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必刷小题 15 直线与圆
一、单项选择题
1．(2023·无锡模拟)设m∈R，直线l ：(m＋2)x＋6y－2m－8＝0，l ：x＋2my＋m＋1＝0，则
1 2
“m＝1”是“l∥l”的( )
1 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若l∥l，则
1 2
解得m＝1或m＝－3，
因此，“m＝1”是“l∥l”的充分不必要条件．
1 2
2．直线ax－y－2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
答案 B
解析 直线ax－y－2a＝0(a∈R)，即a(x－2)－y＝0，
由得所以直线恒过定点(2,0)，
因为22＋02<9，所以定点(2,0)在圆内，所以直线与圆相交．
3．直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则( )
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
答案 C
解析 因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，
所以该直线的斜率－<0，直线在y轴上的截距－>0，可得a>0，b<0.
4．(2023·重庆模拟)已知过点P(3,1)的直线l与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线x－
my－1＝0垂直，则m等于( )
A．－ B. C．－2 D．2
答案 C
解析 ∵(3－1)2＋(1－2)2＝5，
∴点P在圆C上，
∴k ＝＝－，
CP
∴切线l的斜率为2，
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∵l与直线x－my－1＝0垂直，
∴2×＝－1，
解得m＝－2.
5．(2022·呼和浩特模拟)已知圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常
数)对称，则ab的最大值为( )
A. B. C．1 D．2
答案 A
解析 因为圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为(－1,0)，且圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝
0(a，b为大于0的常数)对称，
所以直线ax＋y＋1－b＝0过圆心(－1,0)，
所以a＋b＝1，又a>0，b>0，
所以ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，即当a＝b＝时，ab取最大值.
6．(2023·晋城模拟)已知圆C：x2＋y2＝1和直线l：xx＋yy＝1，则“点P(x，y)在圆C上”
0 0 0 0
是“直线l与圆C相切”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若点P在圆C上，则x＋y＝1，圆心到直线l：xx＋yy＝1的距离d＝＝1，此时直线l
0 0
与圆C相切；
若直线l与圆C相切，则d＝＝1，即x＋y＝1，此时点P在圆C上．
综上知，“点P(x，y)在圆C上”是“直线l与圆C相切”的充要条件．
0 0
7．(2022·兰州模拟)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山
大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0，且
λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到点A(－1,0)，B(1,0)的
距离之比为，则点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为( )
A．2－ B.－ C．2 D.
答案 A
解析 设C(x，y)，则＝，即＝，化简得(x－2)2＋y2＝3，
所以点C的轨迹是以(2,0)为圆心，r＝的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0的距离d＝＝2，
所以点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为2－.
8．在平面直角坐标系中，已知点P(3，－1)在圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0内，动直
线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为8，则实数m的取值范围
是( )
A．(3－2，3＋2)
B．[1,5]
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C．(3－2，1]∪[5,3＋2)
D．(－∞，1]∪[5，＋∞)
答案 C
解析 圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0，即圆C：(x－m)2＋(y－1)2＝16，
即圆心为C(m,1)，r＝4，
所以△ABC的面积为S ＝r2sin∠ACB＝8sin∠ACB≤8，
△ABC
当且仅当∠ACB＝，即△ABC为等腰直角三角形时等号成立，此时，|AB|＝4，圆心C到直线
AB的距离为＝2，
因为点P(3，－1)在圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0内，
所以2≤|PC|<4，即2≤<4，
所以8≤(m－3)2＋4<16，解得3－20，得m>－7，A选项正确；
圆x2＋y2＝2的圆心为(0,0)，半径为，
因为圆心到直线l的距离为＝，
所以圆x2＋y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x－y＋1＝0的距离等于，B选项错误；
C 的圆心为(1,2)，半径为3；C 的圆心为(－1，－1)，半径为2，
1 2
所以圆心距为＝≠3＋2，C选项错误；
圆x2＋y2＋2x＝0的圆心为A(－1,0)，半径为1，
表示圆上的点B(x，y)与点C(1,0)连线的斜率，
当直线BC与圆A相切时，如图所示，
AB＝1，AC＝2，所以∠BCA＝，
结合对称性可知的取值范围是，D选项正确．
12．已知点P(x，y)是圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，直线l：(1＋m)x＋(m－1)y＋－3m
＝0，则下列结论正确的是( )
A．直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种
B．圆C的圆心到直线l距离的最大值为
C．点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为2
D．点P可能在圆x2＋y2＝1上
答案 ACD
解析 对于A选项，因为直线l的方程可化为x－y＋＋m(x＋y－3)＝0.
令解得
所以直线l过定点Q(0，)，
直线l是过点Q的所有直线中除去直线x＋y－3＝0外的所有直线，
圆心C(1,0)到直线x＋y－3＝0的距离为＝1<2，即直线x＋y－3＝0与圆C相交，
又点Q(0，)在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以直线l与C至少有一个公共点，
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所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种，A正确；
对于B选项，当直线l为圆C的切线时，点C到直线l的距离最大，且最大值为|QC|＝2，B
错误；
对于C选项，因为圆心C到直线4x＋3y＋16＝0的距离d＝＝4，
所以圆C上的点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为4－2＝2，C正确；
对于D选项，圆x2＋y2＝1的圆心为原点O，半径为1，
因为|OC|＝1＝2－1，所以圆C与圆O内切，故点P可能在圆x2＋y2＝1上，D正确．
三、填空题
13．若直线l ：3x＋y＋m＝0与直线l ：mx－y－7＝0平行，则直线l 与l 之间的距离为
1 2 1 2
________．
答案
解析 由题设得m＋3＝0，即m＝－3，
所以l：3x＋y－3＝0，l：3x＋y＋7＝0，
1 2
所以直线l 与l 之间的距离为＝.
1 2
14．过点P(2,2)的直线l 与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则直线l 的方程为________________．
1 1
答案 3x－4y＋2＝0或x＝2
解析 当过点P(2,2)的直线l 斜率不存在时，l 的方程为x＝2，与圆(x－1)2＋y2＝1相切，满
1 1
足题意；
当过点P(2,2)的直线l 斜率存在时，
1
设l 的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0，
1
∴圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到l 的距离d＝＝1，解得k＝，
1
∴l：x－y＋＝0，即3x－4y＋2＝0，
1
综上，直线l 的方程为3x－4y＋2＝0或x＝2.
1
15．与直线 x－y－4＝0 和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2 都相切的半径最小的圆的方程是
________________．
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析 圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标为(－1,1)，半径为，
过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，
则所求圆的圆心在此直线上，
又圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3，
则所求圆的半径为，
设所求圆的圆心为(a，b)，且圆心在直线x＋y＝0上，
所以＝，且a＋b＝0，
解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合题意，舍去)，
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故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
16．(2023·大理模拟)设m∈R，直线l ：mx－y－3m＋1＝0与直线l ：x＋my－3m－1＝0相
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交于点P，点Q是圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2上的一个动点，则|PQ|的最小值为________．
答案
解析 由题意得l：(x－3)m＋(1－y)＝0，l：(x－1)＋(y－3)m＝0，
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∴l 恒过定点M(3,1)，l 恒过定点N(1,3)，又l⊥l，
1 2 1 2
∴P点轨迹是以|MN|为直径的圆，即以点(2,2)为圆心，以×＝为半径的圆，
∴P点轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，
∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝2与圆C的圆心距d＝＝3>2，
∴两圆外离，∴|PQ|的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和，
即|PQ| ＝3－2＝.
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