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必刷小题 16 圆锥曲线
一、单项选择题
1．(2023·淄博模拟)双曲线－x2＝1的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2，
所以离心率为＝＝.
2．(2022·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以C的上、下顶点和一个焦点
为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
答案 D
解析 根据题意，由椭圆的离心率为可得＝，
又×2b×c＝48，即bc＝48，且a2＝b2＋c2，
故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20.
3．(2022·长春模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，
到x轴的距离为5，则p等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，因为点M到C的焦点的距离为7，到x
轴的距离为5，所以＝2，所以p＝4.
4．(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，
也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短
半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为
12π，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 由题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
因为椭圆C的离心率为，面积为12π，
所以
解得a2＝16，b2＝9，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
5．(2022·滁州模拟)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点P在椭圆上且在x轴的
1 2
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下方，若线段PF 的中点在以原点O为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的倾斜角为(
2 2 2
)
A. B. C. D.
答案 C
解析 在椭圆＋＝1中，a＝2，b＝，c＝＝1，
设线段 PF 的中点为 M，连接 PF ，MF ，如图所示，则 FF 为圆 O 的一条直径，则
2 1 1 1 2
FM⊥PF，
1 2
因为M为PF 的中点，则|PF|＝|FF|＝2c＝2，则|PF|＝2a－|PF|＝2，
2 1 1 2 2 1
所以△PFF 为等边三角形，由图可知，直线PF 的倾斜角为.
1 2 2
6．(2023·石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂
足记为点N，点M(3,4)，则|PM|＋|PN|的最小值是( )
A．2－1 B.－1 C.＋1 D．2＋1
答案 A
解析 由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，
当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，则最小值为|MF|－1＝－1＝2－1.
7．(2022·德州联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，曲线C上
1 2
一点P到x轴的距离为c，且∠PFF＝120°，则双曲线C的离心率为( )
2 1
A.＋1 B.
C.＋1 D.
答案 B
解析 作PM⊥x轴于点M，如图，
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依题意|PM|＝c，∠PFF＝120°，
2 1
则∠PFM＝60°，
2
由题意知F(c,0)，
2
由sin∠PFM＝＝，得|PF|＝2c，
2 2
由双曲线的定义知|PF|＝2a＋2c，而|FF|＝2c，
1 1 2
在△PFF 中，由余弦定理得
1 2
|PF|2＝|PF|2＋|FF|2－2|PF|·|FF|cos∠PFF，
1 2 1 2 2 1 2 2 1
解得2a＋2c＝2c，即a＝(－1)c，
又离心率e＝，于是有e＝，
所以双曲线C的离心率为.
8．(2022·连云港模拟)直线l：y＝－x＋1与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，圆M过两点
A，B且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是( )
A．4 B．10
C．4或10 D．4或12
答案 D
解析 可设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由消去x，可得y2＋4y－4＝0，
则y＋y＝－4，即y＋y＝－x＋1－x＋1＝－4，
1 2 1 2 1 2
则x＋x＝6，可得AB的中点坐标为P(3，－2)，
1 2
易知，直线l过抛物线焦点(1,0)，
则|AB|＝x＋1＋x＋1＝8，
1 2
且AB的垂直平分线方程为 y－(－2)＝1×(x－3)，
即y＝x－5，
则可设圆M的圆心为M(a，b)，半径为r，
所以b＝a－5，
则圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
即(x－a)2＋(y－a＋5)2＝r2，
又圆心M(a，b)到直线l: y＝－x＋1的距离d＝＝，且满足2＋d2＝r2，
则16＋2(a－3)2＝r2，①
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又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以|a＋1|＝r，
即(a＋1)2＝r2，②
①②联立解得或
二、多项选择题
9．(2023·济南模拟)已知双曲线C：－＝1(m>0)，则下列说法正确的是( )
A．双曲线C的实轴长为2
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
C．若(2,0)是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
答案 CD
解析 由双曲线C：－＝1，
得a＝，b＝，c＝，
则双曲线C的实轴长为2，故A错误；
双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
取右焦点(，0)和渐近线x＋y＝0，
则右焦点(，0)到渐近线x＋y＝0的距离为＝，故B错误；
因为(2,0)是双曲线C的一个焦点，
所以c＝＝2，则m＝2，故C正确；
因为渐近线y＝x和y＝－x垂直，
所以·＝－1，解得m＝2，故D正确．
10．(2022·潍坊模拟)已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x ，y)，N(x ，y)是抛物线上两点，
1 1 2 2
则下列结论正确的是( )
A．点F的坐标为
B．若直线MN过点F，则xx＝－
1 2
C．若MF＝λNF，则|MN|的最小值为
D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为
答案 BCD
解析 易知点F的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，
xx＝－p2＝－，选项B正确；
1 2
若MF＝λNF，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确；
抛物线x2＝y的焦点为，
准线方程为y＝－，
过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，
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所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.
所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝，
所以线段|PP′|＝＝，
所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－＝－＝，选项D正确．
11．(2023·湖北四地联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，长轴长为
1 2
4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则( )
A．椭圆C的离心率的取值范围是
B．当椭圆C的离心率为时，|QF|的取值范围是[2－，2＋]
1
C．存在点Q使得QF1·QF2＝0
D.＋的最小值为1
答案 BCD
解析 由题意得a＝2，
又点P(，1)在椭圆C外，
则＋>1，解得b<，
所以椭圆C的离心率e＝＝>，
即椭圆C的离心率的取值范围是，故A不正确；
当e＝时，c＝，b＝＝1，
所以|QF|的取值范围是[a－c，a＋c]，
1
即[2－，2＋]，故B正确；
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F(－c,0)，F(c,0)，
1 2
由于AF1·AF2＝b2－c2＝2b2－a2<0，
所以存在点Q使得QF1·QF2＝0，故C正确；
(|QF|＋|QF|)＝2＋＋≥2＋2＝4，
1 2
当且仅当|QF|＝|QF|＝2时，等号成立，
1 2
又|QF|＋|QF|＝4，
1 2
所以＋≥1，故D正确．
12．(2022·济宁模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，左、右
1 2
顶点分别为A，A，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则( )
1 2
A．||PA|－|PA||＝2a
1 2
B．若焦点F 关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为
2
C．若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA 的斜率与直线PA 的斜率之积为1
1 2
D．若双曲线C为等轴双曲线，且∠APA＝3∠PAA，则∠PAA＝
1 2 1 2 1 2
答案 BCD
解析 对于A，在△PAA 中，根据三角形两边之差小于第三边，
1 2
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得||PA|－|PA||<|AA|＝2a，故A错误；
1 2 1 1
对于B，焦点F(c,0)，渐近线不妨取y＝x，即bx－ay＝0，
2
设F 关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，
2
则
解得
即F 关于双曲线C的渐近线的对称点为，
2
由题意知该点在双曲线上，
故－＝1，
将c2＝a2＋b2 代入，
化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，
所以e2＝＝＝1＋＝5，
故e＝，故B正确；
对于C，双曲线C为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，
设P(x，y)(y≠0)，
0 0 0
则x－y＝a2，则x－a2＝y，
故 · ＝·＝＝1，故C正确；
对于D，双曲线C为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，
且∠APA＝3∠PAA，
1 2 1 2
设∠PAA＝θ，∠APA＝3θ，
1 2 1 2
则∠PAx＝4θ，
2
根据C的结论 · ＝1，
即有tan θ·tan 4θ＝1，
在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，
故θ＋4θ＝，θ＝，故D正确．
三、填空题
13．(2022·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程________________．
①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为.
答案 ＋＝1(答案不唯一)
解析 只要椭圆方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可．
14．(2023·衡水中学模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐
角为________．
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答案
解析 ∵＝2，∴＝4，故＝4，
∴＝，
∴两条渐近线方程为y＝±x，
∴两条渐近线所成的锐角为.
15．(2023·海东模拟)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．
事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点
A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程＋＝4的解是________．
答案 x＝±
解析 因为＋＝4，所以＋＝4，可转化为点(x,2)到点(－2,0)和点(2,0)的距离之和为4，所以
点(x,2)在椭圆＋＝1上，则＋＝1，解得x＝±.
16．(2022·临沂模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，Q(2,3)为C内的一点，M为C
上的任意一点，且|MQ|＋|MF|的最小值为4，则p＝________；若直线l过点Q，与抛物线C
交于A，B两点，且Q为线段AB的中点，则△AOB的面积为________．
答案 2 2
解析 如图，过点M作MM 垂直准线于点M ，由抛物线定义可知|MF|＝|MM|.所以|MQ|＋|
1 1 1
MF|＝|MQ|＋|MM|.
1
过点Q作QQ 垂直准线于点Q，交抛物线于点P，
1 1
所以|MQ|＋|MM|≥|PQ|＋|PQ|，
1 1
所以当M在P处时，|MQ|＋|MM|＝|PQ|＋|PQ|＝|QQ |最小，
1 1 1
此时|QQ |＝3＋＝4，解得p＝2.
1
所以抛物线标准方程为x2＝4y.
设A(x，y)，B(x，y)，则有
1 1 2 2
两式相减得x－x＝4y－4y，
1 2
即(x＋x)(x－x)＝4(y－y)．
1 2 1 2 1 2
因为Q(2,3)为线段AB的中点，所以x ＋x ＝4，所以直线AB的斜率为k＝＝＝1，所以直线
1 2
AB的方程为y－3＝1×(x－2)，即y＝x＋1.
由A(x，y)，B(x，y)符合消去y得x2－4x－4＝0，
1 1 2 2
所以x＋x＝4，xx＝－4.
1 2 1 2
所以弦长|AB|＝·|x－x|＝·＝·＝8.
1 2
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而O到直线AB的距离为d＝＝，
所以S ＝|AB|·d＝×8×＝2.
△AOB
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