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专题18.35 平行四边形题型分类专题（最值问题）（分层练习）
一、单选题
1．如图，菱形 中， 是 的中点， 是对角线 上的一个动点，若
的最小值是 ，则 长为（ ）
A．2 B．1 C． D．3
2．如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是 边的中点， 是
边上一动点，将 沿 所在直线翻折得到 ，连接 ，则 长度的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．在矩形 中， ， ，动点P点A的距离 ，连接 ，M为 的中点，连接
，则 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
4．如图所示，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点E在正方形 内，在对角线
上有一点P，使 的和最小，则这个最小值为（ ）A． B． C．3 D．
5．如图，四边形 中， 于点D， ， ， ，点E是 的中点，连接
，则 的最大值是（ ）
A．5 B． C．6 D．
6．如图，在 中， ， ， ， 是 的中点，直线 经过点 ，
， ，垂足分别为 ， ，则 的最大值为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．6
7．如图，菱形 的对边 、 上分别有两个动点M和N，若 的最大值为 ，最小值为
4，则菱形 的面积为（ ）A．18 B．28 C． D．
8．如图，点P，Q分别是菱形 的边 ， 上的两个动点，若线段 长的最大值为 ，菱
形 的边长为10，则线段 长的最小值为（ ）
A． B．8 C．6 D．
9．如图， ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF
▱
＝ BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（ ）
A．等于定值5﹣ B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
10．如图，在菱形 中， ， ，点 、 分别在边 、 上，且 ，则
的最小值是（ ）A．2 B．3 C． D．
11．如图，在正方形ABCD中， ，E是AD上的一点，且 ，F，G是AB，CD上的动点，
且 ， ，连接EF，FG，BG，当 的值最小时，CG的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，菱形 的边， ， , 是 上一点， ， 是 边上一动点，将
梯形 沿直线 折叠， 的对应点 ．当 的长度最小时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BC＝3 ，CD＝3，点P为线段BC上的动点，点E、点F
分别为线段AD、AP的中点，则EF长度的最大值为 ．14．如图，在正方形 中，点E在对角线 上， 于点F， 于点G，连接 ，
若 ，则 的最小值为 ．
15．如图，在菱形 中，对角线 ， 的长分别为 ， ，将 沿射线 的方向平移得
到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q
在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ−OQ的最大值为 ．
17．如图，正方形 的边长为 ，点G是边 的中点，点E是边 上一动点，连接 ，将
沿 翻折得到 ，连接 ，当 最小时， 的长是 ．18．如图，菱形 的边 ，高 ，F是边 上一动点，将四边形 沿直线 折叠，
A点的对应点为P，当 的长度最小时， 的长为 ．
19．如图，矩形 中， ， ，且有一点P从B点沿着 往D点移动，若过P点作
的垂线交 于E点，过P点作 的垂线交 于F点，则 的长度最小为 ．
20．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射
线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，则运动时间t为 秒时，P、C两点间的距离最小．
21．如图，点 是 的 边上的中点，连接 ，点 为 中点，若 ， ，
，则 的长为 ．22．如图，在正方形 中， ， 是 上的一点，且 ， 是 上的动点，
且 ， ，连接 ，当 的值最小时， 的长为 ．
23．如图，四边形 中， ， ， ．若 ，则 的最大值
是 ．
24．如图，在菱形 中， ， 折叠该菱形，使点 落在边 上的点 处，折痕分
别与边 、 交于点 、 当点 与点 重合时， 的长为 ；当点 的位置变化时， 长
的最大值为 ．
三、解答题
25．如图所示，正方形ABCD的边长为4，点P为对角线BD上一动点，点E在射线BC上．
（1）填空： 的度数为______；（2）若点E为BC的中点，连接PE、PC，求 的最小值；
（3）若点E是直线AP与射线BC的交点，当 为等腰三角形时，求 的度数．
26．在菱形ABCD中， ， ，E，F分别是BC，CD边上的两个动点，且 ．
（1）证明： ；
（2）点E，F在移动过程中， 的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说
明理由．
27．如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F
分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察
△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定
相等．
（1）小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明
理由；
（2）请思考并解决小明提出的两个问题：问题1：B、G两点间距离的最大值为 ；
问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？
28．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且
AE+CF=4，连接BE、EF、FB．
（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
（2）求EF的最大值与最小值．
29．已知正方形 与正方形 ， 是 的中点，连接 ， ．
（1）如图 ，点 在 上，点 在 的延长线上，请判断 ， 的数量关系与位置关系，并
直接写出结论；
（2）如图 ，点 在 的延长线上，点 在 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）将图 中的正方形 绕点 旋转，若 ， ，直接求出 面积的最大值
______ 和最小值______ ．30．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°点M、N分别是边BC、边CD上
的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN．MN交AC于点P．
（1）△AMN是什么特殊的三角形？说明理由．并求其面积最小值；
（2）求点P到直线CD距离的最大值；
（3）如图2，已知MB=NC=1，点E、F分别是边AM、边AN上的动点，连接EF、PF，EF+PF是否存在
最小值？若存在，求出最小值及此时AE、AF的长；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，
连接 ，由菱形的性质得到 ， 垂直平分 ，则 ，故当 三点
共线时， 最小，即此时 最小，则 ；证明 是等边三角形，得到 ，
，求出 ，则 ．解：如图所示，连接 ，
由菱形的性质可得 ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 最小，即此时 最小，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选；A．
2．C
【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形先求出 长，
然后求出 的长度，再根据折线 与线段 重合时，线段 的长度最短解题．
解：如图，连接 ；过点M作 ，交 的延长线于点E；
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵点M为 的中点， ，
∴ ， ，
∴，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
由翻折变换的性质得： ，
当折线 与线段 重合时，线段 的长度最短，
此时 ，
故选C．
3．B
【分析】连接 ，取 的中点O，分别连接 ， ， ，只有 时，
取最大值，此时B，O，M三点在同一条直线上，利用三角形中位线和矩形的性质求出 和 即可．
解：如图1，连接 ，取 的中点O，分别连接 ， ， ，只有
时， 取最大值，此时B，O，M三点在同一条直线上（如图2），
， ，
，
∵M为 的中点，
是 的中位线，
，
是矩形，点O是 的中点，
，的最大值为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形三边的关系，矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，正确作出辅助线并
熟练运用矩形的性质求线段的长是解题的关键
4．A
【分析】设 与 交于点 ，连接 ，根据点B与D关于 对称得 ，可得
，即P在 与 的交点上时 最小，即 的长度，根据正方形
的面积为 得 ，根据等边三角形的性质即可得．
解：如图所示，设 与 交于点 ，连接 ，
∵点B与D关于 对称，
∴ ，
∴ ，
即P在 与 的交点上时 最小，即 的长度，
∵正方形 的面积为 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称—最短路径问题，正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解
题意，掌握这些知识点．
5．C
【分析】连接 ，取 的中点F，连接 ，由三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的
性质、三角形三边关系即可求得 的最大值．
解：连接 ，取 的中点F，连接 ，如图，∵点E是 的中点，
∴ ；
在 中，由勾股定理得 ，
∵F为 中点， ，
∴ ；
∵ ，
∴当F在线段 上时， 取得最大值6．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形中位线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，三角形三边关系，
掌握这些知识是解题的关键．
6．B
【分析】要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
在 中，
， ，
， ，
在 中， ，
，
，点 为 中点，
，
在 与 中，
，
，
，
延长 ，过点 作 于点 ，得矩形 ，
，
，
在 中， ，
当直线 时，最大值为 ，
综上所述， 的最大值为 ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理、矩形的判定和性质及平移的性质，构建
全等三角形是解答此题的关键．
7．D
【分析】过点B作 ，交 的延长线于点 ，根据 的最值分别得到 ， ，
利用勾股定理求出 ，设 ，在 中，利用勾股定理列出方程，求出 ，再利用面积公
式计算．解：如图，过点B作 ，交 的延长线于点 ，
当M运动到点D，N运动到点B时， 最大，
∴ ，
当 时， 最小，
∴ ，
∴ ，
在菱形 中， ，设 ，
则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，即 ，
∴菱形 的面积为 ，
故选D．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
8．B
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，
PQ有最大值，即AC= ，利用勾股定理求出AH，再由当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线
AB的距离为8，即CH的长．
解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC= ，
∵菱形 的边长为10，即AB=BC=10，
设BH=x，则AH=10+x，
则 ，
即 ，
解得：x=6，
∴AH=16，
∴CH= =8，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH=8，
故选B．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
9．D
【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，得出OB＝EF＝OD，BE＝OF，OE＝DF，由
勾股定理求出AC＝ ＝4，OB＝ ＝ ，当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为
OB的中点，由直角三角形的性质得出AE＝ OB，同理：CF＝ OD，即可得出结果
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵EF＝ BD，∴OB＝EF＝OD，
∴BE＝OF，OE＝DF，
∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，
∴AC＝ ＝4，
∴OA＝2，
∴OB＝ ＝ ，
当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，
∴AE＝ OB，
同理：CF＝ OD，
∴AE+CF＝OB＝ ，
即AE+CF的最小值为 ；
故选D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形
的性质和勾股定理是解题的关键．
10．D
【分析】连接 ，很容易能得到 和 全等，根据全等的性质，能推出 为等边三角形，
从而将 的最小值问题转化为 的最小值；而 的最小值，又可以联想到点 到 的距离：垂线段
最短，从而将问题解决了．
解：过点 作 ，连接 ，，
四边形 是菱形，
， ，
和 都是等边三角形，
， ，
在 中， ，
，
在 中，根据勾股定理，得： ，
，
，
垂线段最短，
，
．
在 和 中，
≌ ．
， ，
即： ，
， ，
为等边三角形，
，，
即： 有最小值 ．
故选： ．
【点拨】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，垂
线段最短等知识．正确作出所需要的辅助线是解题的关键，也是本题的难点．
11．A
【分析】先推出AE=FT，可得GF=BE= ，推出EF+BG的值最小时，EF+FG+BG的值最小，设
CG=BT=x，则EF+BG= ，欲求 的最小值，相当于在x轴上 寻
找一点P（x，0），使得点P到M（0，3），N（2，1）的距离和最小．
解：如图，过点G作GT⊥AB于T，设BE交FG于R．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，
∵GT⊥AB，
∴∠GTB=90°，
∴四边形BCGT是矩形，
∴BC=GT，
∴AB=GT，
∵GF⊥BE，
∴∠BRF=90°，
∵∠ABE+∠BFR=90°，∠TGF+∠BFR=90°，
∴∠ABE=∠TGF，
在 BAE和 GTF中，
△ △，
∴△BAE≌△GTF（ASA），
∴AE=FT=1，
∵AB=3，AE=1，
∴BE= = = ，
∴GF=BE= ，
在Rt FGT中，
△
FG= 是定值，
∴EF+FG的值最小时，EF+FG+BG的值最小，
设CG=BT=x，
则EF+BG= = ，
欲求 的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），使得点P到M（0，
3），N（2，1）的距离和最小．
如图，作点M关于x轴的对称点M′（0，-3），连接NM′交x轴于P，连接PM，此时PM+PN的值最
小．
∵N（2，1），M′（0，-3），
∴直线M′N的解析式为y=2x-3，
∴P（ ，0），∴x= 时， 的值最小．
故选：A．
【点拨】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，
解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
12．B
【分析】作 于 ，如图，根据菱形的性质可判断 为等边三角形，则
， ，再利用 勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点 在以点 为
圆心， 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点 在 上时， 的值最小，然后证明
即可．
解：作 于 ，如图，
菱形 的边 ， ，
为等边三角形，
， ，
，
，
在 中， ，
梯形 沿直线 折叠， 的对应点 ，
点 在以点 为圆心， 为半径的弧上，
当点 在 上时， 的值最小，
，
而 ，
，
，
.故选B．
【点拨】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对
角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC
上时CA′的长度最小．
13．3
【分析】连接DP，勾股定理求出BD，利用点E、点F分别为线段AD、AP的中点，得到 ，
当DP最大时，EF长度最大，此时DP=BD=6，由此求出EF．
解：连接DP，
∵∠C＝90°，BC＝3 ，CD＝3，
∴ ，
∵点E、点F分别为线段AD、AP的中点，
∴ ，
当DP最大时，EF长度最大，即当点P与点B重合时，DP有最大值，此时DP=BD=6，
∴EF=3，
故答案为：3．
．
【点拨】此题考查了三角形中位线的性质定理，勾股定理，正确掌握勾股定理即中位线的性质定理是
解题的关键．14．
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短，勾股定理，连
接 ，根据 ， 结合正方形的性质得到 ，根据垂线段最短，可知当
时， 最小，得出 是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解．
解：连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ．
又 于点F， ，
∴四边形 是矩形．
∴ ．
当 最小时， 就最小．
根据垂线段最短，可知当 时， 最小．
当 时，在正方形 中， 是等腰直角三角形，
在 中，根据勾股定理可得 ，
解得 ．
故答案为： ．
15．
【分析】连接 与 交于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，由平移性质知，
，则 ， ，当点 、 、 三点共线时， 的值最小，
勾股定理即可求解．
解：连接 与 交于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，四边形 是菱形，
， ， ，
，
由平移性质知， ，
， ，
，
，
当点 、 、 三点共线时， 的值最小，
的最小值为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是
解题的关键．
16．
【分析】如图，连接PO并延长交BC于点E．当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值．过点E作
EF⊥AD于点F，利用勾股定理，可得结论．
解：连接PO并延长交BC于点E．如图，
当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值，最大值为PE-OE=PO．
在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，AP=2，∴AP∥CE，AO=OC，
∴∠PAO=∠ECO，∠AOP=∠COE，
∴ PAO≌ ECO，
△ △
∴EC= AP=2，PO=OE= PE，
过点E作EF⊥AD于点F，
在矩形ABCD中，∠BCD=∠CDA=90°，
∴四边形EFDC为矩形，
∴DF=CE=2，EF=CD=AB=4，
∴PF=AD-AP-FD=2，
∴PE= 2 ，
∴PO=OE= PE= ，
∴PQ−OQ的最大值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，推出当点Q与点E重
合时，PQ−OQ取得最大值，最大值为PO的长是解题的关键．
17． /
【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理．由翻折知 ，得点 在以
为圆心， 为半径的圆上运动，可知当点 、 、 三点共线时， 最小，再利用勾股定理可得 的
长，继而解题．
解：∵正方形 的边长为 ，
∴ ， ，
∵点G是边 的中点，
∴ ，
∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，∴当点 、 、 三点共线时， 最小，
由勾股定理得， ,
∴ ，
故答案为： ．
18．4
【分析】根据题意画出对应图形，由 可推出 ，确定当 三点共线时， 的
长度最小；画出 三点共线时的图形，即可求解．
解：如图1：
由题意得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
即： ，
故当 三点共线时， 的长度最小，且最小值为 ，
如图2：则有 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，综合性较强．
根据题意画出对应图形，推出当 三点共线时， 的长度最小是解题关键．
19．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌
握并灵活运用．连接 ，依据 ，可得四边形 为矩形，借助矩形
的对角线相等，将求 的最小值转化成 的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求 斜边
上的高，利用面积法即可得解．
解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ．
∴四边形 为矩形．
∴ ．∴要求 的最小值就是要求 的最小值．
∵点P从B点沿着 往D点移动，
∴当 时， 取最小值．
下面求此时 的值，
在 中，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ 的长度最小为： ，
故答案为： ．
20． -1
【分析】根据点E、F的运动速度判断出DE=CF，然后利用“边角边”证明 ADE和 DCF全等，根据
全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠CDF，然后求出∠APD=90°，取AD的中点O△，连接O△P，根据直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O
三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．
解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在 ADE和 DCF中，
△ △
，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠DAE=90°，
∴∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，则OP= AD= ×2=1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt COD中，根据勾股定理得，CO= ，
△
所以，CP=CO-OP= -1，∵OP=OD=1，∴∠ODF=∠OPD, ∵AD∥BC, ∴∠ODF=∠PFC, ∵∠OPD=∠FPC,
∴∠FPC=PFC, ∴FC=PC= -1，运动时间t为 -1．
故答案为： -1．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键，也是本题的难点．
21．
【分析】过点 作 交 于点 ，首先根据梯形的中位线得出 的值，再证明 为
直角三角形、 和 为等腰三角形，进而解得 ，易得 ，根据勾股定理
即可求得答案．
解：过点 作 交 于点 ，如下图，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ，∵ 为 中点，且 ，
∴ 为 中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的 边上的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、
等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识点并灵活运用．
22．
【分析】本题考查了轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求一次函数
解析式，正方形的性质，过点 作 于 ，证明 ，推出 ，设，则 ，可得 ，欲求
的最小值，相当于在 轴上寻找一点 ，使得点 到 ， 的距离
和最小，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，连接 ，此时 的值最小，
求出直线 的解析式即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．
解：过点 作 于 ，则四边形 是矩形，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
欲求 的最小值，相当于在 轴上寻找一点 ，使得点 到 ，
的距离和最小，
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，连接 ，此时 的值最小，
设直线 的解析式为 ，
∵ ， ，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ 时， 的值最小，
∵ 定值，
∴当 时， 的值最小．
故答案为： ．
23．
【分析】连接 ，以 为边作等边 ，取 的中点 ，连接 ， ， ；根据等边三角
形的判定和性质可得 ， ，推得 ，根据直角三角形中斜边上中线
的性质可得 ，根据勾股定理求得 ，根据全等三角形的判定和性质可得 ，根据三
角形的三边关系可得 ，推得当 ， ， 三点共线时， 有最大值，即可求解．
解：连接 ，以 为边作等边 ，取 的中点 ，连接 ， ， ；如图：则 ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 ， ， 三点共线时， 有最大值，为 ，
故 最大值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形中斜边上中线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
24．
【分析】如图 中，求出等边 的高 即可．如图 中，连接 交 于点 ，过点 作
于点 ，交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，取 的中点 ，连接 证
明 ，求出 的最小值，可得结论．
解：如图 中，
四边形 是菱形，
， ，
， 都是等边三角形，
当点 与 重合时， 是等边 的高，
∴
∴
．
如图 中，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 交
的延长线于点 ，取 的中点 ，连接 ．
， ，，
，
四边形 是矩形，
∵
∴
∴
，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
的最小值为 ，
的最大值为 ．
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
25．（1）45°；（2） ；（3）30°或120°
【分析】（1）根据正方形的对角线平分一组对角，且四个角为直角，确定出所求角度数即可；
（2）连接AP，AE，可得△ADP≌△CDP，从而得到AP=PC，进而得到PE+PC的最小值为AE的长，利
用勾股定理求出最小值，即可求解；
（3）分两种情况考虑：当PC=CE时，此时点E在BC的延长线上；当PE=CE时，此时点E在BC上，
分别求出∠PEC的度数即可．（1）解：在正方形ABCD中，∠BCD=90°，BC=DC，
∴∠PBC=45°；
故答案为：45°
（2）解：如图，连接AP，AE，
在正方形ABCD中，AB=AD=CD=BC=4，∠ABC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
∵PD=PD，
∴△ADP≌△CDP，
∴AP=PC，
∴PE+PC=PE+AP≥AE，即PE+PC的最小值为AE的长，
∵点E为BC的中点，
∴BE=2，
∴ ，
∴PE+PC的最小值为 ；
（3）如图，当PC=CE时，此时点E在BC的延长线上，
∴∠CPE=∠CEP，
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP．
在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，∠PBA=∠PBC=45°，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP，
∵∠BAP+∠PEC=90°，
∴2∠PEC+∠PEC=90°，
∴∠PEC=30°；
当PE=CE时，此时点E在BC上，
∴∠CPE=∠PCE，
∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBA=∠PBC=45°，AB=BC，
∵BP=BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP=∠BCP，
∵∠BAP+∠AEB=90°，
∴2∠BCP+∠BCP=90°，
∴∠BCP=30°，
∴∠AEB=60°，
∴∠PEC=180°-∠AEB=120°，
综上所述：当△PCE为等腰三角形时，∠PEC的度数为30°或120°．
【点拨】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的
判定与性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．26．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据菱形的性质证明△ABE≌△ACF，从而得到结论；
（2）证出 为等边三角形，要使周长最小，只需让AE取得最小值即可，当AE⊥BC时，AE最小，
通过sin60°求得AE，再求得周长即可．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵ ，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=ACD=60°，
∴∠B=∠ACD，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE=AF；
（2）∵△ABE≌△ACF，
∴∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，
即∠BAC=∠EAF=60°，
△EAF为等边三角形，
∴AE=AF=EF，
若△EAF周长最小，
只需AE，AF，EF的长最小，
在△ABC中，AE⊥BC时，AE最小，
在Rt△ABE中，
，,
∴ 的周长存在最小值,最小值为 ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线垂线段最短等知识点，熟知点
到直线垂线段最短是解题的关键．
27．（1）①②都正确，证明见分析；（2）问题1：1.5；问题2：
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，∠EGF＝90°，即得∠GEB＋∠GFB＝180°，故①正确；过G
作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，证明 GER≌△GFT（AAS），可得GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一
定相等，故②正确； △
（2）问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，由（1）可知GR＝GT，可证四边形
RBTG是正方形，有∠GBF＝45°，即得BG＝ GT，进而可得当点T、F重合，R、E重合时，GT最大，
此时BG最大，然后根据正方形的性质得出BG最大值；
问题2：延长NG交AB于P，由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，设PG＝GM＝a，
则GN＝2−a，根据勾股定理得GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，求出MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，进
而可得MN的最小值为 ．
（1）解：①②都正确，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，
∴∠GEB＋∠GFB＝180°，即∠GEB与∠GFB一定互补，故①正确；
过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图：
∵GE＝GF，且∠EGF＝90°，∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEF＋∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°−∠EFB，
∵∠GER＝180°−∠BEF−∠GEF＝180°−45°−（90°−∠EFB）＝45°＋∠EFB，
∠GFT＝∠EFB＋∠GFE＝∠EFB＋45°，
∴∠GER＝∠GFT，
在 GER和 GFT中， ，
△ △
∴△GER≌△GFT（AAS），
∴GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一定相等，故②正确；
（2）问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图：
由（1）可知，GR＝GT，
又∵∠GRB＝∠RBT＝∠BTG＝90°
∴四边形RBTG是正方形，
∴∠GBF＝45°，
∴BG＝ GT，
∴当GT最大时，BG最大，
在Rt GFT中，GF≥GT，
∴当点△T、F重合，R、E重合时，GT最大，此时BG最大，如图：∵四边形RBTG是正方形，
∴BG＝RT＝EF＝1.5，
∴BG最大值为1.5，
故答案为：1.5；
问题2：如图，延长NG交AB于P，
∵AB CD，GN⊥CD，
∴GP⊥AB，
由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，
设PG＝GM＝a，则GN＝2−a，
根据勾股定理可知，GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，
∴MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，
∵2（a−1）2≥0，
∴MN2有最小值2，
∴MN的最小值为 ．
【点拨】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形判定与性质，
勾股定理及完全平方式的应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．（1）见分析；（2）EF的最大值为4，最小值为 ．
试题分析：（1）AE+CF=4，DF+CF=4，则DF=AE,根据题目已知条件可通过角边角证明 ,
从而证明BE=BF（2）可先证明 BEF为等边三角形．那么BE=BF=EF,点E在AD上运动，当BE AD时，BE
最短，当E与A或D重合时最长∆．
解：（1）BE=BF，证明如下：
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，
∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，
∵AE+CF=4，
∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，
在△BDE和△BCF中，
DE=DF,∠BDE=∠C,BD=BC,
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴BE=BF；
（2）∵△BDE≌△BCF，
∴∠EBD=∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
又∵BE=BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF=BE=BF，
当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，
当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为 ，
∵EF=BE，
∴EF的最大值为4，最小值为 ．
29．（1） ， ，理由见分析；（2）（1）中结论仍然成立，证明见分析；（3）
324，64
【分析】（1）延长 交 于 ，由 ， 是 中点，可证 ，由
， ，可得 ，即 ，故 是等腰直角三角形，即知
， ；
延长 ， 交于 ，证明 ，得 ， ，可得 ，
是等腰直角三角形，从而 ， ；
判断出 是等腰直角三角形，求出 的取值范围，可得结论．
（1）解： ， ，理由如下：
延长 交 于 ，如图所示：∵四边形 是正方形，
∴ ，
， ，
是 中点，
，
，
， ，
，
，即 ，
，
是等腰直角三角形，
而 ，
， ；
（2）解：（1）中结论仍然 成立，证明如下：
如图 中，延长 交 的延长线于 ．
四边形 是正方形，四边形 是正方形，
， ，
，
，
， ，，
， ，
，
，
， ．
（3）解：由（1）（2）可知 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴
∵ ， ， ，
∴ ，
，
的面积的最大值 ， 的面积的最小值为 ．
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查四边形的综合应用，涉及正方形性质及应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角
三角形的性质及应用等，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题．
30．（1）△AMN为等边三角形， ；（2） ；（3）存在，
【分析】（1）△AMN是等边三角形，AM⊥BC时面积最小．只要证明△AMB≌△ANC，推出AM=AN，
∠BAM=∠CAN即可解决问题．
（2）如图2中，当AM⊥BC时，点P到CD距离最大．作PE⊥CD于E．
（3）如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，
EF+PF最短，连接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．首先求出AM、AG的长，再证明△AGP≌△KEA，推出
KE=AG即可．
解：（1）△AMN为等边三角形；
如图1中，∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形
在△AMB和△ANC中，
AB=AC
∠B=∠ACN=60°
BM=NC
∴△AMB≌△ANC
∴AM=AN，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN为等边三角形，
当AM⊥BC时，△AMN的边长最小，面积最小，
此时AM=MN=AN=
（2）如图2中，
当AM⊥BC时，点P到CD距离最大．作PE⊥CD于E．
理由：由（1）可知△AMN是等边三角形，
当AM⊥BC时，△AMN的边长最小，此时PA长最小，PC的长最大，点P到直线CD距离的最大，
∵BM=MC=2，∠CMP=30°，∠MPC=90°，∴PC= MC=1，
在Rt△PCE中，∵∠CPE=30°，PC=1，
∴EC= PC= ，
∴PE= ．
∴点P到直线CD距离的最大值为 ；
（3）如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，
EF+PF最短，由于对称，PF=KF，EF为垂线段（垂线段最短）．
连接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．
在Rt△BMH中，∵BM=1，∠BMH=30°，
∴BH= ，HM= ，
∴ ，
∵△AMN是等边三角形，
∴AG= ．
∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC，
∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°，∠NAP+∠ANP+∠APN=180°，∠ANP=∠PCM=60°，∠APN=∠CPM，
∴∠CMP=∠NAP=∠NAK，
∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK，∴∠APG=∠EAK，
∵∠AGP=∠AEK=90°，AP=AK，
∴△AGP≌△KEA，
∴KE=AG= ．
∴EF+PF的最小值为 ，
∵∠PCN=∠PCM，
∴ ，
∴PN= ，
∴AE=PG=GN-PN= ，
∵在Rt△AFE中，∠AFE=30°，∴AF=2AE，
∴AF= ．
【点拨】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线
段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角
形解决问题，属于中考压轴题．
