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必刷小题 8 解三角形
一、单项选择题
1．(2023·重庆模拟)在△ABC中，sin A＝，AC＝，B＝45°，则BC等于( )
A．2 B. C．2 D．2
答案 D
解析 由正弦定理知，＝，
∴BC＝＝＝2.
2．(2023·南昌模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝2，
△ABC的面积为2sin B，则cos A等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sin B，所以S ＝acsin B＝2sin B，
△ABC
所以a＝2，由余弦定理得cos A＝＝.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin A＋b(sin B＋sin A)＝csin
C，则C等于( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 D
解析 因为asin A＋b(sin B＋sin A)＝csin C，
所以由正弦定理得a2＋b(b＋a)＝c2，
化简得a2＋b2－c2＝－ab，
所以由余弦定理得cos C＝＝＝－，
因为C∈(0，π)，
所以C＝150°.
4．(2023·郑州模拟)2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名
单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场 A地测得纪念
塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C(A，
B，C在同一水平面上，DC⊥平面ABC)，测得AB＝63 m，∠ACB＝30°，则纪念塔的高CD
为( )
A．40 m B．63 m
C．40m D．63m
答案 B
解析 如图所示，∠DAC＝45°，∠CBD＝30°，∠ACB＝30°，设塔高CD为t，因为DC⊥平
面ABC，所以DC⊥CA，DC⊥CB，
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所以AC＝t，BC＝t，又AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，
即632＝t2＋3t2－2×t×t×，
解得t＝63 m.
5．(2022·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b2＋c2＝a2＋
bc，则△ABC外接圆的面积是( )
A. B. C．2π D．4π
答案 B
解析 因为b2＋c2＝a2＋bc，所以b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
所以sin A＝，
设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R＝＝，
所以R＝，
所以△ABC外接圆的面积是πR2＝.
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tan A＝，且B为钝角．则sin A＋sin
C的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由tan A＝以及正弦定理得＝＝，所以sin B＝cos A，即sin B＝sin，
又B为钝角，所以＋A∈，
故B＝＋A，
C＝π－(A＋B)＝－2A>0⇒A∈，
于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1＝－22＋，
因为A∈，所以00，设g(x)＝9x2－40m2x＋16m4＋，则方程g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，所以g＝92－
40m2×＋16m4＋≤0，解得m4≥，即m≥.
二、多项选择题
9．(2022·福州模拟)下列对△ABC解的个数的判断中正确的是( )
A．a＝7，b＝14，A＝30°，有一解
B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．a＝，b＝，A＝60°，有一解
D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
答案 AB
解析 选项A，bsin A＝14sin 30°＝7＝a，则三角形有一解，判断正确；
选项B，bsin A＝25sin 150°＝，则a>b>bsin A，则三角形有一解，判断正确；
选项C，bsin A＝sin 60°＝，则a
