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§3.3 导数与函数的极值、最值
考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函
数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问
题．
知识梳理
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝
0；而且在点x＝a附近的左侧 f ′ ( x )<0 ，右侧 f ′ ( x )>0 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，
f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝
0；而且在点x＝b附近的左侧 f ′ ( x )>0 ，右侧 f ′ ( x )<0 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，
f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b )比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件．
0 0
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．( √ )
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．( × )
(3)函数的极小值一定是函数的最小值．( × )
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．( √ )
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教材改编题
1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的
极小值点只有1个．
2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．
答案 (－∞，－)∪(，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
3．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
答案 4
解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)
在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)
max
＝f(0)＝4，所以m＝4.
题型一 利用导数求解函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 (多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判
断，其中正确的判断是( )
A．当x＝－1时，f(x)取得极小值
B. f(x)在[－2,1]上单调递增
C．当x＝2时，f(x)取得极大值
D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
答案 AC
解析 由导函数f′(x)的图象可知，
当－20，则f(x)单调递增；
当x＝2时，f′(x)＝0；
当20；当x∈时，f′(x)<0，
故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；
故f(x)在x＝－处取得唯一的极大值，且极大值为f ＝ln－－1.
若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值．
综上，当a<0时，f(x)的极大值为ln－－1，无极小值；当a>0时，f(x)无极值．
命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．2或6
答案 A
解析 由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以
c＝2或c＝6.
若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，
f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满
足题意；
若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,6)
时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2
处有极大值，不符合题意．
综上，c＝2.
(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B.
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C. D.
答案 D
解析 由f(x)＝ex－ax2－2ax，
得f′(x)＝ex－2ax－2a.
因为函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，
所以f′(x)＝ex－2ax－2a有两个变号零点，
令f′(x)＝0，得＝，
设g(x)＝，y＝；
则g′(x)＝－，
令g′(x)＝0，即－＝0，解得x＝0，
当x>0时，g′(x)<0；
当x<0时，g′(x)>0，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．
分别作出函数g(x)＝与y＝的图象，如图所示，
由图可知，0<<1，解得a>，
所以实数a的取值范围为.
思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值
为( )
A．－1或3 B．1或－3
C．3 D．－1
答案 C
解析 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取
得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①
f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，②
联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.
当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在
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上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极小值10，不符合题意；
当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单
调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意．
综上可得，a＝－6，b＝9.
则a＋b＝3.
(2)(2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝＋2kln x－kx，若 x＝2 是函数 f(x) 的唯一极值点，
则实数 k 的取值范围是 ( )
A．(0,2] B．[2，＋∞)
C. D.
答案 D
解析 由题意，f(x)＝＋2kln x－kx(x>0)，
f′(x)＝·，
令f′(x)＝0得x＝2或k＝，
令φ(x)＝(x>0)，
∴φ′(x)＝，
∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x) ＝φ(2)＝，
min
又当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，
∴若φ(x)＝k无实数根，则k<，
∵当k＝时，φ(x)＝k的解为x＝2，
∴实数k的取值范围是.
题型二 利用导数求函数最值
命题点1 不含参函数的最值
例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别
为( )
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
答案 D
解析 f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)·cos x＝(x
＋1)cos x，x∈[0,2π]．
令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝或x＝.
因为f ＝cos ＋sin ＋1
＝2＋，
f ＝cos ＋sin ＋1＝－，
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又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，
f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，
所以f(x) ＝f ＝2＋，
max
f(x) ＝f ＝－.故选D.
min
命题点2 含参函数的最值
例5 已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在上的最大值g(a)．
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
①若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当00，
所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．
(2)f′(x)＝，
当a≤时，f(x)在上单调递减，
所以f(x) ＝f ＝2－ae；
max
当时，f(x)＝2x－1－2ln x，
所以f′(x)＝2－＝，
当1时，f′(x)>0，
所以f(x) ＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
min
②当0ln e＝1.
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综上，f(x) ＝1.
min
(2)已知函数h(x)＝x－aln x＋(a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范围．
解 由题意得，h′(x)＝1－－＝＝，且定义域为(0，＋∞)，
①当a＋1≤0，即a≤－1时，h′(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，则h(x)在
[1，e]上单调递增，故h(x) ＝h(1)＝2＋a<0，解得a<－2；
min
②当a＋1>0，即a>－1时，在(0，a＋1)上，h′(x)<0，在(a＋1，＋∞)上，h′(x)>0，所以
h(x)在(0，a＋1)上单调递减，在(a＋1，＋∞)上单调递增，
若a＋1≤1，求得h(x) >1，不合题意；
min
若12，不合题意；
min
若a＋1≥e，即a≥e－1，
则h(x)在[1，e]上单调递减，
故h(x) ＝h(e)＝e－a＋<0，
min
得a>>e－1，
综上，a的取值范围为(－∞，－2)∪.
课时精练
1．(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点
B．f′(x)在x＝－1处取得极小值
C．f(x)在区间(－2,3)上单调递减
D．f(x)在x＝0处的切线斜率小于0
答案 BCD
解析 根据f′(x)的图象可得，在(－2,3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2,3)上单调递减，
∴f(x)在区间(－2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；
由f′(x)的图象易知B正确；
根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确．
2．函数f(x)＝x－sin x在上的极小值为( )
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A.－ B.－
C.－ D.－
答案 D
解析 由f(x)＝x－sin x，得f′(x)＝－cos x，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以是函数f(x)的极小值点，且极小值为f ＝－ .
3．已知x＝2是f(x)＝2ln x＋ax2－3x的极值点，则f(x)在上的最大值是( )
A．2ln 3－ B．－
C．－2ln 3－ D．2ln 2－4
答案 A
解析 由函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x，
可得f′(x)＝＋2ax－3，
因为x＝2是f(x)的极值点，
可得f′(2)＝1＋4a－3＝0，
解得a＝，
所以f′(x)＝＋x－3＝，x>0，
当≤x<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当10，函数f(x)单调递增，
由f(1)＝－，f(3)＝2ln 3－，
又由f(3)－f(1)＝2ln 3－＋＝2ln 3－2>2ln e－2＝0，
所以f(1)0)，
得f′(x)＝2ax－2＋＝(x>0)，
若函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x，x，
1 2
则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，
所以
解得00得x>或x<－；由f′(x)＝3x2－1<0得－0，f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f(x)在R
上有且只有一个零点，故B错误；
因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)
＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称
中心，故C正确；
假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点为(x ，y)，则f′(x)＝3x－1＝2，解得x ＝±1；
0 0 0 0
若x ＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x ＝－1，则切点坐标为(－
0 0
1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误．故选AC.
7．(2023·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝________.
答案 sin x(答案不唯一)
解析 正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，且存在极值．
8．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时
的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输
成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶．
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答案 80
解析 设全程运输成本为y元，
由题意，得y＝＝240，v>0，
y′＝240.
令y′＝0，得v＝80.
当v>80时，y′>0；当00.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝－＋2a2
＝
＝，x>0，
∵a>0，
∴－<0<.
∴在上，f′(x)<0，f(x)单调递减；
在上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由(1)可知，f(x) ＝f
min
＝aln ＋3a＋2a－4a
＝aln ＋a＝a(1－ln a)，
∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，
∴1－ln a>0，∴00时，φ′(x)＝ex＋e－x－2>0，
所以函数f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
故f′(x)>f′(0)＝0，
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故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2)解 由题意知，g(x)＝ex－ax2－2，
当a＝0时，g(x)＝ex－2单调递增，无极值点，
当a≠0时，g′(x)＝ex－2ax，
由g′(0)＝1，得x＝0不是极值点．
令ex－2ax＝0(x≠0)，得2a＝，
令h(x)＝，
则h′(x)＝，
当x<0时，h(x)<0，且h′(x)<0，
当a<0时，方程2a＝有唯一小于零的解，
故函数g(x)存在一个极值点；
当01时，h′(x)>0，
故函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(1)＝e为函数h(x)的极小值，
所以当02a，g′(x)＝ex－2ax>0，
当x>1时，>2a，g′(x)＝ex－2ax>0，
故函数g(x)无极值点．
当a>时，方程2a＝有两解，函数g(x)存在一个极大值点和一个极小值点．
综上，当a<0时，函数g(x)存在一个极值点，
当0≤a≤时，函数g(x)无极值点，
当a>时，函数g(x)存在一个极大值点和一个极小值点．
11．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A．ab
C．aba2
答案 D
解析 当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.
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图1 图2
综上，可知必有ab>a2成立．
12．已知函数f(x)＝若a0)，因为f(x)＝且a0)，则f′(t)＝et－1－，
当t∈(0,1)时，f′(t)<0，f(t)单调递减；当t∈(1，＋∞)时，f′(t)>0，f(t)单调递增，
所以f(t)在t＝1处取得极小值，也是最小值，f(1)＝e1－1＋＝2，因此b－a的最小值为2.
13.如图所示，已知直线y＝kx与曲线y＝f(x)相切于两点，函数g(x)＝kx＋m(m>0)，则对函数
F(x)＝g(x)－f(x)描述正确的是( )
A．有极小值点，没有极大值点
B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点
D．至少有一个极小值点和两个极大值点
答案 C
解析 由题意得，F(x)＝kx＋m－f(x)，
则F′(x)＝k－f′(x)，
设直线y＝kx与曲线y＝f(x)的两个切点的横坐标分别为x，x 且x0，在(x ，x)上F′(x)<0，在(x ，＋∞)
1 1 0 0 2 2
上F′(x)>0，
所以F(x)在(0，x)上单调递减，在(x ，x)上单调递增，在(x ，x)上单调递减，在(x ，＋∞)
1 1 0 0 2 2
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上单调递增．
故F(x)至少有两个极小值点和一个极大值点．
14．设函数f(x)＝mx2ex＋1，若对任意a，b，c∈[－3,1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作为一个三
角形的三边长，则m的取值范围为________．
答案
解析 设函数g(x)＝x2ex，x∈[－3,1]，则g′(x)＝x(x＋2)ex.
当－3≤x<－2或00，g(x)单调递增；
当－2me＋1，解得0≤m<；
当m<0时，2(me＋1)>1，解得－
