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必刷大题 17 解析几何
1．(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF与
C交于点Q(异于点P)．直线l与C相切于点P，与x轴交于点M.过点P作l的垂线交C于另
一点N.
(1)证明：线段MP的中点在定直线上；
(2)若点P的坐标为(2,2)，试判断M，Q，N三点是否共线．
解 (1)设P(x，y)，则y＝4x，
0 0 0
因为点P在第一象限，
所以y＝2，
0
对y＝2两边求导得y′＝，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－2＝(x－x)，
0
令y＝0，则x＝－x，
0
所以M(－x,0)，
0
所以线段MP的中点为，
所以线段MP的中点在定直线x＝0上．
(2)若P(2,2)，则M(－2,0)．
所以k ＝，k ＝2，
MP PF
因为PN⊥l，
所以k ＝－，
PN
所以直线PF：y＝2(x－1)，
直线PN：y＝－(x－4)．
由得2x2－5x＋2＝0，
所以x＝或2，
所以Q，
由得x2－10x＋16＝0，
所以x＝2或8，
所以N(8，－4)．
因为M(－2,0)，Q，N(8，－4)，
所以k ＝－，k ＝－，
MQ MN
所以M，Q，N三点共线．
2．(2023·石家庄模拟)已知E(，0)，F，点A满足|AE|＝|AF|，点A的轨迹为曲线C.
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(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线：－＝1交于M，N两点，且∠MON＝(O为坐标原点)，求
点A到直线l距离的取值范围．
解 (1)设A(x，y)，因为|AE|＝|AF|，
所以
＝×，
将等式两边平方后化简得x2＋y2＝1.
(2)将直线l：y＝kx＋m与双曲线－＝1联立，得⇒(4k2－9)x2＋8kmx＋4m2＋36＝0，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
所以有即m2＋9>4k2且k≠±，
所以x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
因为∠MON＝，
所以OM⊥ON，即OM·ON＝0，所以xx＋yy＝0⇒xx＋(kx＋m)·(kx＋m)＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
化简得(k2＋1)xx＋km(x＋x)＋m2＝0，
1 2 1 2
把x ＋x ＝－，xx ＝代入，得(k2＋1)·＋km·＋m2＝0，化简得 m2＝，因为 m2＋9>4k2且
1 2 1 2
k≠±，
所以有＋9>4k2且k≠±，解得k≠±，
圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，
圆心(0,0)到直线l：y＝kx＋m的距离为d＝＝＝>1，
所以点A到直线l距离的最大值为＋1，最小值为－1，
所以点A到直线l距离的取值范围为.
3．(2023·广州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点F(1,0)为椭圆的右焦点，过点F且斜率不
为0的直线l 交椭圆于M，N两点，当l 与x轴垂直时，|MN|＝3.
1 1
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)A ，A 分别为椭圆的左、右顶点，直线AM，AN分别与直线l ：x＝1交于P，Q两点，
1 2 1 2 2
证明：四边形OPA Q为菱形．
2
(1)解 由题可知c＝1.
当l 与x轴垂直时，不妨设M的坐标为，
1
所以
解得a＝2，b＝.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明 设l 的方程为x＝my＋1，M(x，y)，N(x，y)，
1 1 1 2 2
联立消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
易知Δ>0恒成立，由根与系数的关系得y＋y＝，yy＝，
1 2 1 2
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由直线AM的斜率为 ＝，得直线AM的方程为y＝(x＋2)，
1 1
当x＝1时，y ＝，
P
由直线AN的斜率为 ＝，得直线AN的方程为y＝(x－2)，
2 2
当x＝1时，y ＝，
Q
若四边形OPA Q为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证y ＋y ＝0，
2 P Q
因为y ＋y ＝＋＝＝，
P Q
则2myy－3(y＋y)＝2m·－3·＝＝0，
1 2 1 2
所以|PF|＝|QF|，即PQ与OA 相互垂直且平分，所以四边形OPA Q为菱形．
2 2
4．(2022·衡阳模拟)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，
|AB|＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为－.
①证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标；
②求△APQ面积的最大值．
(1)解 ∵e＝，|AB|＝，
∴a2＝4c2，a2＋b2＝7，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)①证明 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，
由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
设P(x，y)，Q(x，y)，则x＋x＝，xx＝，
1 1 2 2 1 2 1 2
又A(－2,0)，由题知k ·k ＝·＝－，
AP AQ
则(x＋2)(x＋2)＋4yy＝0，且x，x≠－2，
1 2 1 2 1 2
则x·x ＋2(x ＋x)＋4＋4(kx ＋m)(kx ＋m)＝(1＋4k2)xx ＋(2＋4km)(x ＋x)＋4m2＋4＝＋(2＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4km)·＋4m2＋4＝0，
则m2－km－2k2＝0，
∴(m－2k)(m＋k)＝0，
∴m＝2k或m＝－k.
当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，
此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
当m＝－k时，直线PQ的方程为
y＝kx－k＝k(x－1)．
此时直线PQ过定点(1,0)．
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当直线PQ的斜率不存在时，
若直线PQ过定点(1,0)，
P，Q的坐标分别为，.
满足k ·k ＝－.
AP AQ
综上，直线PQ过定点(1,0)．
②解 不妨设直线PQ过定点(1,0)为F.
则△APQ的面积S＝×|AF|×|y－y|＝|y－y|，
1 2 1 2
设直线PQ的方程为x＝my＋1，
联立椭圆的方程＋＝1，
消去x得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
则y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
∴S＝|y－y|
1 2
＝
＝
＝18.
令t＝m2＋1(t≥1)，
则S＝18＝18，
∵t≥1，
∴9t＋＋6≥16(当且仅当t＝1即m＝0时取等号)，
∴S≤，即△APQ面积的最大值为.
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