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§2.2 函数的单调性与最值
考试要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意
义.2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x，x∈I
1 2
定义 当x f ( x )，那么就
1 2 1 2 1 2 1 2
就称函数f(x)在区间I上单调递增 称函数f(x)在区间I上单调递减
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
(1)∀x∈D，都有 f ( x ) ≤ M ； (1)∀x∈D，都有 f ( x ) ≥ M ；
条件
(2)∃x∈D，使得 f ( x ) ＝ M (2)∃x∈D，使得 f ( x ) ＝ M
0 0 0 0
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
常用结论
1．∀x，x∈I且x≠x，有>0(<0)或(x－x)[f(x)－f(x)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
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2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
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(1)因为f(－3)f 的x的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，
∴2x－1≥0，即x≥，
又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，
∴2x－1<，即x<，
则x的取值范围为.
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝
答案 AC
解析 ∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；
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对于选项C，y′＝2－2sin x≥0，
∴y＝2x＋2cos x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．
命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解 方法一 设－10，x－1<0，x－1<0，
2 1 1 2
故当a>0时，f(x)－f(x)>0，即f(x)>f(x)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
1 2 1 2
当a<0时，f(x)－f(x)<0，即f(x)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为( )
A. B.
C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞)
答案 B
解析 g(x)＝x·|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示，
根据图象知，函数的单调递减区间为.
(2)函数f(x)＝ 的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案 B
解析 f(x)＝ 分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增，
u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，
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根据复合函数单调性得到函数f(x)＝ 在(－∞，－1)上单调递增．
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 (2023·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x ，x∈(－∞，0)，均有(x －
1 2 1
x
2
)[f(x
1
)－f(x
2
)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(
)
A．c3，则a的取值范围是________．
2
答案 (0,1)
解析 由f(x)＝x－log (x＋2)知，
2
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f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，
且f(－1)＝3，
由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，
∴
解得0f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b)
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D．f(c)>f(a)>f(b)
答案 A
解析 因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，
所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0.
又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，
所以f(x)在R上单调递增．
又c＝log 0.9<0,01，
2 3
即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)．
5．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0
D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
答案 BC
解析 易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；
若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，
则a≥0或a＋1≤0，
即a≤－1或a≥0，故C正确；
当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，
当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，
故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．
6．(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是( )
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
答案 BCD
解析 当a>0时，f(x)＝x－，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；
又当x→－∞时，f(x)→－∞，
当x→0－时，f(x)→＋∞，
∴f(x)的值域为R，故D正确；
当a＝－4时，f(x)＝x＋，
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由其图象(图略)可知，B，C正确．
7．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________．
答案 (－∞，－3]，[0,3]
解析 由题意得函数f(x)＝
当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]，
当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]，
综上，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0,3]．
8．已知命题p：“若f(x)0, ＋1>0.
∴f(x)－f(x)<0，即f(x)1，ax－2>0，因此解得a≥2，
所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．
12．设函数f(x)＝x2 022－＋5，则f(x)的单调递增区间为________，不等式f(x－1)<5的解集为
________．
答案 (0，＋∞) (0,1)∪(1,2)
解析 由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．
当x>0时，f(x)＝x2 022－＋5，f(x)单调递增，因此当x<0时，f(x)单调递减．又因为f(1)＝f(－
1)＝5，所以由f(x－1)<5可得－1－1，则下列说法正确的
1 2 1 2
是( )
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
答案 A
解析 不妨令x－1⇔f(x)－f(x)<－(x－x)⇔f(x)＋xb>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
答案 D
解析 ∵a＝ln 3>ln e＝1，b＝lg 5b，a>c，
∵lg 5＝＝，log 6＝＝，
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∴构造函数f(x)＝＝1－(x>0)，
显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵0c>b.
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