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第 03 讲 复数
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考点要求 考题统计 考情分析
（1）通过方程的解，认识复 高考对集合的考查相对稳定，每年必
数． 考题型，考查内容、频率、题型、难
（2）理解复数的代数表示及 度均变化不大．复数的运算、概念、
2022年I卷II卷第2题，5分
其几何意义，理解两个复数 复数的模、复数的几何意义是常考
2021年II卷第1题，5分
相等的含义． 点，难度较低，预测高考在此处仍以
2021年I卷第2题，5分
（3）掌握复数的四则运算， 简单题为主．
了解复数加、减运算的几何
意义．知识点一、复数的概念
（1） 叫虚数单位，满足 ，当 时， ．
（2）形如 的数叫复数，记作 ．
①复数 与复平面上的点 一一对应， 叫z的实部，b叫z的虚部；
Z点组成实轴； 叫虚数； 且 ，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包
括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数 相等 （两复数对应同一点）
③复数的模：复数 的模，也就是向量 的模，即有向线段 的长度，其计算公式为
，显然， ．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）（2）
其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ．
（3） ．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数 分别对应的向量 为邻边作平行四边形 ，对角线 表示的向量 就是复
数 所对应的向量． 对应的向量是 ．
2、复数的几何意义
（1）复数 对应平面内的点 ；
（2）复数 对应平面向量 ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数 都可以表示成 形式，其中 是复数 的模； 是以 轴
的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角．
叫做复数 的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍．规定在 范围内的
辐角 的值为辐角的主值．通常记作 ，即 ．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角
形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数 对应的向量为 ，把向量 绕点 按逆时针方向旋转角 （如果 ，就要把绕点 按顺时针方向旋转角 ），再把它的模变为原来的 倍，得到向量 ， 表示的复数就是
积 ．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数
的辐角所得的差，即 ．
题型一：复数的概念
例1．（2023·河南安阳·统考三模）已知 的实部与虚部互为相反数，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 ,
的实部与虚部互为相反数，故 ，
故选：A
例2．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以
所以 的虚部为 .
故选：A.
例3．（2023·海南海口·校联考一模）若复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．
【答案】C
【解析】因为复数 为纯虚数，则有 ，解得 ，
所以实数 的值为 .
故选：C例4．（多选题）（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若复数 ，则（ ）
A． B．z的实部与虚部之差为3
C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ACD
【解析】∵ ，
∴z的实部与虚部分别为4， ，
，A正确；
z的实部与虚部之差为5，B错误；
，C正确；
z在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，D正确．
故选：ACD．
例5．（2023·辽宁·校联考一模）若 是纯虚数， ，则 的实部为______.
【答案】1
【解析】 是纯虚数，且 ，则有 ，故 ，实部为1.
故答案为：1.
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复
数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
例6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】依题意， ，则 ，
所以 .
故选：A
例7．（2023·河北衡水·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由已知得 ，
故 .
故选：B.
例8．（2023·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ．
故选：A.
例9．（2023·全国·模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一：由 得 ，所以 ，故选 ．
解法二：由 得 ，所以 ，即 ，
故选： ．
【解题方法总结】
设 ，则
（1）
（2）
（3）
题型三：复数的几何意义
例10．（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A
【解析】由题得 ，即复平面内对应的点为 ，在第一象限.
故选：A．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 与 在复平面内对应的点关于实轴对称，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为复数 与 在复平面内对应的点关于实轴对称，所以 ，
所以 ．
故选：B．
例12．（2023·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是 ，则顶点B对应的复数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得： ,不妨设C点对应的复数为 ，则 ,
由 ，得 ，
即C点对应的复数为 ，
由 得：B点对应复数为 .
故选：A．
例13．（2023·全国·校联考模拟预测）在复平面内，设复数， 对应的点分别为 ， ，则
（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C【解析】由题意，知 ， ，所以 ，所以 ．
故选：C.
【解题方法总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是
研究复数几何意义的最重要的出发点．
题型四：复数的相等与共轭复数
例14．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知 （ 是虚数单位）是关于 的方程
的一个根，则 （ ）
A．9 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】已知 （ 是虚数单位）是关于 的方程 的一个根，
则 ，即 ，即 ，
解得 ，故 .
故选： ．
例15．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知 ， ， ，若
，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由已知可得， ， ，
所以 ，
所以有 ，解得 或 .
故选：C.
例16．（2023·四川宜宾·统考三模）已知复数 ，且 ，其中a是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 .故选:B.
例17．（2023·湖北·模拟预测）已知复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
则 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 的共轭复数的虚部为 .
故选：B.
例18．（2023·四川宜宾·统考三模）已知复数 ，且 ，其中a，b是实数，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，则由 得：
，即 ，
故 ，解得： .
故选：B.
【解题方法总结】
复数相等：
共轭复数： ．
题型五：复数的模
例19．（2023·河南·统考二模）若 ，则 _______．
【答案】
【解析】由 可得 ，
故 ，则 ，
故答案为：
例20．（2023·上海浦东新·统考三模）已知复数 满足 ，则 __________．
【答案】【解析】设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
当 时， ，故 ，
；
当 时， ，故 ，
故答案为：-8
例21．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）设复数 ， 满足 ， ，则
=__________.
【答案】
【解析】方法一：设 ， ，
，
，又 ，所以 ， ，
.
故答案为： .
方法二：如图所示，设复数 所对应的点为 , ,
由已知 ,
∴平行四边形 为菱形，且 都是正三角形，∴ ，
∴ .【解题方法总结】
题型六：复数的三角形式
例22．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数
的关系，并写出以下公式 （x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地
位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当 时，因为 ，所以 ，故选项A正确；
对于B， ，
故选项B正确；
对于C，由 ， ，
所以 ,得出 ，故选项C正确；
对于D，由C的分析得 ，推不出 ，故选项D错误．
故选：D．
例23．（2023·全国·高三专题练习）任何一个复数 都可以表示成
的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．则 （ ）
A．1 B． C． D．i
【答案】B
【解析】 ，
；
故选：B．
例24．（2023·河南·统考模拟预测）欧拉公式 把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函
数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．【答案】B
【解析】由欧拉公式知：
， ，
，
的虚部为 ．
故选：B
例25．（2023·全国·高三专题练习）棣莫弗公式 （其中i为虚数单位）是由法
国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 在复平面内所对
应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由棣莫弗公式知，
，
复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ，位于第三象限．
故选：C．
【解题方法总结】
一般地，任何一个复数 都可以表示成 形式，其中 是复数 的模； 是以 轴
的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角．
叫做复数 的三角表示式，简称三角形式．
题型七：与复数有关的最值问题
例26．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若 ，则 的最大值与最小值的和为
___________.
【答案】
【解析】由几何意义可得：复数 表示以（ ）为圆心的半径为1的圆，
则 .
故答案为：
例27．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在复平面内，已知复数 满足 ， 为虚数单位，则
的最大值为____________.【答案】6
【解析】令 且 ，则 ，即复数 对应点在原点为圆心，半径为1的圆上，
而 ，即点 到定点 距离的最大值，
所以 的最大值为 .
故答案为：
例28．（2023·全国·模拟预测）设 是复数且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】根据复数模的几何意义可知， 表示复平面内以 为圆心，1为半径的圆，而 表
示复数 到原点的距离，
由图可知， .
故选：C
例29．（2023·重庆·统考二模）复平面内复数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以点 是以 ， 为焦点，半实轴长为1的双曲线，则 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
设 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故选：B．例30．（2023·全国·校联考三模）已知复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以 的最大值为 ．
故选：B
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化
1．（2022·全国·统考高考真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
故选：D.
2．（2022·全国·统考高考真题）设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 R， ，所以 ，解得： ．
故选：A.
3．（2022·全国·统考高考真题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ．
故选：D.
