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§4.6 函数 y＝Asin(ωx＋φ)
考试要求 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数 ω，
φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体
会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识梳理
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
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2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝
kπ，k∈Z确定其横坐标．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( × )
(2)函数f(x)＝sin 2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)＝sin.( × )
(3)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数解析式为y＝sin x.( × )
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.
( √ )
教材改编题
1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
答案 A
解析 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.
2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 D
解析 因为y＝2sin＝2sin 3，所以要得到函数y＝sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上
所有的点向右平移个单位长度即可，故选D.
3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t
的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
答案 1
解析 当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin ＝1，
即12点时潮水的高度是1 m.
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
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答案 B
解析 依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩
大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝sin ―――――――――――――→y＝sin的图象――――――――――――――→
f(x)＝sin的图象．
(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关
于y轴对称，则ω的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝sin.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z)．因为ω＞0，所以ω ＝.故选C.
min
思维升华 (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个
单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω为负时应先变成正值．
跟踪训练1 (1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C ：y＝cos x，C ：y＝sin，为了得到曲线C ，则
1 2 2
对曲线C 的变换正确的是( )
1
A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
答案 C
解析 A项， 先把曲线C 上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x的图
1
象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得y＝cos ＝cos＝－sin的图象，故A错误；
B项，先把曲线C 上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x的图象，再把
1
得到的曲线向左平移个单位长度得y＝cos ＝cos＝sin的图象，故B错误；
C项，先把曲线C 上点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得y＝cos 2x的图象，再把
1
得到的曲线向右平移个单位长度得y＝cos 2＝cos＝sin的图象，故C正确；
D项，先把曲线C 上点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得y＝cos 2x的图象，再把
1
得到的曲线向左平移个单位长度得y＝cos 2＝cos＝sin的图象，故D错误．
(2)(2023·宁波模拟)将函数y＝tan(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的
两个图象对称中心重合，则ω的最小值为( )
A. B．2 C．3 D．6
答案 A
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解析 将函数y＝tan的图象向左平移个单位长度后，
可得f(x)＝tan＝tan，
将函数y＝tan的图象向右平移个单位长度后，
可得g(x)＝tan＝tan，
因为函数f(x)与g(x)的对称中心重合，所以－＝，k∈Z，
即ω＝，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，
又因为ω>0，所以ω的最小值为.
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)(2023·芜湖模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b的大致图象如图所示，将函数f(x)
的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，
则函数g(x)的单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 C
解析 依题意，
解得∴f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，
而f ＝1，f ＝－1，
∴＝－＝，
故T＝π＝，则ω＝2，
∴f(x)＝2cos(2x＋φ)－1，
而2cos－1＝1，
∴＋φ＝2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，故φ＝－，
∴f(x)＝2cos－1.
将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，
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得到y＝2cos－1，
再向左平移个单位长度，
得到g(x)＝2cos－1＝2cos－1，
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)，故－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间
为(k∈Z)．
(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝______.
答案 －
解析 由题意可得，T＝－＝，
∴T＝π，ω＝＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－π(k∈Z)．
令k＝1可得φ＝－，
据此有f(x)＝2cos，
f ＝2cos＝2cos ＝－.
思维升华 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下
降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
跟踪训练2 (1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的
解析式为( )
A．f(x)＝cos B．f(x)＝cos
C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos
答案 B
解析 由图象知π0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数
g(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f ＝________.
答案 1
解析 由题图可知，周期T＝π，ω＝＝2，
所以g(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，
因为点在g(x)的图象上，
所以2sin＝－2，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<π，所以φ＝，
所以g(x)＝2sin，
所以f(x)＝g＝2sin
＝2sin，
故f ＝2sin＝2sin＝1.
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
命题点1 图象与性质的综合应用
例3 (2023·临沂模拟)已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>0)的零点构成一个公差为的等差
数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则( )
A．g(x)在上单调递减
B．点是g(x)的一个对称中心
C．g(x)是奇函数
D．g(x)在区间上的值域为[0,2]
答案 B
解析 因为f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>0)，所以f(x)＝2＝2sin，因为函数f(x)的零点依次构成
一个公差为的等差数列，所以·＝，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向
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右平移个单位长度，得到g(x)＝2sin＝2sin＝－2cos 2x，即g(x)＝－2cos 2x，所以g(x)为偶函
数，故C错误；
对于A，当x∈时，2x∈，所以g(x)在上单调递增，故A错误；
对于B，g＝－2cos＝－2cos ＝0，故点是g(x)的一个对称中心，故B正确；
对于D，因为x∈，所以2x∈，所以cos 2x∈，所以g(x)∈[－1,2]，故D错误．
命题点2 函数零点(方程根)问题
例4 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范
围是____________．
答案 (－2，－1)
解析 方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
即直线y＝和函数y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，作出y＝，y＝sin t的图象，如图中
实线部分所示．
由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
延伸探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是
________．
答案 [－2,1)
解析 同例题知，的取值范围是，
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．
命题点3 三角函数模型
例5 (多选)(2023·石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，
至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒
车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已
知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P)开始计
0
时，则下列结论正确的是( )
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A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒
答案 BCD
解析 由题意，角速度ω＝＝(弧度/秒)，
又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP 与水面所成角为，点P再次
0
进入水中用时为＝40(秒)，故A错误；
当水轮转动50秒时，半径OP 转动了50×＝(弧度)，而－＝，点P正好处于最低点，故B
0
正确；
建立如图所示的平面直角坐标系，
设点P距离水面的高度H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由
所以
又角速度ω＝＝(弧度/秒)，当t＝0时，∠tOP ＝，所以ω＝，φ＝－，
0
所以点P距离水面的高度H＝2sin＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所
以此时点P距离水面2米，故C正确；
将H＝1＋代入H＝2sin＋1中，得t－＝2kπ＋或t－＝2kπ＋，即t＝60k＋15或t＝60k＋
25(k∈N)．
所以点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒，故D正确．
思维升华 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形
结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题
抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练3 (1)(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数
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f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(
)
A．g为偶函数
B．g(x)的最小正周期是π
C．g(x)的图象关于直线x＝对称
D．g(x)在区间上单调递减
答案 B
解析 由图知，A＝2，f(0)＝－1，则2sin φ＝－1，
即sin φ＝－，因为－π<φ<－，所以φ＝－.
因为x＝为f(x)的零点，则－＝kπ(k∈Z)，得ω＝1＋(k∈Z)．
由图知，0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零
点，则实数ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 f(x)＝sin πωx－cos πωx＝2sin，
因为x∈(0,1)，
所以πωx－∈，
又因为函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，
由图象得3π<ωπ－≤，解得<ω≤，所以实数ω的取值范围是.
(3)(2022·南京模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种
时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温
上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内
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5～17时的气温T(单位： ℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin，则该景区这
天时钟花从开始开放到开始闭合约经历( )
A．1.4 h B．2.4 h C．3.2 h D．5.6 h
答案 B
解析 设t 时开始开放，t 时开始闭合，结合时钟花每天开闭一次，
1 2
可得20－10sin＝20，t∈[5,17]，
1
解得t＝9，
1
20－10sin＝28，t∈[5,17]，
2
∴sin＝－，
由sin ≈0.8得sin ≈－，
由t－＝得t＝∈[5,17]，
2 2
∴t－t＝＝2.4(h)．
2 1
课时精练
1．(2023·武汉模拟)为了得到y＝sin的图象，只需将y＝sin x图象上每一点的纵坐标不变(
)
A．每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度
B．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍
D．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的
答案 C
解析 y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，再向右平移个单
位长度得到y＝sin的图象，故A，B错误；y＝sin x的图象先向右平移个单位长度得到y＝
sin的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin的图象，故C正确，D错误．
2．(2023·烟台模拟)函数f(x)＝sin的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ个单位长度得到的，
若g＝－f ，则φ的值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为函数f(x)＝sin的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ个单位长度得到，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为g＝－f ，所以sin＝－.
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故可得－2φ＝2kπ－，k∈Z或－2φ＝2kπ－，k∈Z，
又0<φ<，所以φ＝.
3．(多选)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血
液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血
压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有
高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，
t＝0 h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝115＋20sin，则下列选项中
正确的是( )
A．当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升
B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C．当天陈华没有高血压
D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
答案 ABD
解析 由已知，选项A，当天早晨6～7点，则t∈[0,1]，t＋∈，所以函数p(t)在[0,1]上单调
递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；
选项 B，当 t＝3 时，p(t)＝115＋20sin ＝125，所以当天早晨 9 点时陈华的血压为 125
mmHg，故该选项正确；
选项C，D，因为p(t)的最大值为115＋20＝135，最小值为115－20＝95≥90，所以陈华的
收缩压为135 mmHg，舒张压为95 mmHg，因此陈华有高血压，故选项C错误；他的收缩
压与舒张压之差为40 mmHg，故选项D正确．
4．(2023·湘潭模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向
左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )
A．y＝－cos 2x B．y＝cos 2x
C．y＝sin D．y＝sin
答案 C
解析 观察图象得A＝1，令函数f(x)的周期为T，则有＝－＝，解得T＝π，则ω＝＝2，
而当x＝时，f(x) ＝1，则有2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，则φ＝，
max
因此，f(x)＝sin，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得f ＝sin，
所以将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin.
5．(2023·九江模拟)已知函数f(x)＝cos，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍
(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )
A．g(x)的最小正周期是2π
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B．g(x)的最小值为－2
C．g(x)在(0，π)上单调递增
D．g(x)的图象关于点对称
答案 C
解析 由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y＝cos；
再将所得图象向右平移个单位长度得
y＝cos＝cos，
所以g(x)＝cos，其最小正周期为4π，最小值为－1.排除A，B；
其单调递增区间为－π＋2kπ≤x－≤2kπ(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，C正确；
对称中心为x－＝－＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，所以其图象关于点(k∈Z)对称，排除
D.
6．已知函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单
位长度，所得图象关于直线x＝对称，则实数a的最小值为( )
A．π B. C. D.
答案 B
解析 函数f(x)＝－sin2ωx＝(ω>0)的最小正周期为＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝，
若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，可得y＝的图象，
再根据所得图象关于直线x＝对称，可得2×－2a＝kπ，k∈Z，
令k＝0，可得实数a的最小值为.
7．(2022·镇江模拟)已知函数f(x)＝2sin，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函
数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为________．
答案
解析 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得f ＝2sin，即g(x)＝2sin，由≤x＋≤，
x∈[0,2π]，得≤x≤.
8．(2023·芜湖模拟)函数y＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于y轴
对称，则φ＝________.
答案 －
解析 由y＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得f(x)＝sin＝sin的图象，
因为f(x)＝sin的图象关于y轴对称，
所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝－.
9．(2022·杭州模拟)求范围和图象：
(1)y＝sin x的函数图象先向左平移个单位长度，然后横坐标变为原来的，得到f(x)的图象，
求f(x)在上的取值范围；
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(2)如图所示， 请用“五点法”列表，并画出函数y＝2sin在一个周期内的图象．
2x＋
x
y
解 (1)由题设，可得f(x)＝sin，当x∈时，2x＋∈，
所以f(x)∈.
(2)
2x＋ 0 π 2π
x －
y 0 2 0 －2 0
所以y＝2sin的图象如图．
10．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m的最小值为－2.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝g(x)的图象，且函数y＝g(x)在上
单调递增，求ω的最大值．
解 (1)f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m＝sin ωx＋cos ωx＋1＋m＝2sin＋1＋m，
∵函数f(x)的最小值为－2，
∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1，
则f(x)＝2sin，
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∴函数f(x)的最大值为2.
(2)由(1)可知，把函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度，
可得函数y＝g(x)＝2sin ωx的图象．
∵y＝g(x)在上单调递增，
∴函数g(x)的周期T＝≥，∴ω≤4，即ω的最大值为4.
11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2
020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为( )
A．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
B．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
C．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
D．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
答案 D
解析 由图象知
∴ω＝，b＝1，A＝，
∴f(x)＝sin＋1.
由f(x)的图象过点得
sin＋1＝，
∴φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|<，则φ＝0.
∴f(x)＝sin x＋1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝＋＋＋＝4.
又2 024＝4×506，∴S＝4×506＝2 024.
12．(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝2sinsin＋sin x，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩
短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得的图象关于y轴对称，
则φ的值为( )
A. B．－ C. D.
答案 A
解析 由题意可知，
f(x)＝2sinsin＋sin x
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＝2sincos＋sin x
＝sin＋sin x＝cos x＋sin x＝2sin，
将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得y＝2sin的图象，
然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，
可得y＝2sin的图象，
因为所得的图象关于y轴对称，为偶函数，
所以4φ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝＋(k∈Z)，
取k＝0，得φ＝.无论k取任何整数，无法得到B，C，D的值．
13．(2023·大连模拟)如图为函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象，对于任意的x ，x∈[a，b]，
1 2
且x≠x，若f(x)＝f(x)，都有f(x＋x)＝，则φ＝________.
1 2 1 2 1 2
答案
解析 由三角函数的最大值可知A＝2，
不妨设＝m，则x＋x＝2m，
1 2
由三角函数的性质可知，
2m＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
则f(x＋x)＝2sin[2(x＋x)＋φ]
1 2 1 2
＝2sin(2×2m＋φ)
＝2sin[2×(2m＋φ)－φ]
＝2sin
＝2sin(4kπ＋π－φ)＝2sin φ＝，
则sin φ＝，结合|φ|≤，得φ＝.
14．风车发电是指把风的动能转化为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶
片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米．叶片按照逆时针方
向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点(P
离地面30米)，设点P离地面的距离为S(米)，转动时间为t(秒)，则S与t之间的函数解析式
为________，一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为________秒．
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答案 S＝60－30cos t(t>0) 4
解析 因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为rad/s，经过t秒时，叶片转过的圆心角
为t，此时离地面的高度为30＋30，故S＝60－30cos t(t>0)．
由S＝60－30cos t≥45，得cos t≤，
因为0≤t≤6，cos t≤，所以≤t≤，解得1≤t≤5，
故一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为4秒．
15．信息传递多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号(如y＝Asin(ωx＋φ) ，
某种“信号净化器”可产生形如y＝Asin(ωx＋φ)的波，只需要调整参数(A ，ω ，φ)，就
0 0 0 0 0 0
可以产生特定的波(与干扰波波峰相同，方向相反的波)来“对抗”干扰．现有波形信号的部
分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波(标准正弦函数图象)，应将波形净
化器的参数分别调整为( )
A．A＝，ω＝4，φ＝
0 0 0
B．A＝－，ω＝4，φ＝
0 0 0
C．A＝1，ω＝1，φ＝0
0 0 0
D．A＝－1，ω＝1，φ＝0
0 0 0
答案 B
解析 设干扰信号对应的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ).
由题图得，－＝T(T为干扰信号的周期)，
解得T＝，
∴ω＝＝＝4.
∵函数的最大值为，∴A＝.
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将代入y＝sin(4x＋φ)，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝sin.
∴欲消除y＝sin的波需要选择相反的波，即y＝－sin，
∴A＝－，ω＝4，φ＝.
0 0 0
16．(2023·湘潭模拟)若函数f(x)＝cos 2x＋sin在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为(
)
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意得，函数f(x)＝cos 2x＋sin＝sin，
因为0
