![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/bd_0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_1.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/bd_0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_2.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/bd_0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_3.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/bd_0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_4.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_1.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_2.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_3.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_4.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_5.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_6.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_7.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_8.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_9.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_10.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_11.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_12.webp)
![2024年高考数学一轮复习（新高考版）第8章 §8.9 圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-04-06/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5/0b7c1c73213a25418ecf8f66b574f6d5_13.webp)
文档内容
公众号：高中试卷君
§8.9 圆锥曲线压轴小题突破练
题型一 离心率范围问题
例1 (1)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在
点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C．[－1,1] D.
答案 D
解析 由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点
的距离相等，
又|FA|＝－c＝，|PF|∈[a－c，a＋c]，
∴∈[a－c，a＋c]，
∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，
∴
∴又∵e∈(0,1)，
∴e∈.
(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点F ，F 为双曲线的两个焦点，
1 2
以FF 为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PFF≤，则双曲线离心率的
1 2 1 2
取值范围是( )
A. B．[＋1，＋∞)
C. D．(1，＋1]
答案 D
解析 由题意＝sin∠PFF≤sin ＝，
1 2
所以0<|PF|≤c，
2
又|PF|2＋|PF|2＝4c2，
1 2
即(|PF|＋2a)2＋|PF|2＝4c2，
2 2
所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0，
所以e2－2e－2≤0，又e>1，故解得1|PF|，
1 2 1 2
由椭圆和双曲线的定义可得
得
设|FF|＝2c，
1 2
因为∠FPF＝，
1 2
由余弦定理得
|FF|2＝|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|cos∠FPF，
1 2 1 2 1 2 1 2
即4c2＝(a＋a)2＋(a－a)2－2(a＋a)(a－a)cos ，
1 2 1 2 1 2 1 2
整理得a＋3a＝4c2，
故＋＝4.
又4＝＋≥2＝，
即2≥，所以ee≥，
1 2
即ee 的最小值为，
1 2
当且仅当＝，
即e＝，e＝时，等号成立．
1 2
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，
使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，
设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，
∵存在M，N使得∠MPN＝120°，
∴∠APB≥120°，即α≥60°，
公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君
又α<90°，
∴sin α≥sin 60°，
连接OA，则sin α＝＝≥，
∴|OP|≤.
又P是C上任意一点，
则|OP| ≤，
max
又|OP| ＝a，∴a≤，
max
则由a2＝b2＋c2，得e2≤，
又0b>0)，其左、右焦点分别为F ，F ，其离心
1 2
率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠FPF ＝，已知△FPF 的内切圆半径为r＝，则该
1 2 1 2
椭圆的长轴长为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
答案 D
解析 由e＝，
得＝，即a＝2c.①
在△FPF 中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
1 2
得 ＝b2tan ＝r(2a＋2c)，
即b2＝(a＋c)，②
由a2＝b2＋c2，③
联立①②③，得c＝3，a＝6，b＝3，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
(2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点
(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足BA·BP＝0，直线PA交x轴于点D，若
∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为( )
A. B．2 C. D．3
答案 A
解析 如图，BA·BP＝0，
公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君
∴BA⊥BP，令k ＝k，
AB
∵∠ADO＝∠AOD，
∴k ＝－k ＝－k，
AP AB
又BA⊥BP，∴k ＝－，
PB
依题意，k ·k ＝，
PB PA
∴－·(－k)＝，
∴＝1，即e＝.
思维升华 焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠FPF
1 2
＝θ，
则椭圆中 ＝b2·tan ，
双曲线中 ＝.
周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异
于A，B的任一点，
则椭圆中k ·k ＝－，
PA PB
双曲线中k ·k ＝.
PA PB
跟踪训练2 (1)如图，F ，F 是椭圆C ：＋y2＝1与双曲线C 的公共焦点，A，B分别是
1 2 1 2
C ，C 在第二、四象限的公共点．若四边形AFBF 为矩形，则C 的离心率是( )
1 2 1 2 2
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设双曲线C 的方程为－＝1，
2
则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.
又四边形AFBF 为矩形，
1 2
所以△AFF 的面积为btan 45°＝，
1 2
即b＝b＝1.
所以a＝c－b＝3－1＝2.
故双曲线的离心率e＝＝＝.
(2)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，上、下顶点分别为A，B，直线AF 与
1 2 2
该椭圆交于A，M两点，若∠FAF＝90°，则直线BM的斜率为( )
1 2
A. B. C．－1 D．－
公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君
答案 B
解析 ∵∠FAF＝90°，
1 2
∴△FAF 为等腰直角三角形，
1 2
∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，
∴＝，且∠AFO＝45°，
2
∴k ＝－1，
MA
又k ·k ＝－＝－，
MA MB
∴k ＝.
MB
命题点2 抛物线中二级结论的应用
例3 (1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两
点，则2|AF|＋|BF|的最小值为( )
A．2 B．2＋3 C．4 D．3＋2
答案 D
解析 因为p＝2，
所以＋＝＝1，
所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)
＝3＋＋
≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当|BF|＝|AF|时，等号成立，
因此2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2.
(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两
点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
答案 64
解析 方法一 (常规解法)
依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，
直线l的方程为x＝y＋4.
由
消去x，整理得y2－16y－64＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝16，yy＝－64.
1 2 1 2
公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君
S ＝|y－y|·|OF|＝2
△OAB 1 2
＝2＝64.
方法二 (活用结论)
依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.
又l的倾斜角α＝.
所以S ＝＝＝64.
△OAB
思维升华 与抛物线的焦点弦有关的二级结论：
若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x ，y)，B(x ，
1 1 2
y)(y>y)两点，则
2 1 2
①焦半径|AF|＝x＋＝，
1
|BF|＝x＋＝，
2
②焦点弦长|AB|＝x＋x＋p＝，
1 2
③S ＝(O为坐标原点)，
△OAB
④xx＝，yy＝－p2，
1 2 1 2
⑤＋＝，
⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．
跟踪训练3 已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原
点，且满足AB＝3FB，S ＝|AB|，则|AB|的值为( )
△OAB
A. B. C．4 D．2
答案 A
解析 如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈，
∵AB＝3FB，
∴F为AB的三等分点，
令|BF|＝t，则|AF|＝2t，
由＋＝，
得＋＝⇒t＝p，
∴|AB|＝3t＝p，
又|AB|＝，
∴＝p⇒sin α＝，
公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君
又S ＝|AB|，
△OAB
∴＝|AB|，
即＝·p⇒p＝2，
∴|AB|＝.
题型三 圆锥曲线与其他知识的综合
例4 (多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传
统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户
外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，
阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的
夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则( )
A．该椭圆的离心率为
B．该椭圆的离心率为2－
C．该椭圆的焦距为
D．该椭圆的焦距为2－1
答案 BC
解析 sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，
如图，A，B分别是椭圆的左、右顶点，F 是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为圆的圆心．
1
因为|BD|＝|DF|＝1，DF⊥BC，所以|BF|＝，
1 1 1
设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a＋c＝.
因为∠A＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a，
由正弦定理得＝，
解得a＝，
所以c＝－a＝，
所以＝＝2－，2c＝.
思维升华 高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交
汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，
体现出数学的应用性．
跟踪训练4 (多选)(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金
公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君
杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双
曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y
轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线 C
与坐标轴交于D，E两点，则( )
A．双曲线C的方程为－＝1
B．双曲线－x2＝1与双曲线C共渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
答案 ABD
解析 依题意可知M，N，
对于A，将M，N的坐标分别代入－＝1，
得解得a2＝3，b2＝9，
所以双曲线C的方程为－＝1，
其渐近线为y＝±x，故A正确；
对于B，由－x2＝1，
可知其渐近线为y＝±x，故B正确；
对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有
一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；
对于D，设双曲线上一点P(x，y)，y≠0，
0 0 0
则－＝1，即y＝3x－9，
由题可知D(－，0)，E(，0)，
则k ＝，
PD
k ＝，
PE
k ·k ＝·＝＝3，
PD PE
即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确．
公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君
课时精练
1．已知F ，F 是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率
1 2
的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
答案 C
解析 ∵MF1·MF2＝0，
∴点M的轨迹是以FF 为直径的圆，其半径r＝c，
1 2
依题意，该圆总在椭圆内部，
∴c0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，直线l：y
1 2
＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF NF 的面积为8a2.若点M关于点F 的对称点
1 2 2
为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是( )
A. B. C．3 D．5
答案 B
解析 如图，由对称性知MN与FF 互相平分，
1 2
∴四边形MF NF 为平行四边形，
2 1
∵F 为MM′的中点，且|MN|＝|M′N|，
2
∴NF ⊥MF ，
2 2
∴MF NF 为矩形，
2 1
∴ ＝4a2，
又 ＝＝4a2，
即b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，
即c2＝5a2，∴e＝＝.
3．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为F(－2,0)，过F的直线l与双曲线C
交于A，B两点，且AB的中点为N(－3，－1)，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君
解析 由F，N两点的坐标得直线l的斜率k＝1.
∵双曲线一个焦点为(－2,0)，∴c＝2.
设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝4.
∵k ＝k ＝1，且k ＝，
AB NF ON
∴k ·k ＝＝，
AB ON
即a2＝3b2，
易得a2＝3，b2＝1，c2＝4，
∴双曲线C的离心率e＝＝.
4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l ，l ，直线l 与C相
1 2 1
交于A，B两点，直线l 与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
2
A．16 B．14 C．12 D．10
答案 A
解析 如图，设直线l 的倾斜角为θ，θ∈，
1
则直线l 的倾斜角为＋θ，
2
由抛物线的焦点弦弦长公式知
|AB|＝＝，
|DE|＝＝，
∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝≥16，
当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝时，等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为16.
5．(多选)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点P在双曲线C的右支上，
1 2
若∠FPF＝θ，△PFF 的面积为S，则下列命题正确的是( )
1 2 1 2
A．若θ＝60°，则S＝4
B．若S＝4，则|PF|＝2
2
C．若△PFF 为锐角三角形，则S∈(4,4)
1 2
D．若△PFF 的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为9x2－＝1
1 2
答案 ACD
解析 由x2－＝1，得a2＝1，b2＝4，则a＝1，b＝2，c＝，
焦点△PFF 的面积公式S＝＝，将θ＝60°代入可知S＝4，故A正确；
1 2
当S＝4时，θ＝90°，由可得|PF|＝2，故B错误；
2
公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君
当∠FPF ＝90°时，S＝4，当∠PFF ＝90°时，S＝4，因为△PFF 为锐角三角形，所以
1 2 2 1 1 2
S∈(4,4)，故C正确；
设G(x，y)，P(x ，y)(x>1)，则x－＝1(x>1)，由题设知F(－，0)，F(，0)，则所以点G的
0 0 0 0 1 2
轨迹方程为9x2－＝1，故D正确．
6．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，上、下顶点
1 2
分别为A，A，点P是C上异于A，A 的一点，则下列结论正确的是( )
1 2 1 2
A．若C的离心率为，则直线PA 与PA 的斜率之积为－
1 2
B．若PF⊥PF，则△PFF 的面积为b2
1 2 1 2
C．若C上存在四个点P使得PF⊥PF，则C的离心率的取值范围是
1 2
D．若|PF|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是
1
答案 BD
解析 设P(x，y)，
0 0
所以＋＝1，
因为e＝＝，
所以a＝2c，
所以a2＝b2，
所以 ＝－＝－，
所以A错误；
若PF⊥PF，△PFF 的面积为b2tan ＝b2，
1 2 1 2
所以B正确；
若C上存在四个点P使得PF⊥PF，
1 2
即C上存在四个点P使得△PFF 的面积为b2，
1 2
所以·2c·b>b2，
所以c>b，所以c2>a2－c2，
故e∈，
所以C错误；
若|PF|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b，
1
所以a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，
所以5e2＋2e－3≤0，
故00)的焦点F(1,0)且与抛物线交于A，B两点，则|AF|－的最小值
为________．
答案 2－2
公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君
解析 方法一 已知＝1，即p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
若直线l与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；
设直线l的方程为x＝my＋1，A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
联立可得y2－4my－4＝0，
则
所以＋＝＋＝＋
＝＝
＝＝1.
所以＝1－，
则|AF|－＝|AF|－2＝|AF|＋－2≥2－2＝2－2，
当且仅当|AF|＝时，等号成立，故|AF|－的最小值为2－2.
方法二 因为＝1，所以p＝2，
又＋＝，
所以＋＝1，
所以＝1－，
因为|AF|－＝|AF|－2
＝|AF|＋－2
≥2－2，
当且仅当|AF|＝时，等号成立，
所以|AF|－的最小值为2－2.
8．(2023·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深
8 cm，称为抛物线酒杯．
(1)在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_____ cm；
(2)在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为
____________(单位：cm)．
答案 (1)6 (2)
解析 因为杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，所以球的半径为3 cm，
又因为杯口宽4 cm，
公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君
所以|AB|＝4，|C A|＝|C B|＝3，C D⊥AB，
1 1 1
所以|AD|＝|BD|＝2，
所以|C D|＝＝＝1，
1
所以|DE|＝2，
又因为杯深8 cm，即|OD|＝8，
故最小距离为|OD|－|DE|＝6，
如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2，8)，设抛物线的方程为y＝mx2，
所以将B(2，8)代入，得m＝1，
故抛物线方程为y＝x2，
图1 图2
当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程
为x2＋(y－r)2＝r2，
依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即≥r，
则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立，
解得1－2r≥0，可得0
