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§2.6 二次函数与幂函数
考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性
质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ( m ， n ) ．
零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x 为f(x)的零点．
1 2 1 2
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
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顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上单调递减； 在上单调递增；
单调性
在上单调递增 在上单调递减
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝ 是幂函数．( × )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.( √ )
(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )
(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．( × )
教材改编题
1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(8)的值等于( )
A. B．4 C．8 D.
答案 D
解析 设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以f(5)＝5α＝，
解得α＝－1，所以f(x)＝x－1，则f(8)＝8－1＝.
2．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 f(x)＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，故函数f(x)的对称轴为x＝－2，
又函数f(x)的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]．
3．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为( )
A．[－6,2] B．[－6,1]
C．[0,2] D．[0,1]
答案 A
解析 函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，
则f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，
∴f(x) ＝f(1)＝2，f(x) ＝f(－1)＝－2－4＝－6，
max min
即f(x)的值域为[－6,2].
题型一 幂函数的图象与性质
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例1 (1)若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( )
A．－11 D．n<－1，m>1
答案 B
解析 由图象知，y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，
所以m>0，
又y＝xm的图象增长得越来越慢，
所以m<1，
y＝xn在(0，＋∞)上单调递减，
所以n<0，
又当x>1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，
所以n<－1.
综上，n<－1，01的取值确定位置后，其余象限
部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
跟踪训练1 (1)已知幂函数 (p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则( )
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A．p为奇数，且p>0
B．p为奇数，且p<0
C．p为偶数，且p>0
D．p为偶数，且p<0
答案 D
解析 因为函数 的图象关于y轴对称，
所以函数 为偶函数，即p为偶数，
又函数 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且在(0，＋∞)上单调递减，
所以<0，
即p<0.
(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知函数y＝ (m∈Z)为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调
递减，则实数m的值可以为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 BC
解析 因为函数在区间(0，＋∞)上单调递减，
所以m2－5m＋4<0，解得10，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案 D
解析 因为abc>0，
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，
在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；
B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意；
C中，a>0，b>0，c<0，不符合题意；
D中，a>0，b<0，c<0，符合题意．
命题点2 二次函数的单调性与最值
例4 (2023·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
解 (1)当a>0时，
f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2，a>0，
解得0时，
f(x)在区间[1,2]上单调递增，
此时g(a)＝f(1)＝3a－2.
②当1≤≤2，即≤a≤时，
f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时g(a)＝f ＝2a－－1.
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③当>2，即00.
又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.
f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，
f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.
(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范
围是____．
答案 [2,4]
解析 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，
解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，
由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]．
若函数f(x)在区间[a，b]上单调，
则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；
若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，
且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，
所以b－a的最大值为4.
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所以b－a的取值范围是[2,4]．
课时精练
1．已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 f(x)＝x－2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故充分性不成立；
f(x)＝2x－1的图象过点(0,0)，但其不是幂函数，故必要性不成立．
所以p是q的既不充分也不必要条件．
2．(2023·保定检测)已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则( )
A．b0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，
故可排除A，D；
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对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应
排除B.
4．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x ，x ，
1 2
都有f(x)≠f(x)，则实数a的取值范围是( )
1 2
A．(－∞，0] B．[0,3]
C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．[3，＋∞)
答案 C
解析 二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，
∵对于任意x，x∈[－1,2]且x≠x，都有f(x)≠f(x)，
1 2 1 2 1 2
即f(x)在区间[－1,2]上是单调函数，
∴a－1≤－1或a－1≥2，
∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．
5．(多选)幂函数f(x)＝ 在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是(
)
A．m＝3
B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增
C．函数f(x)是偶函数
D．函数f(x)的图象关于原点对称
答案 ABD
解析 因为幂函数f(x)＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
所以解得m＝3，
所以f(x)＝x3，
所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递增．
6．(多选)若二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a等于( )
A．－ B. C．－5 D．5
答案 BC
解析 显然a≠0，有f(x)＝a(x＋1)2－a＋1，
当a>0时，f(x)在[－2,3]上的最大值为f(3)＝15a＋1，
由15a＋1＝6，解得a＝，符合题意；
当a<0时，f(x)在[－2,3]上的最大值为f(－1)＝1－a，
由1－a＝6，解得a＝－5，符合题意，
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所以a的值为或－5.
7．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意
x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x2－4x＋3
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3，
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，
∴a＝1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
8．(2022·人大附中质检)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则＋的最
小值为________．
答案 3
解析 因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则a>0，
所以f(x) ＝＝＝1，
min
即ac－1＝a，可得a＝>0，则c>1，
所以＋＝c＋－1≥2－1＝3，
当且仅当c＝2时，等号成立，
因此＋的最小值为3.
9．已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2) (m∈R)为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a的值．
解 (1)由幂函数可知2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝，
当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意；
当m＝时，f(x)＝x7，函数为奇函数，不符合题意，
故f(x)的解析式为f(x)＝x2.
(2)由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1.
函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)，
由题意得，在区间[0,4]上，f(x) ＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，
max
所以实数a的值为2.
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10．设二次函数f(x)满足：①当x∈R时，总有f(－1＋x)＝f(－1－x)；②函数f(x)的图象与x
轴的两个交点为A，B，且|AB|＝4；③f(0)＝－.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若存在t∈R，只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1成立，求满足条件的实数m的最
大值．
解 (1)由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且方程f(x)＝0的两根为－3和1，
设f(x)＝a(x＋3)(x－1)，
又f(0)＝－，则f(0)＝－3a＝－，解得a＝.
故f(x)＝x2＋x－.
(2)只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1，即x2＋2(t－1)x＋(t＋1)2≤0，
取x＝1，t2＋4t≤0，－4≤t≤0；
取x＝m，[m＋(t－1)]2≤－4t，即1－t－2≤m≤1－t＋2，
由－4≤t≤0得0≤－t≤4,1－t＋2≤1＋4＋2×＝9，
故当t＝－4时，m≤9；
当m＝9时，存在t＝－4，只要x∈[1,9]，
就有f(x－4)－(x－1)＝(x－1)(x－9)≤0成立，满足题意．
故满足条件的实数m的最大值为9.
11.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(01>a>0，当0(m2)b，ma>mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－
mb>0，所以ma＋mb＝1.
12．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最
小值为________．
答案 7
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解析 由题意有
且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，
解得m≤－2或m≥1，
α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，
令f(m)＝4m2＋2m＋1，
而f(m)图象的对称轴为m＝－，
且m≤－2或m≥1，
所以f(m) ＝f(1)＝7.
min
13．已知函数f(x)＝2ax2－2 022x－2 023，对任意t∈R，在区间[t－1，t＋1]上存在两个实数
x，x，使|f(x)－f(x)|≥1成立，则a的取值范围是( )
1 2 1 2
A.
B．[－1,1]
C．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞)
D.∪{0}∪
答案 D
解析 存在两个实数x，x，使|f(x)－f(x)|≥1⇔f(x) －f(x) ≥1，
1 2 1 2 max min
当a＝0时，f(x)＝－2 022x－2 023，f(t－1)－f(t＋1)＝2×2 022>1，显然符合；
当a≠0时，f(x)＝2ax2－2 022x－2 023与y＝2ax2的图象完全“全等”，
即可以通过平移完全重合．
因为t－1≤x≤t＋1且t∈R，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，
使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1，
因此取纵坐标之差最小的状态为f(x)＝2ax2(－1≤x≤1)，
当a>0时，此时f(x) －f(x) ＝2a－0≥1，
max min
故a≥；
当a<0时，此时f(x) －f(x) ＝0－2a≥1，
max min
故a≤－，
综上，a的取值范围是∪{0}∪.
14．已知函数f(x)＝x2－4x＋1，设1≤x
