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单元提升卷 07 平面向量与复数
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1． （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据虚数单位的性质以及复数的除法运算，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，
故选：B
2．如图，在梯形 中， ， ，设 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意 得E为 中点，
故
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1故选：C
3．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 与 平行．若 ，
，则BC边上的中线AD为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据向量平行列方程，利用平方的方法求得 .
【详解】由于向量 与 平行，
所以 ，由正弦定理得 ，
由于 所以 ，
由于 ，所以 .
，两边平方得
，
所以 .
故选：D
4．已知两个单位向量 满足 ．则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知求得 ，再由数量积求向量的夹角公式求解．
【详解】由已知可得， ，
由 ，得 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2，
，
，∴向量 与 的夹角为 .
故选：B
5．已知复数 ， 是关于 的方程 的两根，则下列说法中不正确的是
（ ）
A． B．
C． D．若 ，则
【答案】B
【分析】在复数范围内解方程得 ， ，然后根据复数的概念、运算判断各选项．
【详解】对于关于 的方程 ，则 ，
∴ ，不妨设 ， ，
，故A正确；
，故C正确；
，∴ ，当 时， ，故B错误；
当 时， ， ，所以 ，
， ，同理 ，故D正确．
故选：B．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36．设 为函数 （ ）图象上一点，点 ， 为坐标原点， ，
的值为（ ）
A．-4 B． C．4 D．1
【答案】A
【分析】由数量积的定义表示求出 ，再利用条件 ，结合点 在函数
（ ）图象上，可求出点 ，从而解决问题.
【详解】设点 ，则 ， ，
，
又 ， 则
可得 ，又 ，则 ，
解得 ，所以 .
故选：A
7．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为 ，作用
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4在行李包上的两个拉力分别为 ， ，且 ， 与 的夹角为 .给出以下结论：
① 越大越费力， 越小越省力；② 的范围为 ；
③当 时， ；④当 时， .
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解.
【详解】对于②，当 时 ，故无法抬动物体，故②错误；
对于①，根据题意，得 ，所以 ，
解得 ，因为 时， 单调递减，所以 越大越费力， 越小越省力，故①正
确；
对于③，因为 ，所以当 时， ，所以 ，故③错误；
对于④，因为 ，所以当 时， ，所以 ，故④正确.
故选：B.
8．在 中， ， ， .若 ， 分别为边 ， 上的点，且满足 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量基底法进行转化并结合数量积运算公式、二次函数相关知识求解即可.
【详解】由题意得， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
函数 开口向下，对称轴为 ，
当 时，取最大值 .
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列与平面向量相关的结论正确的是（ ）．
A．在四边形 中，若 ，则该四边形为平行四边形
B．对任意一个等边 ， 都成立
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6C．对于非零向量 ， ， 成立的充要条件是 ， 方向相同
D．对于非零向量 ， ， 成立的充要条件是 ， 方向相同
【答案】AD
【分析】根据向量相等的定义，以及向量数量积的公式，即可判断选项.
【详解】A.由向量相等可知， ，且 ，所以四边形为平行四边形，
故A正确；
B. 对任意一个等边 ，应是 都成立，故B错误；
C.因为 ，所以 ，若 ，
则 ，则 或 ，即 ， 方向相同或相反，
反过来， ， 方向相同，则 ，即 ，
所以应是充分不必要条件，故C错误；
D. 对于非零向量 ， ， 成立的充要条件是 ， 方向相同，
故D正确.
故选：AD
10．已知复数 ，复数 满足 ，则（ ）
A．
B．
C．复数 在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数 在复平面内所对应的点为 ，则
【答案】AB
【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可判断BCD，根据复数的乘法计算即可求解B.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7【详解】由已知 ，其对应点坐标为 ，C错； ，A正确；
由 知 对应的点在以 对应点为圆心，2为半径的圆上， ，
因此 ，B正确； 对应点坐标为 ，因此 ,故D错误，
故选：AB.
11．已知点O为 所在平面内一点，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A．直线 不过 边的中点
B．
C．若 ，则
D．
【答案】ABC
【分析】利用向量加法法则结合向量线性运算计算判断D；假定AO过BC的中点，利用平面向量基本定
理判断A；取点 使得 ，结合重心性质计算判断B，利用数量积及
运算律计算判断C作答.
【详解】对于D， ，因为 ， ，
所以 ，
即 ，则 ，可得 ，故D错误；
对于A，设 的中点为 ，则 .
若直线 过 的中点，则存在实数 满足 ，
由选项D知， ，而 与 不共线，
则有 且 ，无解，即 不存在， 不过 边的中点，故A正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8对于B，取点 使得 ，
则 ，即点 为 的重心，如图，
则 .
而 ，
同理可得 ，
因此 ，故B正确；
对于C，由 ，得 ，而 ，
则 ，解得 ，
所以
，故C正确.
故选：ABC.
12．如图1，甲同学发现家里的地板是正方形的形状，地板的平面简化图如图2所示，四边形 和四
边形 均为正方形，且 为 的中点，则下列各选项正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9A．
B．
C．向量 在向量 上的投影向量为
D．向量 在向量 上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】连接 ，取 的中点 ，取 的中点 ，则 为 的中点，易得 ， 分别是 ， 的
中点．利用勾股定理判断A，根据正方形的性质及向量线性运算判断B，过 作 于 ，利用等面
积法求出 ，即可求出 ，即可判断C，依题意可得 且 ，即可判断D.
【详解】如图，连接 ，取 的中点 ，取 的中点 ，则 为 的中点，易得 ， 分别是 ，
的中点．
因为 ，所以 ，即 ，故A错误．
易得 ，则 ，因为 ， ，
所以 ，故B正确．
过 作 于 ，设 ，则 ， ，
由等面积法得 ，得 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10所以 ，所以向量 在向量 上的投影向量为 ，故C正确．
易得 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，则向量 在向量 上的投影向量为 ，故D正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数 满足 ，则 .
【答案】
【分析】设 ，根据条件得到 ，求出 和 的值即可.
【详解】设 ， ，
则 ，
而 ，
由题意知， ，
则 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
14．已知 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11【答案】
【分析】根据平面数量积的几何意义，结合数乘的坐标表示，可得答案.
【详解】设 与 的夹角为 ，
在 方向上的投影向量为 .
故答案为： .
15．已知对任意平面向量 ，把B绕其起点沿逆时针方向旋转 得到向量
叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 得到点P.已知平面内点 ，
点 ，把点B绕点A沿逆时针 后得到点P，向量 为向量 在向量 上的投影向量，则
.
【答案】 /
【分析】根据题意，计算出 ，再利用投影向量的定义及模长公式即得.
【详解】因为 ， ，所以 ，
，
所以P点坐标为 ，
所以 ，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12故答案为： .
16．在直角梯形 ， ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点，
点 在以 为圆心， 为半径的圆弧 上变动（如图所示），若 ，其中 ， ，
则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由 得到 ，
，从而得到 ，由此可求得 的取值范围.
【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：
.
则 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
∵ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，故 ，即 .
故答案为:
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在① ，② 为虚数，③ 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：
.
（1）若_______，求实数 的值；
（2）若复数 的模为 ，求 的值.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】（1）从所给条件中选择其一，再根据复数的概念进行计算即可得解；
（2）根据复数的几何意义，由模长公式进行计算即可得解.
【详解】（1）选择① ，则 ，
解得 .
选择② 为虚数，则 ，
解得 .
选择③z为纯虚数，则 ， ，
解得 或 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14（2）由 可知
复数 .
依题意 ，
解得 .因此 .
18．已知向量： .
(1)求 与 的模长.
(2)求 与 的数量积.
(3)求 与 的夹角的余弦值.
(4)借助向量和单位圆求证：
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)证明见解析.
【分析】（1）利用向量模的坐标表示计算作答.
（2）利用数量积的坐标表示计算作答.
（3）利用（1）（2）的结论，结合向量夹角公式求解作答.
（4）求出角 的终边与单位圆的交点坐标，再利用向量夹角公式推理作答.
【详解】（1）向量 ，则 .
（2）向量 ，则 .
（3）由（1）（2）知， 与 的夹角的余弦值 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15（4）令角 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆分别交于点 ，
则 ，即 ，
存在 ，使得 或
于是 ，
所以 .
19．已知关于x的方程 的两个虚数根为 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 ，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意复数 互为共轭复数，由复数的运算可得 ，根据判别式得出
的范围，从而得出答案；
（2）将 平方，将韦达定理代入，结合判别式得出 的范围，可得答案.
【详解】（1）因为关于x的方程 的两个虚数根为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16，则 ，
， ，且复数 互为共轭复数，即 ，
若 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 的取值范围是 ；
（2） ，
因为 ，所以 ，所以 .
20．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，BE与AC，AF分别相交于M，N两点.
(1)若 ，求λ；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意以 为基底向量，根据平面向量基本定理运算求解；
（2）由（1）可得 ，根据几何性质可得 ，进而结合数量积的定义以
及运算律运算求解.
【详解】（1）以 为基底向量，则 ，
因为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17所以 ，
又因为 ∥ ，则存在唯一实数 ，使得 ，
即 ，
可得 ，解得 ，
所以实数 的值为 .
（2）由（1）可得
因为 ∥ ，则 ，
可得 ，
由题意可得： ，
则
，
所以 .
21．如图，向量 ， 为单位向量， ，点 在 内部， ， ，
.
(1)当 时，求 ， 的值；
(2)求 的取值范围.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以 为原点，建立平面直角坐标系，设 ，其中 ，根据 ，得到
，再由 ，得到 ，联立方程组求得 ，结合 ，列
出方程，即可求解；
（2）根据题意得到 ，其中 ，结合 ，求得
，得到 ，利用三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：以 为原点，以 所在的直线为 轴，以过点 垂直 轴的直线为 轴建立平面直角
坐标系，如图所示，
因为向量 ， 为单位向量且 ，可得 ，
设 ，其中 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，即 ，
由 ，可得 ，联立方程组 ，解得 ，
又由 ，可得 ，
可得 .
（2）解：因为 且 ，可得 ，
所以 ，其中 ，
又因为 ，可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19可得 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，可得 ，
当 时，即 ，此时 ，可得 取得最大值 ，
又由 ，
所以 的取值范围为 .
22．已知 ， 是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作 ， ，以O为原
点，分别以射线 、 为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如图（1）.我们把这个由基底 ， 确
定的坐标系 称为基底 坐标系 .当向量 ， 不垂直时，坐标系 就是平面斜坐标系，简记
为 .对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对 ，使得
，则称实数对 为点Р在斜坐标系 中的坐标.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20今有斜坐标系 （长度单位为米，如图（2）），且 ， ，设
(1)计算 的大小；
(2)质点甲在 上距O点4米的点A处，质点乙在oy上距O点1米的点B处，现在甲沿 的方向，乙沿
的方向同时以3米/小时的速度移动.
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用 ， ，表示 ；
②若 时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.
【答案】(1)
(2)① ；② 小时后，两质点相距最短，最短距离为 米.
【分析】（1）先依题意可得 ，再利用 进行求解；
（2）①根据题意可得 ；
②根据题意可得 ，则 ，
再利用二次函数的性质求最小值即可.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
即 的大小为 .
（2）①如图所示：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21依题意，过2小时后质点甲到达C点（在点 左边），且有 ，
质点乙到达D点，且有 ，故 .
② 时刻时，质点甲到达M点，质点乙到达N点，
如图所示：
， ，则 ，
所以两质点间的距离
，
因为 ，所以当 时， 取得最小值为 ，
所以 小时后，两质点相距最短，最短距离为 米.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22
