与b的方向相反，b＝(－2,3)，|a|＝2，则a等于( )
A．(－6,4) B．(－4,6)
C．(4，－6) D．(6，－4)
答案 C
解析 ∵a与b的方向相反，
∴a＝λb(λ<0)．设a＝(x，y)，则(x，y)＝λ(－2,3)，
于是由|a|＝2，
得x2＋y2＝52，即4λ2＋9λ2＝13λ2＝52，
∴λ2＝4，
又λ<0，∴λ＝－2，∴a＝(4，－6)．
4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且|AG|＝2|GD|，那
么点C的坐标为( )
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4,2)
答案 C
解析 由题意知，G是△ABC的重心，设C(x，y)，
则有解得
故点C的坐标为(4，－2)．
5．(2023·漳州模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AG＝AB
＋AD，EG＝λEF，则λ等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为6，
则B(6,0)，D(0,6)，C(6,6)，E(6,3)，F(3,6)，
∴AG＝AB＋AD＝(6,0)＋(0,6)＝(4,5)，
∴G(4,5)，EG＝(－2,2)，EF＝(－3,3)，
∴EG＝EF，∴λ＝.
6．(2023·成都模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，以AC为直径的半圆上
有一点M，BM＝λBC＋λBA(λ≠0)，则λ等于( )A. B. C. D.
答案 A
解析 以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(0,1)，C(1,0)，AC＝，
设D为AC的中点，则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D.
则以AC为直径的圆的方程为
2＋2＝，
设M(x，y)，
则BM＝(x，y)，BC＝(1,0)，BA＝(0,1)，
BM＝λBC＋λBA＝(λ，λ)，
所以
由点M在圆2＋2＝上，
可得2＋2＝，
即4λ2－(1＋)λ＝0，
解得λ＝或λ＝0(舍去)．
二、多项选择题
7．(2023·昆明模拟)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，
B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B. C．1 D．－1
答案 ABD
解析 因为AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．
假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.
所以只要m≠1，A，B，C三点即可构成三角形．
8.如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分
点，则( )A.AE＋AF＝AC
B.AE＝AB＋AD
C.AF＝AB＋AD
D.FQ＝AB＋AD
答案 ABC
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，
设Q(x,0)，则根据题意可得A(0,2)，D(2,2)，C(2,0)，E，F，B(0,0)，
则AF＝，AC＝(2，－2)，AQ＝(x，－2)，AE＝，AB＝(0，－2)，AD＝(2,0)，
由于AE∥AQ，
所以－x＝－2×，解得x＝1，故Q(1,0)，
对于A，AE＋AF＝＋＝(2，－2)＝AC，故A正确；对于B，AB＋AD＝×(0，－2)＋×(2,0)＝
＝AE，故B正确；对于C，AB＋AD＝×(0，－2)＋×(2,0)＝＝AF，故C正确；对于D，AB＋
AD＝×(0，－2)＋×(2,0)＝，FQ＝，故D错误．
三、填空题
9．(2023·南京模拟)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量的坐标是
________．
答案
解析 ∵点A(1,3)，B(4，－1)，
∴AB＝(3，－4)，
可得|AB|＝＝5，
因此，与向量AB同方向的单位向量为
·AB＝(3，－4)＝.
10．已知向量a＝(－1,4)，b＝(3，－2λ)，若a∥(2a＋b)，则λ＝________.
答案 6
解析 向量a＝(－1,4)，b＝(3，－2λ)，则2a＋b＝(1,8－2λ)，
由a∥(2a＋b)，得4＝－8＋2λ，
解得λ＝6.
11.如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹
角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
答案 6
解析 方法一 如图，作平行四边形OBCA ，
1 1
则OC＝OB1＋OA1，
因为OA与OB的夹角为120°，
OA与OC的夹角为30°，
所以∠BOC＝90°.
1
在Rt△OBC中，∠OCB ＝30°，|OC|＝2，
1 1
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，
所以OC＝4OA＋2OB，所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，
C(3，)．
由OC＝λOA＋μOB，
得解得所以λ＋μ＝6.
12．(2024·曲靖模拟)已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，AM＝mAB，AN＝nAD
(mn≠0)，若MN∥BE，则＝________.
答案 2解析 依题意设MN＝λBE，
则MN＝MA＋AN＝－mAB＋nAD＝λ(BC＋CE)＝λ，
即－mAB＋nAD＝－λAB＋λAD，
所以故＝2.
四、解答题
13.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，B，C在第一象限，|OA|＝2|AB|＝2，∠OAB
＝，BC＝(－1，)．
(1)求点B，C的坐标；
(2)判断四边形OABC的形状，并求出其周长．
解 (1)在平面直角坐标系中，
由|OA|＝2，知A(2,0)，
设B(x ，y )，
B B
又∠OAB＝，|AB|＝1，
则x ＝2＋cos＝，y ＝sin＝，
B B
∴B.
又BC＝(－1，)，
∴OC＝OB＋BC＝＋(－1，)＝，
∴C.
(2)由(1)可得OC＝，
AB＝，
∴OC＝3AB.
∴OC∥AB，|OC|＝3|AB|＝3.
又|BC|＝＝2，|OA|＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
∵|OA|＝2，|AB|＝1，|BC|＝2，|OC|＝3，
∴四边形OABC的周长为8.
14．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，)，n
＝，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝1，求△ABC面积的最大值．解 (1)由于m∥n，
所以2sin(A＋C)×＝cos 2B，
即2sin Bcos B＝cos 2B，
即sin 2B＝cos 2B，tan 2B＝，
由于B是锐角，所以0
