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专题19.29 一次函数（全章直通中考）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·湖南益阳·中考真题）关于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当 时，
2．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线 过点 ， ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2012·甘肃兰州·中考真题）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后
匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起
的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川眉山·中考真题）一次函数 的值随 的增大而增大，则点 所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·安徽·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图像可能是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，在 中， ，点P为线段 上的
动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作 于点M、作
于点N，连接 ，线段 的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图
象最低点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）A． 随 的增大而增大
B．
C．当 时，
D．关于 ， 的方程组 的解为
8．（2023·广东深圳·中考真题）如图1，在 中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，
速度为2单位/s，其中 长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则 的长为（ ）
A． B． C．17 D．
9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线 和 轴之间由小到大依次画
出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在 轴上，另一条直角边与 轴垂直，
则第 个等腰直角三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·黑龙江大庆·中考真题）函数 叫做高斯函数，其中x为任意实数， 表示不超过x
的最大整数．定义 ，则下列说法正确的个数为（ ）① ；
② ；
③高斯函数 中，当 时，x的取值范围是 ；
④函数 中，当 时， ．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数 ，若y随x的增大而增大，且
图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
12．（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数 ，若对于 范围内任意自变量 的值，其
对应的函数值 都小于 ，则 的取值范围是 ．
13．（2023·山东·中考真题）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程 （千米）与行驶时间 （小时）之
间的函数关系如图所示．当 时， 与 之间的函数表达式为 ；当 时， 与 之
间的函数表达式为 ．
14．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴交于点 ，
以 为边作正方形 点 在y轴上，延长 交直线l于点 ，以 为边作正方形 ，点
在y轴上，以同样的方式依次作正方形 ，…，正方形 ，则点 的横坐标是
．15．（2022·辽宁锦州·中考真题）点 在一次函数 的图像上，当
时， ，则a的取值范围是 ．
16．（2023·四川南充·中考真题）如图，直线 （k为常数， ）与x，y轴分别交于点
A，B，则 的值是 ．
17．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数 的系数 与图像的关系”活动中，
老师给出了直角坐标系中的三个点： ．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一
次函数的图像，并得到对应的函数表达式 ．分别计算 ，
的值，其中最大的值等于 ．18．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在第一象限内的直线 上取点 ，使 ，以
为边作等边 ，交 轴于点 ；过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，以 为边作等边 ，交
轴于点 ；过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，以 为边作等边 ，交 轴于点 ；……，依
次类推，则点 的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点
和 ，与过点 且平行于x轴的线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于4，直
接写出n的值．20．（8分）（2023·四川甘孜·中考真题）某次气象探测活动中，在一广场上同时释放两个探测气球．
1号探测气球从距离地面5米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球距离地面的高度y（单位：米）
与上升时间x（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）探测气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度？此时它们距离地面多少米？
21．（10分）（2019·四川乐山·中考真题）如图，已知过点 的直线 与直线 ： 相交于
点 .
（1）求直线 的解析式；
（2）求四边形 的面积.22．（10分）（2018·河北·中考真题）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ x+5的图象l 分别与
1
x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l 与l 交于点C（m，4）．
2 1
（1）求m的值及l 的解析式；
2
（2）求S AOC﹣S BOC的值；
△ △
（3）一次函数y=kx+1的图象为l，且1 ，l，l 不能围成三角形，直接写出k的值．
3 1 2 3
23．（10分）（2023·四川遂宁·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午
节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行
销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用
1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的
2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获
得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？24．（12分）（2023·黑龙江绥化·中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用 、 两型
客车（每种型号的客车至少租用一辆）． 型车每辆租金 元， 型车每辆租金 元．若 辆 型和
辆 型车坐满后共载客 人； 辆 型和 辆 型车坐满后共载客 人．
（1）每辆 型车、 型车坐满后各载客多少人？
（2）若该校计划租用 型和 型两种客车共 辆，总租金不高于 元，并将全校 人载至目的
地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
（3）在这次活动中，学校除租用 、 两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏
令营目的地的路程为 千米，甲车从学校出发 小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早 小时到达
目的地．下图是两车离开学校的路程 （千米）与甲车行驶的时间 （小时）之间的函数图象．根据图象信
息，求甲乙两车第一次相遇后， 为何值时两车相距 千米．参考答案：
1．B
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
解：由题意可得： ，
∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错；
当 时， ，
∴图象与y轴交于点 ，故B正确；
当 时， ，
∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当 时， ，故D错误；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
2．B
【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可．
解：∵ ，
∴当 时， ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出
答案是解此题的关键．
3．C
解：根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高
度．
故选C．
4．B
【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．
解：∵一次函数 的值随 的增大而增大，
∴
解得：∴ 在第二象限
故选：B
【点拨】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
5．D
【分析】分为 和 两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．
解：当 时，两个函数的函数值： ，即两个图像都过点 ，故选项A、C不符合题
意；
当 时， ，一次函数 经过一、二、三象限，一次函数 经过一、二、三
象限，都与 轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；
当 时， ，一次函数 经过一、二、四象限，与 轴正半轴有交点，一次函数
经过一、三、四象限，与 轴负半轴有交点，故选项D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．
一次函数 的图像有四种情况：
①当 ， 时，函数 的图像经过第一、二、三象限；
②当 ， 时，函数 的图像经过第一、三、四象限；
③当 ， 时，函数 的图像经过第一、二、四象限；
④当 ， 时，函数 的图像经过第二、三、四象限．
6．C
【分析】如图所示，过点C作 于D，连接 ，先利用勾股定理的逆定理证明 是直角
三角形，即 ，进而利用等面积法求出 ，则可利用勾股定理求出 ；再证明四边形
是矩形，得到 ，故当点P与点D重合时， 最小，即 最小，此时 最小值为 ，
，则点E的坐标为 ．解：如图所示，过点C作 于D，连接 ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴当 最小时，即 最小，
∴当点P与点D重合时， 最小，即 最小，此时 最小值为 ， ，
∴点E的坐标为 ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图
形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
7．C
【分析】
结合图象，逐一进行判断即可．
解：A、 随 的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数 的图象与 轴的交点在 的图象与 轴的交点的下方，即 ，故选项B正确；
C、由图象可知：当 时， ，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为 ，
∴关于 ， 的方程组 的解为 ；
故选项D正确；
故选C．
【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．
从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
8．C
【分析】
根据图象可知 时，点 与点 重合，得到 ，进而求出点 从点 运动到点 所需的时间，
进而得到点 从点 运动到点 的时间，求出 的长，再利用勾股定理求出 即可．
解：由图象可知： 时，点 与点 重合，
∴ ，
∴点 从点 运动到点 所需的时间为 ；
∴点 从点 运动到点 的时间为 ，
∴ ；
在 中： ；
故选C．
【点拨】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出 的长，是
解题的关键．
9．C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第 个等腰直角三角形的直角边长，求出第 个等腰
直角三角形的面积，用同样的方法求出第 个等腰直角三角形的面积，第 个等腰直角三角形的面积，找
出其中的规律即可求出第 个等腰直角三角形的面积．
解：当 时， ，
根据题意，第 个等腰直角三角形的直角边长为 ，第 个等腰直角三角形的面积为 ，
当 时， ，
第 个等腰直角三角形的直角边长为 ，
第 个等腰直角三角形的面积为 ，
当 时， ，
第 个等腰直角三角形的直角边长为 ，
第 个等腰直角三角形的面积为 ，
依此规律，第 个等腰直角三角形的面积为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出
规律是解题的关键．
10．D
【分析】根据 表示不超过x的最大整数，即可解答．
解：① ，故原说法错误；
② ，正确，符合题意；
③高斯函数 中，当 时，x的取值范围是 ，正确，符合题意；
④函数 中，当 时， ，正确，符合题意；
所以，正确的结论有3个．
故选：D．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确 表示不超过x的最大整数．
11．
【分析】
由一次函数性质得， ， ，求解即可．
解：∵y随x的增大而增大，
∴ ．
∴ ．时，
∵图象与y轴的交点在原点下方，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键．
12．
【分析】根据题意和一次函数的性质可得到 ，然后求解即可．
解：一次函数 ，
随 的增大而增大，
对于 范围内任意自变量 的值，其对应的函数值 都小于 ，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键．
13．
【分析】先把 代入 ，求得 ，再设当 时， 与 之间的函数表达式为
，然后把 ， 分别代入，得 ，求解得 ，即可求解．
解：把 代入 ，得
，
设当 时， 与 之间的函数表达式为 ，
把 ， 分别代入，得
，解得： ，∴ 与 之间的函数表达式为
故答案为： ．
【点拨】本题考查函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数解
析式是解题的关键．
14．
【分析】分别求出点点 的横坐标是 ，点 的横坐标是 ，点 的横坐标是
，找到规律，得到答案见即可．
解：当 ， ，解得 ，
∴点 ,
∵ 是正方形，
∴ ，
∴点 ，
∴点 的横坐标是 ，
当 时， ，解得 ，
∴点 ，
∵ 是正方形，
∴ ，∴点 ，
即点 的横坐标是 ，
当 时， ，解得 ，
∴点 ，
∵ 是正方形，
∴ ，
∴点 的横坐标是 ，
……
以此类推，则点 的横坐标是
故答案为：
【点拨】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合是
是解题的关键．
15．a＜2
【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．
解：∵当 时， ，
∴a-2＜0，
∴a＜2，
故答案为：a＜2．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
16．1【分析】根据一次函数解析式得出 ， ，然后代入化简即可．
解： ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关
键．
17．5
【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出 ， 进行比较即可解答．
解：设 过 ，则有：
，解得： ，则 ；
同理： ，
则分别计算 ， 的最大值为值 ．
故答案为5．
【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．
18．
【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征和等边三角形的性质及等腰三角形的三线合一性质，得出：
点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，找出规律即可求解．
解：过点 作 轴于点 ，点 作 轴交直线 于点 ，
∵ 是等边三角形， ，∴ ，
∴ ，
∴点 的横坐标为 ，即 ，
∵ 是等边三角形， 轴， ，
∴点 的横坐标为 ，即 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形， 轴，
∴点 的横坐标为 ，即 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形， 轴，
∴点 的横坐标为 ，即 ，
以此类推，点 的横坐标为 ，
∴当 时，点 的横坐标为 ．
故答案为：【点拨】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质．
解题的关键是找出点 的横坐标的变化规律．
19．（1） ， ；（2） ．
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出
点C的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当 过点 时满足题意，代入 求出n的值即可．
（1）解：把点 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴该函数的解析式为 ，
由题意知点C的纵坐标为4，
当 时，
解得： ，
∴ ；
（2）解：由（1）知：当 时， ，
因为当 时，函数 的值大于函数 的值且小于4，
所以如图所示，当 过点 时满足题意，
代入 得： ，
解得： ．【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利
用数形结合的思想是解题的关键．
20．（1） ；（2）探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面
25米
【分析】（1）设 关于 的函数解析式为 ，将点 代入计算即可得；
（2）先求出1号气球上升 分时，高度为 米，再根据两个气球位于同一高度建立方程，解方程
即可得．
（1）解：由题意，设 关于 的函数解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
则 关于 的函数解析式为 ．
（2）解：由题意可知，1号气球上升 分时，高度为 米，
则 ，
解得 ，
此时 ，答：探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标
代入直线l 解析式，得到二元一次方程组，求解即可.
1
（2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点C（0，1），由 可求得四边形
的面积
解：（1）∵点P是两直线的交点，
将点P（1，a）代入
得 ，即
则 的坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，
那么 ，
解得： .
的解析式为： .
（2）直线 与 轴相交于点 ，直线 与x轴相交于点A的坐标为 ， 点的坐标为
则 ，
而 ，
【点拨】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得
各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积.
22．（1）m=2，l 的解析式为y=2x；（2）S AOC﹣S BOC=15；（3）k的值为 或2或﹣ ．
2
△ △
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l 的解析式；
2
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），可得
AO=10，BO=5，进而得出S AOC﹣S BOC的值；
△ △
（3）分三种情况：当l 经过点C（2，4）时，k= ；当l，l 平行时，k=2；当1 ，l 平行时，k=﹣
3 2 3 1 3
；故k的值为 或2或﹣ ．
解：（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣ x+5，可得
4=﹣ m+5，
解得m=2，
∴C（2，4），
设l 的解析式为y=ax，则4=2a，
2
解得a=2，
∴l 的解析式为y=2x；
2
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，
y=﹣ x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO=10，BO=5，
∴S AOC﹣S BOC= ×10×4﹣ ×5×2=20﹣5=15；
△ △（3）一次函数y=kx+1的图象为l，且1 ，l，l 不能围成三角形，
3 1 2 3
∴当l 经过点C（2，4）时，k= ；
3
当l，l 平行时，k=2；
2 3
当1 ，l 平行时，k=﹣ ；
1 3
故k的值为 或2或﹣ ．
【点拨】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰
直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
23．（1）甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；；（2）①w与m的函数关系式
为 ；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为 元，根据“用1000元购进
甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子 个，，由题意得 ，再由甲种粽子的个数
不低于乙种粽子个数的2倍，得 ；
②由一次函数的性质即可得出结论．
解：（1）
解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为 元，由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
则 ，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子 个，利润为w元，
由题意得： ，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴ ，
解得： ，
∴w与m的函数关系式为 ；
②∵ ，则w随m的增大而减小， ，即m的最小整数为134，
∴当 时，w最大，最大值 ，
则 ，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【点拨】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24．（1）每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人；（2）共有 种租车方案，租 辆 型车，
辆 型车最省钱；（3）在甲乙两车第一次相遇后，当 小时或 小时时，两车相距 千米
【分析】（1）设每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人，由题意列出二元一次方程组，解方程
组即可求解；
（2）设租用 型车 辆，则租用 型车 辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求
整数解即可得出 的值，设总租金为 元，根据一次函数的性质即可求解；（3）设 ， ，由题意可知，甲车的函数图像经过 ；乙车的函数图像经过
， 两点．求出函数解析式，进而即可求解．
（1）解：设每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人，由题意得
解得
答：每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人
（2）设租用 型车 辆，则租用 型车 辆，由题意得
解得：
取正整数，
， ， ，
共有 种租车方案
设总租金为 元，则
随着 的增大而减小
时， 最小
租 辆 型车， 辆 型车最省钱
（3）设 ， ．
由题意可知，甲车的函数图象经过 ；乙车的函数图象经过 ， 两点．
∴ ，
，即
解得
或解得
所以，在甲乙两车第一次相遇后，当 小时或 小时时，两车相距25千米．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找
到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键．
