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文档内容
公众号：高中试卷君
§3.4 函数中的构造问题
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也
在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等
式、恒成立等问题．
题型一 导数型构造函数
命题点1 利用f(x)与x构造
例1 (2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋
xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log ·f ，则a，b，c的大小关系是( )
2
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．c>a>b
答案 B
解析 因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，
令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，
由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减，
又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，
因为20.6>1,0b>a.
思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
跟踪训练1 (2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任
意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是( )
A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
答案 D
解析 令g(x)＝且x≠0，
则g′(x)＝，
又对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，
即当x>0时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
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由f(x)为偶函数，则g(－x)＝＝＝g(x)，所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，
则g(－1)＝g(1)＝＝0，且f(x)<0等价于g(x)＝<＝g(1)，
所以x∈(－1,0)∪(0,1)．
命题点2 利用f(x)与ex构造
例2 (2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－
f(x)<1，且f(0)＝2 022，则不等式f(x)＋1>2 023ex的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C. D．(－∞，1)
答案 A
解析 构造函数F(x)＝，
则F′(x)＝＝，因为f′(x)－f(x)<1，所以F′(x)<0恒成立，故F(x)＝在R上单调递减，f(x)
＋1>2 023ex可变形为>2 023，又f(0)＝2 022，所以F(0)＝＝2 023，
所以F(x)>F(0)，解得x<0.
思维升华 (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
跟踪训练2 (2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，
则f(x)>3e3－x的解集为________．
答案 (3，＋∞)
解析 设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
∴F(x)在R上单调递增．
又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.
∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，
即F(x)>F(3)，
∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．
命题点3 利用f(x)与sin x，cos x构造
例3 已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，当0φ，
即f ·sin>f ·sin ，
即－f >f ，
即f <－f ，∴a2b B．a<2b
C．a>b2 D．a0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则
a的最小值为________．
答案 e
解析 ∵xa＝ ＝ealn x，∴不等式即为ex－x≤ealn x－aln x，
∵a>0且x>1，∴aln x>0，设y＝ex－x，则y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递
增，
∴x≤aln x，即a≥，
即存在x∈(1，＋∞)，使a≥，∴a≥ ，
min
设f(x)＝(x>1)，则f′(x)＝，当x∈(1，e)时，f′(x)<0；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
∴f(x) ＝f(e)＝e，∴a≥e.
min
故a的最小值为e.
思维升华 指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另
一种是将x变成eln x然后构造函数．
跟踪训练4 (1)(多选)(2023·泰州模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则(
)
A．sin α>sin β B．cos α>cos β
C．cos αcos β
答案 CD
解析 ∵α＋β－>sin β－cos α，
∴β－sin β>－α－sin，
令f(x)＝x－sin x，x∈，f′(x)＝1－cos x>0，
∴f(x)在上单调递增，
∴β>－α，
∵α，β均为锐角，
∴cos βsin，
∴cos βcos α.
(2)(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeae B．b>ea
C．ab0，则bln b>0，则b>1.
当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0，
则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以ea0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
答案 A
解析 由2x－2y<3－x－3－y，
得2x－3－x<2y－3－y，
令f(t)＝2t－3－t，
∵y＝2t为R上的增函数，y＝3－t为R上的减函数，
∴f(t)为R上的增函数，
∴x0，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，则A正确，B错误；
∵|x－y|与1的大小不确定，故C，D无法确定．
3．(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′
(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是( )
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A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 B
解析 令g(x)＝f(x)－x2，
因为f(x)是偶函数，
则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，
所以函数g(x)也是偶函数，
g′(x)＝f′(x)－2x，
因为当x≥0时，f′(x)－2x>0，
所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，
由f(1)＝3，得g(1)＝2，
所以g(x)>g(1)，
所以|x|>1，解得x>1或x<－1，
所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
4．(2023·常州模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x>0时，f′(x)sin x＋
f(x)cos x>0，则下列说法正确的是( )
A．f <－f <－f
B．－f 0时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，即[f(x)sin x]′>0，
则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则有g＝g0，则( )
A．f ＋f(e)>0 B．f <0
C．f(e)>0 D．f(1)＝0
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答案 AC
解析 令函数g(x)＝ln x·f(x)，
则g′(x)＝＋ln x·f′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，
所以g(e)＝f(e)>0，g＝－f <0，
所以f ＋f(e)>0，f >0，f(1)的大小不确定．
6．若ln m－m＋2m2＝ln n－n＋2e2n2＋1，则( )
A.>e B.e D．m－n0，n>0，则ln m－m＋2m2＝ln n－n＋2e2n2＋1>ln(en)－en＋2e2n2，
构造函数f(x)＝2x2－x＋ln x，其中x>0，则f′(x)＝4x＋－1≥2－1＝3>0，
当且仅当x＝时，等号成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由ln m－m＋2m2>ln(en)－en＋2e2n2可得f(m)>f(en)，所以m>en>0，则>e，
故A对，B错，无法判断C，D选项的正误．
7．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)f(1)，f(2)>ef(1)
B．ef(2)>f(1)，f(2)ef(1)
D．ef(2)0.
构造函数h(x)＝exf(x)，定义域为R，
则h′(x)＝exf(x)＋f′(x)ex
＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，
所以h(x)在R上单调递减，
所以h(2)0，
所以g(x)在R上单调递增，
所以g(2)>g(1)，所以>，
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即f(2)>ef(1)，故D错误．
8．(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，则等于( )
2
A. B．1 C. D．2
答案 B
解析 由题意得log m＋2m＝2n＋1＋n，
2
log m＋2m＝2×2n＋n＝log 2n＋2×2n，
2 2
令g(x)＝log x＋2x(x>0)，
2
则g′(x)＝＋2>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为g(m)＝g(2n)，所以m＝2n，所以＝1.
9．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式
f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是________．
答案 (2，＋∞)
解析 根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，
所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，
所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
所以02，
所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．
10．(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值范围
为________．
答案 λ≥
解析 由题意，得eλx·λx≥xln x＝eln x·ln x，
令f(t)＝t·et，t∈(0，＋∞)，
则f′(t)＝(t＋1)·et>0，
所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(λx)≥f(ln x)，
即当x∈(1，＋∞)时，λx≥ln x，
即λ≥恒成立，
令g(x)＝，x∈(1，＋∞)，
则g′(x)＝，
所以在(1，e)上，g′(x)>0，则g(x)单调递增；
在(e，＋∞)上，g′(x)<0，则g(x)单调递减；
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所以g(x)≤g(e)＝，故λ≥.
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