文档内容
专题 19.2 一次函数与几何综合
◆ 典例分析
5
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直
2
线交x轴正半轴于C，且△ABC面积为15．
（1）求点C的坐标；
（2）若M为线段BC上一点，且△ABM的面积等于△AOB的面积，求M的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点
的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）先求出A、B的坐标，然后根据三角形的面积求出C；
（2）求出直线BC的表达式，根据S =S −S =S −S 求解即可；
△ACM △ABC △ABM △ABC △ABO
（3）求出直线AM的表达式，然后分三种情况：①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形
时；②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时；③当BC为平行四边形的对角线时，讨论
求解即可．
【解题过程】
5
（1）解：直线y= x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，
2
∴A(−2,0)，B(0,5)，
即OA=2,OB=5，
∵△ABC面积为15，
1
∴ (OA+OC)⋅OB=15，
2
∴OC=4，∴C(4,0)
（2）设直线BC的表达式为y=kx+b，
{4k+b=0)
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：
b=5
{ k=− 5 )
解得： 4
b=5
5
∴直线BC的表达式为：y=− x+5；
4
1
∵S =S −S =S −S =15− ×2×5=10，
△ACM △ABC △ABM △ABC △ABO 2
1 10
∴S = ×6×y =10，解得：y = ，
△ACM 2 M M 3
10 5
∴ =− x+5
3 4
4
解得：x = ，
M 3
(4 10)
∴M , ；
3 3
(4 10)
（3）∵A(−2,0)， M , ，
3 3
设直线AM的表达式为y=k x+b ，
1 1
将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：
{−2k
1
+b
1
=0
) ，
4 10
k +b=
3 1 3
解得：{k =1)
1
b =2
1
∴直线AM的表达式为：y=x+2．
①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，如图：∵B(0,5)，BE∥CD,BE=CD，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y=x+2．
∴x+2=5，解得：x=3，
∴E(3,5)，
∴BE=CD=3，
∵C(4,0)，
∴D(7,0)；
②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，如图：过点E作EF⊥x轴于F，
∵四边形BDEC为平行四边形，
∴BC=ED,∠DBC=∠CED,BD=EC，
∴△BDC≌△ECD(SAS)，
∴EF=OB，
∵B(0,5)，
∴EF=OB=5，
∴点E的纵坐标是−5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y=x+2．∴x+2=−5，解得：x=−7，
∴OF=7，
在Rt△BOC和Rt△EFD中，
{BC=ED)
OB=FE
∴Rt△BOC≌Rt△EFD(HL)，
∴DF=OC，
∵C(4,0)，
∴DF=OC=4，
∴OD=4+7=11，
∴D(−11,0)；
③当BC为平行四边形的对角线时，
∵B(0,5)，BE∥CD,BE=CD，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y=x+2．．
∴x+2=5，解得：x=3，
∴E(3,5)，
∴BE=CD=3，
∵C(4,0)，
∴D(1,0)．
综上，存在，满足条件的点D的坐标为(7,0)或(−11,0)或(1,0)．
◆ 学霸必刷1
1．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点P是第二象限内直线y= x+b（b为大于2的常数）上一
2
个动点，点A(−4,0)、B(0,2)，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积的变化情况为
（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定
1
2．（2025·广东珠海·二模）如图，点A是直线y= x在第一象限图象上一动点，以OA为边向左边作正方
3
a
形OABC，若B(a,b)，则 的值为（ ）
b
1 2 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点
C(1,3),B(4,4)，P是对角线OB上的一个动点，D(0,2)，当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
(1 1) (3 3)
A． , B． , C．(2,2) D．(3,3)
2 2 2 23
4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知一次函数y=− x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交
4
于点B，点C在线段AB上，且OC=2.4，直线OC与∠OBA的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的
纵坐标的和为（ ）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
5．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，点A的坐标为(0,10)，点C的纵坐标为
2，直线BD的表达式为y=x+b，交y轴于点E，若2BE=BD，则菱形ABCD的面积为（ ）
100
A．25 B．20❑√2 C． D．32
3
❑√3
6．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线MN： y= x+2交x轴负半轴于点A，交y轴于
3
点B，点C是x轴上的一点，且OC=2，则∠MBC的度数为( )
A．45°或135° B．30°或150° C．60°或120° D．75°或165°
7．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴
交于点B，点P是线段AB的中点，点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点
作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是（ ）A．1 B．2 C．2❑√2 D．3
3
8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线l：y=− x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
4
OM⊥AB于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（ ）个点Q，使得以
O、P、Q为顶点的三角形与△OMP全等．
A．2 B．4 C．5 D．6
1
9．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）已知直线l ：y=kx+b与直线l ：y=− x+m都经过
1 2 2
( 6 8)
C − , ，直线l 交y轴于点B(0,4)，交x轴于点A，直线l 交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接
5 5 1 2
6
{
y=kx+b
)
{ x=− )
5
PA、PC，有以下说法：①方程组 1 的解为 ；②△BCD为直角三角形；③S =3
y=− x+m 8 △ABD
2 y=
5
；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(0,1)．其中正确的说法个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，直线l与x轴交于点A(6,0)，与y轴交点B(0,3)，点M(a,2)
是直线l上一点，过点M的直线MN交边OA点N，若直线MN将△AOB分成面积相等的两部分，则点N
的坐标是 ．
11．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为(−5,0)，直线y=❑√3x+t与坐标轴交于点B，
C，连接AC，如果∠ACD=90°，则t= ．
1
12．（2025·江苏·一模）已知直线y=2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在直线y=− x+2上，
2
且位于第一象限．若∠CBA=∠BAO，则点C的坐标为 ．
1 5
13．（2025·江苏扬州·二模）如图，一次函数y=− x+ 的图象经过正方形OABC的顶点A和C，则正方
2 2
形OABC的面积为 ．14．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8,6)，点A，
C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，已知点D在第一象限且是直线y=2x+6上的一点，若△APD
是等腰直角三角形，则点D的坐标为 ．
15．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数y=x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点
C(−3,0)是x轴上一点，点E、F分别为直线y=x+6，y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E的
坐标为 ．
3
16．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，已知一次函数y=− x+3的图象与x轴交于点A，与y
4
轴交于点B，点C在线段AB上，且OC=2.4，直线OC与∠OBA的平分线交于D点，则点D坐标为
．17．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交点B，直线
y=−x+3与x轴交于点D，与y轴交点C，连接AC，点E在直线AC上，使得∠ABO+∠CDE=∠ACO
，则点E的坐标为 ．
18．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−7,0)，点B(−1,4)，点P是直
线y=x−2上一点，且∠ABP=45°，则点P的坐标为 ．
19．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，矩形ABCD的顶点B坐标为(5,4)，直线y=2x−3分别
交x轴、y轴于D、E点，若线段BC上有一点P，直线DE上有一点Q，△APQ是以AP为斜边的等腰直角
三角形，则点P坐标为 ．
1
20．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，直线l :y= x与直线l 交于点A(2,a)，直线l 与y轴交
1 2 2 2
于点B(0,3)，与x轴交于点C．（1）求直线l 的函数表达式；
2
4
（2）点M在直线l 上，当△OAM的面积为△BOC面积的 时，求点M坐标．
2 9
21．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线y=−x+m与x轴交于点B(4,0)，与y轴交于点
A，点C为OB上一点，点M为AB上一点，OM交AC于N，S =4．
△ABC
（1）求直线AB和直线AC的解析式；
（2）若S =1，求点M的坐标；
△ONC
（3）若S =S ，求点M的坐标．
△AMN △ONC
22．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线y=−2x+4交x轴和y轴于点A和点B，点
C(0,−2)在y轴上，连接AC．（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为3，求点P的坐标；
（3）过点B的直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE=45°时，求直线BE的表达式．
1
23．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图1，已知函数y= x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点
2
C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点
Q．
9
①若△PQB的面积为 ，求点P的坐标；
4
②连接BM，如图，若△ABM是等腰三角形，直接写出点M的坐标．
24．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，经过点A (−1,0)的直线y=2x+b交y轴于点B (0,b)，直线
CD：y=−x+5交y轴于点C，交AB于点D．（1）填空：b= ，点D的坐标为 ，△BCD的面积为 ；
（2）P是直线AB上的一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交直线CD于点R，若PR=2QR，求点P的坐
标；
（3）点F是x轴上一点，直线CD上是否存在点E，使以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若
存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1
25．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y= x+b与x轴、y轴分别
2
交于D、E两点，D的坐标为(−12,0)，横坐标为−6的点A在线段DE上，点C是x轴负半轴上一动点，以
点C为直角顶点在AC的左边作等腰直角三角形ABC，连结OA、OB．（1）求直线DE的函数表达式；
（2）设点C的坐标为(m,0)，求点B的坐标；（用含m的代数式表示）
（3）求△AOB的周长的最小值．
26．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为(0,3)、
(−3,0)、(0,−3)，把△ABC沿AC翻折，点B恰好落在x轴的点D处，AC为折痕．（1）求直线AD的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，有一个动点P(x,y)使得S =3，动点P的纵坐标y是否为横坐标x的函数？
△PAD
若是，求出y关于x的函数解析式；若否，请说明理由；
（3）连接AD、CD，点E为边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交∠BCD外角的平分线CF于点F，请
补全图形，并求证AE=EF．
4
27．（24-25八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y=− x+8分别交x轴、y轴于A
3
、B两点，点A关于点B的对称点为点C，四边形OACD是平行四边形．（1）求点C、点D的坐标．
（2）过线段OD的中点作直线l，直线l把平行四边形OACD分成面积为3:5的两部分，求直线l的解析式：
（3）在（2）的条件下，直线l与y轴交于点M（当点M在点B的下方），点Q在直线CD上，且
∠MQC=∠OAB，请直接写出点Q的坐标．
28．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，直线l：y=−2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，且
与直线m相交于点M(1,2)，已知直线m经过点C(−1,0)，且与y轴交于点D．（1）求点A、B的坐标以及直线m的解析式；
（2）若P为直线m上一动点，S =2S ，求点P的坐标；
△BDP △BDM
（3）点Q是直线AB上方第一象限内的动点，当△ABQ为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点
Q的坐标．
❑√3
29．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，直线y=− x+3图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，
3
点C、D分别是射线OA、射线BA上一动点（点C与点A不重合），且CD=DA，∠BAO=60°．（1）求点A、B坐标；
（2）点C、D在线段OA、AB上时（不与端点重合），设OC的长度为m，用含m的代数式表示△OCD
的面积，并写出m的取值范围；
（3）若E为坐标平面内的一点，当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，直接写出C的坐标．
30．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C
在y轴上，OA=3, OC=2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P
作∠CPD=∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．（1）若△APD为等腰直角三角形．
①求直线AP的函数解析式；
②在x轴上另有一点G的坐标为(2,0)，请在直线AP上找一点M，使△GEM的周长最小，并求出此时点M
的坐标和△GEM周长的最小值．
（2）如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求直线
PE的解析式．
31．（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图1，直线l ：y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线
1
l ：y=−x+b与x轴交于点C，与直线l 交于点D，AC=6．
2 1（1）求直线l 的解析式．
2
1
（2）点P为y轴正半轴上的一点，若S = S ，在x轴上存在一点E，使DE+EP最小，求点E的坐
△PBD 3 △ACD
标和最小值．
（3）如图2，将直线l 向上平移3个单位得到直线l ，在l 上存在一动点M，使∠BCM=45°，请直接写
1 3 3
出点M的坐标．
2 8
32．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l :y=− x+ 交x轴于点A，交y
1 3 3
轴于点B，点C为y轴负半轴上一点，且OA=❑√3OC，直线l 经过A，C两点．
2（1）求直线l 的解析式；
2
（2）如图1，将直线l 向上平移2❑√3个单位长度得到直线l ，与直线l 交于点Q，与x轴，y轴分别交于点
2 3 1
D，点E．点P是直线l 上位于第四象限内的一点，点M，N分别在直线l ，l 上．若点N在点M左侧，且
1 2 3
1
∠MNQ=60°，连接PM，PC，ON，当S − S =4❑√3时，求点P的坐标以及
四边形OCPA 2 △AOB
PM+MN+ON的最小值；
（3）如图2，将绕点O逆时针旋转得到，在旋转过程中，直线与x轴于交点G，与直线交于点H，在平面
内确定一点K，使得四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点K的坐标．
