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§5.3 平面向量的数量积
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向
量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两
个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的
平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB ＝θ(0≤θ≤π)
叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 | a | | b |cos θ 叫做向量a与b的数量积，
记作 a · b .
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，
过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到A1B1，我们称
1 1
上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．记为 | a |cos θ e .
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ b · a .
(2)(λa)·b＝ λ ( a · b ) ＝ a ·( λ b ) ．
(3)(a＋b)·c＝ a · c ＋ b · c .
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝xx ＋ yy
1 2 1 2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 xx ＋ yy ＝ 0
1 2 1 2
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |xx＋yy|≤
1 2 1 2常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( × )
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.( × )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( × )
教材改编题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于( )
A．1 B. C．3 D．3
答案 C
解析 由题意可得a·b＝|a|·|b|cos 30°＝2××＝3.
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 2
3．若向量 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则 a·b 的值等于________；a 与 b 夹角的余弦值等于
________．
答案 5
解析 因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，
所以a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝＝，|b|＝＝5，
所以cos〈a，b〉＝＝＝.
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)(2023·广州模拟)在平面四边形 ABCD中，已知AB＝DC，P为CD上一点，CP＝
3PD，|AB|＝4，|AD|＝3，AB与AD的夹角为θ，且cos θ＝，则AP·PB等于( )
A．8 B．－8 C．2 D．－2
答案 D
解析 如图所示，∵AB＝DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵CP＝3PD，
∴AP＝AD＋DP＝AD＋AB，
PB＝AB－AP＝AB－AD，
又∵|AB|＝4，|AD|＝3，cos θ＝，
则AB·AD＝4×3×＝8，
∴AP·PB＝·
＝AB·AD－AD2＋AB2
＝×8－9＋×42＝－2.
(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，BC＝3BD，AM＝2AD，则MC·MB＝________.
答案 22
解析 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
∵AB＝6，BC＝3BD，AM＝2AD，
∴B(－3,0)，C(3,0)，
M(－2，－3)，
∴MB＝(－1,3)，
MC＝(5,3)，
∴MC·MB＝－5＋27＝22.
思维升华 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx＋yy.
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
跟踪训练1 (1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线
BD上，则AP·AC的值为( )A．－2 B．2 C．1 D．4
答案 B
解析 设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示，
由AP在AC方向上的投影向量为AO，
得AP·AC＝AO·AC＝AC2＝2.
(2)如图，在梯形 ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若AB·AC＝2AB·AD，则AD·AC＝
________.
答案 12
解析 因为AB·AC＝2AB·AD，
所以AB·AC－AB·AD＝AB·AD，
所以AB·DC＝AB·AD.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2|AB|＝|AB||AD|cos ，
化简得|AD|＝2.
故AD·AC＝AD·(AD＋DC)＝|AD|2＋AD·DC＝(2)2＋2×2cos ＝12.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例2 已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|等于( )
A．1＋2 B.
C. D．3
答案 B
解析 根据向量的运算法则和数量积的定义，
可得|a＋2b|＝＝
＝＝.
命题点2 向量的夹角
例3 若e，e 是夹角为的两个单位向量，则a＝2e＋e 与b＝－3e＋2e 的夹角为( )
1 2 1 2 1 2
A. B.
C. D.答案 C
解析 由题意可得e·e＝1×1×cos ＝，
1 2
故a·b＝(2e＋e)·(－3e＋2e)
1 2 1 2
＝－6e＋e·e＋2e＝－6＋＋2＝－，
1 2
|a|＝＝＝，
|b|＝＝＝，
故cos〈a，b〉＝＝＝－，
由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝.
命题点3 向量的垂直
例4 (2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.
答案 －
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，解得m＝－.
思维升华 (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2 (1)(多选)已知e ，e 是单位向量，且e·e ＝，若向量a满足e·a＝2，则下列选
1 2 1 2 1
项正确的是( )
A．|e－e|＝1 B．e 在e 上的投影向量的模为
1 2 1 2
C．e 与e－e 的夹角为 D．a在e 上的投影向量为2e
1 1 2 1 1
答案 ABD
解析 因为e·e＝1×1×cos〈e，e〉＝，所以e，e 的夹角为，
1 2 1 2 1 2
设OA＝e，OB＝e，则BA＝e－e，由此可得△OAB是一个等边三角形，
1 2 1 2
所以〈e，e－e〉＝，故C错误；
1 1 2
|e－e|2＝e－2e·e＋e＝1，故|e－e|＝1，故A正确；
1 2 1 2 1 2
因为e 在e 上的投影向量为e＝e，所以模为，故B正确；
1 2 2 2
设e 与a的夹角为θ，因为e·a＝2＝|a|cos θ，
1 1
所以a在e 上的投影向量为(|a|cos θ)e＝2e，故D正确．
1 1 1
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则
t等于( )A．－6 B．－5 C．5 D．6
答案 C
解析 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，
即＝，
即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
题型三 平面向量的实际应用
例5 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力
为G，两个拉力分别为F ，F ，且|F |＝|F |，F 与F 的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下
1 2 1 2 1 2
列结论正确的是( )
A．|G|＝|F |＋|F | B．当θ＝时，|F |＝|G|
1 2 1
C．当θ角越大时，用力越省 D．当|F |＝|G|时，θ＝
1
答案 B
解析 根据题意可得G＝F ＋F ，
1 2
则|G|＝|F ＋F |＝＝＝，
1 2
当θ＝0时，|G|＝2|F |＝|F |＋|F |，
1 1 2
当θ＝时，|G|＝＝|F |，
1
即|F |＝|G|，故A错误，B正确；
1
|G|＝，因为y＝cos θ在(0，π)上单调递减，
且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；
当|F |＝|G|时，即|G|＝＝|F |，解得cos θ＝－，
1 1
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝，故D错误．
思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中
的航行速度v 的大小|v|＝10 km/h，水流的速度v 的大小|v|＝4 km/h，设v 和v 所成的角
1 1 2 2 1 2
为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 B
解析 由题意知(v＋v)·v＝0，
1 2 2
有|v||v|cos θ＋v＝0，
1 2
即10×4cos θ＋42＝0，
所以cos θ＝－.
课时精练
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于( )
A．12 B．12 C．－12 D．－12
答案 C
解析 由题意知m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×＝－12.
2．(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于( )
A．5 B．6 C. D．4
答案 A
解析 ∵a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即－λ＋4＝0，∴λ＝4，∴a＋b＝(3,4)，|a
＋b|＝＝5.
3．已知a，b为非零向量，且|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，设a与b的夹角为θ，即8|a||b|
cos θ＋3|b|2＝3|a|2，
将|a|＝|b|代入8|a||b|cos θ＋3|b|2＝3|a|2，
得cos θ＝.
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为( )A．3 B. C．2 D.
答案 B
解析 方法一 设a与b的夹角为θ，∵|a|cos θ＝b，∴＝，∴|a|cos θ＝，∴a·b＝|a||b|cos θ＝
×3＝.
方法二 a·b＝b·b＝b2＝.
5．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P是BC的中点，则PA·PD等于( )
A．0 B. C．3 D.
答案 C
解析 由题意可得PA＝－(AB＋BP)＝－，
PD＝PC＋CD＝AD－AB，
故PA·PD＝－·
＝|AB|2－2＝4－1＝3.
6．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则AO·AB等于( )
A．8 B. C．8 D．18
答案 A
解析 由题意得O为△ABC外心，故AO·AB＝AB2＝8.
7．(2023·郑州模拟)在以OA为边，以OB为对角线的菱形OABC中，OA＝(4,0)，OB＝(6，
a)，则∠AOC等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题设，AB＝OB－OA＝(2，a)，且|AB|＝|OA|＝4，
所以＝4，则a＝±2，故OB＝(6，±2)，
由∠AOC＝2∠AOB∈(0，π)，则0<∠AOB<，
又cos∠AOB＝＝＝，则∠AOB＝，
所以∠AOC＝.
8．已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：PA＋PB＋PC＝0；
乙：PA·(PA－PB)＝PC·(PA－PB)；
丙：|PA|＝|PB|＝|PC|；
丁：PA·PB＝PB·PC＝PC·PA.
如果只有一个等式不成立，则该等式为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 B
解析 甲：PA＋PB＋PC＝0，则PA＋PB＝－PC，故P为△ABC的重心；
乙：PA·(PA－PB)＝PC·(PA－PB)，则(PA－PB)·CA＝BA·CA＝0，故AB⊥AC，即△ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；
丁：PA·PB＝PB·PC，则(PA－PC)·PB＝CA·PB＝0，同理可得BA·PC＝CB·PA＝0，即P为△ABC的
垂心，
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当
乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立．
9．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．
答案
解析 由b＝(－1,0)，得|b|＝1，
因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，
所以a·b＋2b2＝0，
所以|a||b|cos〈a，b〉＋2|b|2＝0，
因为|a|＝4，
所以4cos〈a，b〉＋2＝0，所以cos〈a，b〉＝－，
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
10．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝
________.
答案 11
解析 (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11.
11．(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力
F 的大小为3 N，另一力F 未知，则( )
1 2
A．当该物体处于平衡状态时，|F |＝5 N
2
B．当F 与F 方向相反，且|F |＝5 N时，物体所受合力大小为0
2 1 2
C．当物体所受合力为F 时，|F |＝4 N
1 2
D．当|F |＝2 N时，3 N≤|F ＋F ＋G|≤7 N
2 1 2
答案 ACD
解析 由题意知，F 的大小等于重力G与水平拉力F 的合力大小，由图①知|F |＝5 N，故
2 1 2
A正确；如图②，物体所受合力应等于向量AD与F 的和向量的大小，显然B错误；
2
当物体所受合力为F 时，说明G与F 的合力为0，所以|F |＝4 N，C正确；
1 2 2
由上知，重力G与水平拉力F 的合力为AD，|AD|＝5 N，易知当F 与AD同向时合力最大，最
1 2
大值为7 N；反向时合力最小，最小值为3 N，
即3 N≤|F ＋F ＋G|≤7 N，故D正确．
1 2
12．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是( )
A．(－6，＋∞)
B.
C.∪
D.∪
答案 C
解析 因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，
所以a·b＝6＋m，
因为向量a，b的夹角是锐角，所以
解得m>－6，且m≠.
所以实数m的取值范围是∪.
13．(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P(cos α，sin α)，P(cos β，sin β)，P(cos(α－
1 2 3
β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP2|＝|P1P3|
C.OA·OP1＝OP2·OP3
D.OA·OP3＝OP1·OP2
答案 ABD
解析 由题意OA＝(1,0)，OPi的坐标等于P的坐标(i＝1,2,3)，
i
|OP1|＝|OP2|＝1，A正确；
|AP2|＝＝，
|P1P3|＝＝＝，
所以|AP2|＝|P1P3|，B正确；
OA·OP1＝cos α，OP2·OP3＝cos βcos(α－β)＋sin βsin(α－β)＝cos(2β－α)，C错误；
OA·OP3＝cos(α－β)，OP1·OP2＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，D正确．
14．(2023·新乡模拟)在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且AE·DF＝0，则BD·EF＝________.
答案 －
解析 设AF＝λAB，则DF＝AF－AD＝λAB－AD，
AE＝AB＋BE＝AB＋AD.
所以AE·DF＝·(λAB－AD)＝λAB2＋AB·AD－AD2＝5λ－4＝0，
解得λ＝.
则EF＝AF－AE＝－AB－AD，
故BD·EF＝(AD－AB)·
＝AB2＋AB·AD－AD2＝－.
15.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角
线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(|AD|2－|BC|2)，我们称为极化恒等式．在△ABC
中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.
答案 －16
解析 由题设，|AM|＝3，|BC|＝10，
AB·AC＝·(4|AM|2－|BC|2)＝×(36－100)＝－16.
16．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈
现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪
花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是
“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的
中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角
形的边长为3，则图③中OM·ON的值为________．
答案 6
解析 在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，|OM|＝2，OM＝＝(1,)，
|MP|＝，即MP＝，
|PN|＝，由分形知PN∥OM，所以PN＝，
所以ON＝OM＋MP＋PN＝，
所以OM·ON＝1×＋×＝6.
