专题18.33平行四边形（直通中考）（培优练）-（人教版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_专题突破练习-V4

专题18.33 平行四边形（直通中考）（培优练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）如图， 中， ， 平分 ， ，E为 的中点，则 的长为（ ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 2．（2022下·陕西西安·八年级校考期末）如图，平行四边形 中， ， ， 平分 ，交 于E， 交 于点N，交 于点F，作 交 于点M，则 （ ） A． B． C．1 D． 3．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在长方形 中， ，对角线 ， 平 分 交 于点 ， 是线段 上的点，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，当 为等腰三角形时， （ ） A．4 B．5 C．6 D．74．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）长方形ABCD中， ， ，将其沿 折叠，点 A，B分别落到点 与点 处，恰好点C在 上，且 ，则线段 的长度为（ ） A．5 B． C． D． 5．（2023下·天津滨海新·八年级校考期末）菱形 中， 分别在 和 上，且 是 等边三角形， ．则 等于（ ） A． B． C． D． 6．（2023下·山东泰安·八年级统考期末）如图，菱形 的边长为4，且 ， 是 的 中点， 为 上一点且 的周长最小，则 的周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．（2024上·江苏无锡·九年级统考期末）正方形 ， 如图放置， ， ， 相交于 点P，Q为 边上一点，且 ，则 的最大值为（ ）A． B． C．7 D． 8．（2024上·四川广元·九年级统考期末）如图，在正方形 中，点 的坐标是 ，点 分 别在边 上， ，若 平分 ．则 点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C． D． 9．（2024上·重庆沙坪坝·九年级统考期末）如图，在正方形 中，点E是 上一点，过点E作 交 于点F，连接 ， ，若 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 10．（2023上·福建南平·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为 ，对角线 、 相交于 点 ，将 绕 点顺时针旋转 得到 ， 交 于点 连接 交 于 ，连接 ．则 下列结论： ① ； ②四边形 是菱形；③△BDG的面积是 ； ④ ；其中正确的是（ ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，平行四边形 中， 于点E， ， ， ， 则 的长为 ． 12．（2024下·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考开学考试）如图，把一个矩形纸片 放入平面直角坐标系中，使 、 分别落在 轴、 轴上，连接 ，将纸片 沿 折叠，使 点 落在 的位置上． 若 ， ，则点 的坐标为 ． 13．（2023上·福建漳州·八年级漳州三中校考期中）如图，矩形 中， ，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点 落在点 处，当 为直角三角形时， 的长为 ．14．（2024上·浙江宁波·八年级校考期末）如图，菱形 中， ， ，点 是 上 一点，将菱形沿着 折叠，使点 落在点 处， 与 交于点 ，点 是 的中点， ， 则 的长为 ． 15．（2024下·广东深圳·九年级校考开学考试）如图，在菱形 中，E、F分别是 ， 边上 的中点， 为 上一点，若 ， ，则 的长为 16．（2024下·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形 中，点E是边 上的一点，点F在边 的延长线上，且 ，连接 交边 于点G．过点A作 ，垂足为点M，交边 于点 N．若 ， ，则线段 的长为 ． 17．（2024·全国·八年级竞赛）如图，三个正方形的边长分别为 ，若 ，则阴影部分的面积为 ． 18．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，等边三角形 中， ， 、 分别是边 、 上的动点，且 ，则 的最小值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（2024·全国·八年级竞赛）如图 ，在 中， ， 于点 ， 平分 ，交 于点 ，交 于点 ． （1）若 ，求证： ； （2）如图 ，作 交 于点 ，求证： ． 20．（8分）（2023上·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考期中）如图①，在四边形 中， ， 点 E 是 的中点， 若 是 的平分线．（1）求证： 是 的平分线 （2）线段 之间的数量关系是 ； 问题探究： 如图②．在四边形 中， ， 与 的延长线交于点F， 点E是 的中 点， 若 是 的平分线， 试探究 之间的等量关系，并证明你的结论． 21．（10分）（2024上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）已知，如图， 为射线 上的一动点， 为 的角平分线且交 于点 ，以 为边在 内部作菱形 ，使得 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ． （1）求证： ； （2）判断 与 的位置关系并证明； （3）若 的周长为3，求菱形 的周长．22．（10分）（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）在正方形纸片 中，点 、 分别是 、 上的点，连接 ． （1）问题探究：如图1，作 ，交 于点 ，求证： ； （2）问题解决：如图2，将正方形纸片 沿过点 、 的直线折叠，点 的对应点 恰好落在 上，点 的对应点为点 ，若 ， ，求线段 的长． 23．（10分）（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图， 是四边形 的对角线，边 在其 所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为 ，连接 、 ． （1）如图1，四边形 是正方形时，作 ，垂足为O，连接 、 ．判断 、 之 间的数量关系和位置关系，并证明； （2）如图2，四边形 是菱形时，设 ，点O在 上，且 ．判断 与 的数量关系，写出推理过程，并用含有 的代数式表示 ； （3）在（2）的条件下，若 ， ，当四边形 是菱形时（如图3），请直接写 出线段 平移的距离为 ．24．（12分）（2023下·江苏连云港·九年级统考期中）【实践操作】 在矩形 中， ， ，现将纸片折叠，点 的对应点记为点 ，折痕为 （点 、 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）若点 落在矩形 的边 上（如图 ）当点 与点 重合时， _____ ，当点 与点 重合时， ______ ； 【深入探究】 （2）若点 落在矩形 的内部（如图 ），且点 、 分别在 、 边上， 的最小值是 ______ ； 【拓展延伸】 （3）若点 与点 重合，点 在 上，射线 与射线 交于点 （如图 ）在各种不同的折叠 位置中，是否存在某一情况，使得线段 与线段 的长度相等？若存在，请求出线段 的长度；若 不存在，请说明理由．参考答案： 1．A 【分析】延长 交 于点F，证 ，再由E为 的中点，即可求解； 解：延长 交 于点F， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵E为 的中点，∴ ， ∵ ∴ ， 故选：A． 【点拨】本题主要考查三角形的全等证明、中位线的性质，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的 关键． 2．D 【分析】由平行四边形的性质以及三角形内角和的性质可得 ， ，求得 ，再根据 ，得到 ，即可求解． 解：平行四边形 中， ， ∵ 平分 ∴ ∵ ∴ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ，即 ∴ ，即 ∴ ，∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D 【点拨】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等，解题的 关键是熟练掌握相关基础性质． 3．B 【分析】过 作 于 ，由矩形的性质并结合勾股定理确定 ，再证明 以及 为等腰三角形，即可推导 ， ，然后由 计算 的长即可． 解：过 作 于 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ，∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 交 于点 ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 为等腰三角形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与 性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设 ， ，证明 ， 推出 ，求得 ，推出 ，在 中，利用勾股定理 列式计算即可求解． 解：如图，∵ ， ∴设 ， ， ∴ ， ， 由折叠的性质知 ， ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ，即 ， 解得 ， 故选：C． 5．B 【分析】根据菱形的性质推出 ， ，根据平行线的性质得出 ，根据 等边三角形的性质得出 ， ，根据等边对等角得出 ， 设 ，根据三角形的内角和定理得出方程 ，求出方程的解即可 求出答案． 解：∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ， ∴ ， ∴ 由三角形的内角和定理得： ， 设 ， 则 ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 故选B． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键是熟练 运用这些性质和定理． 6．A 【分析】由菱形的性质可得点 与点 关于 对称，连接 交 于点 ，连接 ，则 的 周长 ，此时 的周长最小，过点 作 交 的延长线于 ，由菱形 的性质和 可得 ，从而可得 ，最后由勾股定理计算得出 ， 即可得出答案． 解： 四边形 是菱形， 点 与点 关于 对称， 如图，连接 交 于点 ，连接 ，， 则 ， 的周长 ，此时 的周长最小， 是 的中点，菱形 的边长为4， ， 过点 作 交 的延长线于 ， 四边形 为菱形，边长为4， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长的最小值 ， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质、轴对称的性质、含 角的直角三角形的性质、勾股定理，熟 练掌握菱形的性质、轴对称的性质、含 角的直角三角形的性质、勾股定理，添加适当的辅助线，求出 的长，是解题的关键． 7．B 【分析】如图，连接 ，取 的中点O，连接 ，延长 至E，使 ，连接 ， ，利用等腰直角三角形性质可得 ，由 ，可得 ， ，利用勾股定 理可得 ，再由三角形中位线定理可得 ，再证得 ，进而得出 是 的中线，即 ，由 ，即可求得答案． 解：如图，连接 ，取 的中点O，连接 ，延长 至E，使 ，连接 ， ， ∵四边形 、 是正方形， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即Q是 的中点， 又∵点O是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点O是 的中点， ∴ ， 在 中， ， ∴ 的最大值为 ， 故选：B． 【点拨】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中 位线定理等，熟练运用三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质是解题关键． 8．B 【分析】过点 作 于点 ，结合点 和正方形的性质可得 ， ，在 中，由勾股定理解得 的值，进而确定 得值；再根据角平分线的性 质可得 ，进而证明 ， ，由全等三角形的性质可得 ， ，设 ，则 ， ， ，然后根据 ，解得 的值，易得 ，即可确定 点的横坐标． 解：如下图，过点 作 于点 ，∵四边形 为正方形，点 的坐标是 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴在 中， ， ∴ ， ∵ ， ， 平分 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ∴ ， 设 ，则 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ 点的横坐标是3．故选：B． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性 质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 9．C 【分析】过点 作 于 ， 于 ，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证 得 ，得到 ，根据等腰三角形的性质和平角的定义即可求出答案. 解：过点 作 于 ， 于 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ， ∴ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选: ． 【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解 决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 10．A 【分析】由正方形和旋转的性质，易证 为等腰直角三角形，即得出 ．又易证 ≌ ，即得出 ，可判断①；由全等的性质可得出 ．又易证 ≌ ，得出 ．由三角形外角的性质和三角形内角和定理可求出 ， 即得出 ，从而证明四边形 为菱形，可判断②；由等腰直角三角形和勾股定理可 求出 ，即 ，再根据 ，从而可求出 ，最后根据三 角形的面积公式计算即可求出 ，从而可判断③；根据正方形的性质可求出 ，再根据 ，可求出 ，即可求出 ，可判断④． 解： 四边形 是正方形， ， ， ，由旋转可得： ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 又 ， ≌ ， ， ，故①正确； ≌ ， ， 又 ， ， ≌ ， ， ， ， ， ， 四边形 是菱形，故②正确； ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 根据正方形的性质可求出 ，， ， 故④正确； 综上可知，①②③④都正确． 故选：A． 【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，等 腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题 的关键． 11． 【分析】设 ，则 ，由 ，可得， ，则 ， ，则 为 的中点，延长 ， 交于点 ，结合平行四边形的性质可证得 ， ，进而可得 ， ， ，则 ，进而求得 ，可得 ，即 ，可知 垂直平分 ，得 ，由勾股定理可得 ， 的中点 ，连接 ，则 ， ，由 三角形中位线的性质可得 ，由勾股定理可得 ，即可求解． 解：设 ，则 ， ∵ ，则 ， ∴ ，则 ， 又∵ ， ∴ ，则 为 的中点，延长 ， 交于点 ， ∵四边形 是平行四边形， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， ，则 ， 则 ， ∴ ， 即： ， 又∵ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， 在 中，由勾股定理可得： ， 取 的中点 ，连接 ，则 ， ， ∵ ，则 为 的中点， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ， ∴ ， 在 中，由勾股定理可得： ， 故答案为： ． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定及性质，等角 对等边，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解决问题 的关键． 12． 【分析】本题过点 作 于点 ，交 于点 ，由矩形的性质和折叠的性质，证明 ，得到 ，设 ，则 ，在 中应用勾股定理构建方程，即可求出 和 ，使用等面积法求出 ， 点的纵坐标就求出来了，最后再解 ，求出 ，即点 的横坐标．即可解题． 解：过点 作 于点 ，交 于点 ，如图所示： 四边形 为矩形， ， ， ， ， ， 由题易知，四边形 为矩形， 有 ， 由折叠的性质可知， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， 有 ， 即 ，解得 ， ， ，解得 ， ， ， ， 点 的坐标为 ， 故答案为： ． 【点拨】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 13． 或1 【分析】当 为直角三角形时，有两种情况：①当点 落在矩形内部时，如答图 所示．连结 ，先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得 ，而当 为直角三角 形时，只能得到 ′ ，所以点 、 、 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的 点 处，则 ， ，可计算出 ，设 ，则 ， ，然 后在 中运用勾股定理可计算出 ． ②当点 落在 边上时，如答图 所示．此时 为正方形． 解：当 为直角三角形时，有两种情况： ①当点 落在矩形内部时，如图 所示．连接 ， 在 中， ， ， ∴ ， ∵ 沿 折叠，使点 落在点 处， ∴ ， 当 为直角三角形时，只能得到 ， ∴点 、 、 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处， ∴ ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ， 在 中， ∵ ，∴ ， 解得 ， ∴ ； ②当点 落在 边上时，如图 所示．此时 为正方形， ∴ ． 故答案为： 或 ． 【点拨】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾 股定理得出方程是解决问题的关键． 14． 【分析】连接 ，过点 作 的平行线交 于点 ，过点 作 交 延长线于点 ，延长 交于点 ，过点 作 于点 ，利用翻折的性质和勾股定理求出 ，然后证明 ，得 ，证明 ，再利用勾股定理求出 ，进而即可解决问题． 解：如图，连接 ，过点 作 的平行线交 于点 ，过点 作 交 延长线于点 ，延 长 交于点 ，过点C作 于点 ， 由翻折可知： ， ∵点 是 的中点， ， 为菱形， ∴ ，设 ， 在 中， ， 由勾股定理得： ， 整理得 ， 解得 （舍去负值）， 由翻折可知： ， 设在 中，由勾股定理得： 故答案为： ． 【点拨】本题属于四边形综合题，难度大，考查了翻折变换，菱形的性质，全等三角形的判定与性质， 含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键正确作出辅助线构造全等三角形． 15． 【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法 求三角形面积，学会添加常用辅助线，构造直角三角形； 连接 、 、 、 、 ，作 ．先求出 的面积，再求出高 ，利用勾股定 理求出 、 、 ，利用线段和差求出 即可． 解：连接 、 ，， 四边形 是菱形， ， ， ， 为等边三角形， 连接 ， 点 E、F分别是 、 边上的中点， ， ， 在 中 , 同理在 中 ， ， 在 中 点 E分别是 边上的中点， ， 为等边三角形， ， 连接 ， ， ， ， ，， ， 过F作 ， ， ， 在 中 ， 在 中， ， ， ， ， 故答案为： ． 16．20 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题 的关键．连接 ， ， ，先证明 ，得到 ， ，证明 为等 腰直角三角形，从而可证明 ，设 ，则根据勾股定理列方程并求解，得到 ，即可得到 答案． 解：如图，连接 ， ， ， 四边形 为正方形， ， ， ，在 和 中， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得 ， ， ． 故答案为：20． 17．82 【分析】本题主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，矩形、梯形的判定和性质，三 角形、梯形面积公式，割补法求图形面积，是解决问题的关键．设三个正方形分别为 、 、 ，延长 交 边于点K，证明四边形 和四边形 都是矩形，得到 ， ， ， ，结合 ，求 得 ． 解：如图，设三个正方形分别为 、 、 ，延长 交 边于点K， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 和四边形 都是矩形， ∴ ， ， ， ， ， ∵ ， ∴ ． 故答案为：82．18． 【分析】取 中点 ， 中点 ， ，在 的外侧作 ， 的长度即为所求， 本题考查了求线段和最小值问题，勾股定理解三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三 角形中位线， 角的直角三角形，解题的关键是通过构造中位线和全等三角形，将 进行转化． 解：取 中点 ， 中点 ，作 ，使 ，作 ，交 延长线于点 ， 点 是 中点，点 是 中点， ， ， ， ， 又 等边三角形 ， ， ， 又 ， ， ，，当点 在线段 上时 取最小值，长度为线段 的长， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 19．（1）证明见分析；（2）证明见分析． 【分析】（ ）由 ， 得到 ，进而得到 ，由角平分线得到 ，即可得到 ，再根据 所对的直角边等于斜边的一半，可得到 ， 推导出 ，同理可得 ，即可求证； （ ）作 交 于点 ，则 为平行四边形，利用判定方法 证明 ，即 可求证； 本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌 握以上性质定理是解题的关键． 解：（1）证明∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ，∴ ， ∴ ； （2）证明：作 交 于点 ，则 为平行四边形， ∴ ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． 20．（1）见分析；（2） ；[问题探究]： ，证明见分析 【分析】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角 平分线的性质等知识点，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长 交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得 ，再根据等腰三 角形的判定可得 ，再证明 可得 ，最后根据等腰三角形三线合一的性 质即可证明结论； （2）延长 交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得 ，再根据等腰三 角形的判定可得 ，再证明 可得 ，然后根据线段的和差及等量代换即 可解答； [问题探究]：延长线 ， 相交于点G，利用全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质即可证明． （1）解：如图：延长 交于点F， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 是等腰三角形， ∵E是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是 的平分线． （2）解：如图：延长 交于点F， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵E是 的中点，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 故答案为： ． [问题探究]：结论： ，证明如下： 延长线 ， 相交于点G， ∵E是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 21．（1）见分析；（2） ，证明见分析；（3）【分析】（1）由菱形 ，可得 ，进而可证 ； （2）由 ，可得 ，由 为 的角平分线，可得 ，由 ， ，可得 ， 进而可证 ； （3）如图，在 上取点 ，连接 ，使 ，证明 ，则 ， ，如图，过 作 ，则 是等边三角形， ，证明四边形 是平行 四边形，则 ， ， ，即 ，由 的周长为3，可 得 ，即 ， ， ，如图，连接 ，则 是等边三角形， ，由等边对等角，三角形内角和定理可求 ，由勾股定理得 ，然后求周长即可． 解：（1）证明：∵菱形 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； （2）解： ，证明如下； ∵ ， ∴ ， ∵ 为 的角平分线， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； （3）解：如图，在 上取点 ，连接 ，使 ，由（2）可知， ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， 如图，过 作 ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ， ∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ 的周长为3， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 如图，连接 ， ∵ ， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ，由勾股定理得 ， ∴ ， ∴菱形 的周长为 ． 【点拨】本题考查了菱形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形 外角的性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，等边对等角，平行四边形的判定与性质，勾股定 理等知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平 行线的判定，等边三角形的判定与性质，等边对等角，平行四边形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 22．（1）见分析；（2） 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质， 勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键． （1）过点 作 于 ，利用 证明 ，得 ； （2）连接 ， ，设正方形的边长为 ，由勾股定理得， ，解方程可 得 的值，利用勾股定理求出 ，再根据（1）知， ，从而解决问题． （1）解：证明：过点 作 于 ， 四边形 是正方形， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）连接 ， ， 由折叠的性质得到： ， ， 设正方形的边长为 ， 由勾股定理得， ， ， 解得： ， ， ， 由勾股定理得， ， 是 的垂直平分线， 由（1）知， ， ． 23．（1） ， ，证明见分析；（2） ，理由见分析， ； （3） 【分析】（1）证明 ，由全等三角形的性质得出 ， ，证出，则可得出结论； （2）证明 ，得出 ， ，则可得出结论； （3）过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，得出 ，由勾 股定理求出 的长，则可得出答案． （1）解： ， ． 证明： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ，， ， ， ， 即 ， ， ， ； （3）过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形， ， 由题意知四边形 和四边形 是菱形， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， ， 线段 平移的距离为 ， 故答案为： ．【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，正 方形的性质，勾股定理，平移的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（1）90；45；（2）2；（3）存在某一情况，使得线段 与线段 的长度相等，线段 的 长度为 或 【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则 平分 ， 即可得出答案； （2）当F与C重合，点P在对角线 上时， 有最小值，根据折叠的性质求 ，由勾股 定理求 ，即可得出结果； （3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 解：（1）四边形 是矩形， ， 当点 与点 重合时， 是 的中垂线， ， 当点 与点 重合时，如图， 则 平分 ， 此时， ， 故答案为： ， ； （2）若点 落在矩形 的内部，且点 、 分别在 、 边上，如图， 设 ，则 ，当 ， ， 在一直线上时， 最小，最小值为 ， 当 最大为 时， 最小值为 ， 故答案为： ； （3）分情况讨论： 如图，连接 ， 四边形 是矩形， ， 由折叠的性质得： ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 设 ， 则 ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， 解得： ，； 如图， 四边形 是矩形， ， 由折叠的性质得： ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ，即 ， 设 ， 则 ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， 解得： ， ； 综上所述，存在某一情况，使得线段 与线段 的长度相等，线段 的长度为 或 ．【点拨】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的 性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．