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必刷小题 10 平面向量与复数
一、单项选择题
1．(2023·马鞍山模拟)已知向量a＝(3,1)，b＝(2m－1,3)，若a与b共线，则实数m等于(
)
A. B．5 C. D．1
答案 B
解析 由题意，得3×3－1×(2m－1)＝0，解得m＝5.
2．设复数z是纯虚数，若是实数，则等于( )
A．－2i B．－i C．i D．2i
答案 D
解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，
所以＝＝＝是实数，
所以2＋b＝0，即b＝－2.
所以z＝－2i，所以＝2i.
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有
向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
答案 D
解析 由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－6＋8－4,18－16－8)＝(－2，
－6)．
4．(2024·哈尔滨模拟)已知|b|＝，且a·b＝－2，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A．－a B.a C．－b D.b
答案 C
解析 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝|a|··＝·b＝－b.
5．(2023·洛阳模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为120°，若|a－b|＝，则|b|
等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 因为|a－b|＝
＝
＝＝，所以1＋|b|2＋|b|＝7，即|b|2＋|b|－6＝0，
解得|b|＝2.
6．(2023·临沂模拟)已知复数z ＝，其中i为虚数单位，且|z－z|＝1，则复数z的模的最大值
0 0
为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 z＝＝＝2i，
0
则|z－z|＝1表示复数z对应点Z的轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，
0
则|z|表示圆上的点到原点的距离，
由图可知，|z|的最大值为3.
7．(2023·淄博模拟)如图，已知在△ABO中，OA＝1，OB＝2，OA·OB＝－1，过点O作
OD⊥AB于点D，则( )
A.OD＝OA＋OB
B.OD＝OA＋OB
C.OD＝OA＋OB
D.OD＝OA＋OB
答案 A
解析 ∵OA·OB＝|OA||OB|cos∠AOB
＝2cos∠AOB＝－1，
∴cos∠AOB＝－，
又∵0°<∠AOB<180°，
∴∠AOB＝120°.
在△AOB中，根据余弦定理可得
AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 120°＝7，
解得AB＝，
根据三角形面积公式
S ＝AB·OD＝OA·OB·sin 120°，
△AOB
解得OD＝，∴AD＝＝，
∴AD＝AB，
∴OD＝OA＋AD＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OA＋OB.
8．(2023·北京模拟)已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部(不含边界)的动点，
且满足PA·PB＝0，则CP·DP的取值范围是( )
A．(0,8] B．[0,8)
C．(0,4] D．[0,4)
答案 D
解析 以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(－1,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(－1,2)，
设P(x，y)，则PA＝(－1－x，－y)，PB＝(1－x，－y)，
由PA·PB＝－(1－x2)＋y2＝0，
得x2＋y2＝1，即x2－1＝－y2，
其中－1PE·PF
D.PF－PE>PN－PM
答案 BC
解析 由题意可得|EM|＝|NF|＝1.
对于A，可得PM＝PE＋EM＝PE＋EF＝PE＋(PF－PE)＝PE＋PF，故A错误；
对于B，由EM＝NF，可得PM－PE＝PF－PN，整理得PE＋PF＝PM＋PN，故B正确；
对 于 C ， 由 题 意 可 得 0°<∠MPN<∠EPF ＝ 90° ， EP⊥PF ， 则 PM·PN ＝ |PM||PN|
cos∠MPN>0，PE·PF＝0，∴PM·PN>PE·PF，故C正确；
对于D，PF－PE＝EF，PN－PM＝MN，但向量不能比较大小，故D错误．
12．(2023·忻州模拟)若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC
＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点 M被人们称为费马点．根据以上性
质，已知a是平面内任意一个向量，向量b，c满足b⊥c，且|b|＝2|c|＝2，则|a－b|＋|a－c|
＋|a＋c|的取值可以是( )
A．9 B．4 C．3 D．6
答案 AB
解析 设a＝(x，y)，b＝(0,2)，c＝(，0)，|a－b|＋|a－c|＋|a＋c|＝＋＋，
即点M(x，y)到A(－，0)，B(，0)，C(0,2)三个点的距离之和．
△ABC是等腰锐角三角形，
由费马点的性质可知当点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°时，点M到△ABC三个顶点的距离之和最小，
因为A(－，0)，B(，0)，C(0,2)，
所以M(0,1)，|a－b|＋|a－c|＋|a＋c|的最小值是2－1＋2＋2＝2＋3.
三、填空题
13．(2023·西安检测)已知 i 是虚数单位，z＝1＋i－3i2 025，且 z 的共轭复数为，则 z·＝
________.
答案 5
解析 因为z＝1＋i－3i2 025＝1＋i－3i＝1－2i，
所以＝1＋2i，
所以z·＝(1－2i)(1＋2i)＝5.
14.如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F分别是CD和BC边上的动点，连接EF，交
AC于点G，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R且λ＋μ＝，则＝________.
答案 2
解析 依题意，令AG＝mAC＝mλAE＋mμAF，m>0，
因为点E，G，F三点共线，
则mλ＋mμ＝1，而λ＋μ＝，
因此m＝，即AG＝AC，
AG＝2GC，所以＝2.
15．(2023·开封模拟)已知复数z满足|z＋2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________.
答案 1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z＋2i|＝|a＋(b＋2)i|＝，
|z|＝|a＋bi|＝，
∵|z＋2i|＝|z|，
∴＝，
∴a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，
化简得4b＋4＝0，解得b＝－1.
∴满足条件的一个复数z＝1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)．
16．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边
形窗花隔断，图 2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在边长为 2的正八边形
ABCDEFGH中，若AE＝λAC＋μAF(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________；若P是正八边形
ABCDEFGH八条边上的动点，则AP·AB的最小值为________．答案 －2
解析 因为AF⊥AB，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y 轴，建立平面
直角坐标系，如图所示，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2＋，)，E(2,2＋2)，F(0,2＋2)，AE＝(2,2＋2)，AF＝(0,2＋2)，AC＝(2
＋，)，
因为AE＝λAC＋μAF，
则(2,2＋2)＝λ(2＋，)＋μ(0,2＋2)，
所以
解得λ＝2－，μ＝2－2，
所以λ＋μ＝.
设P(x，y)，则－≤x≤2＋，
AP＝(x，y)，AB＝(2,0)，
则AP·AB＝2x∈[－2，4＋2]，
所以当点P在线段GH上时，AP·AB取得最小值－2.
