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§2.5 二次函数与幂函数
考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性
质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ( m ， n ) ．
零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x 为f(x)的零点．
1 2 1 2
(2)二次函数的图象和性质
y＝ax2＋bx＋c y＝ax2＋bx＋c
函数
(a>0) (a<0)
图象
(抛物线)
定义域 R值域
对称轴 x＝－
顶点
坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上单调递减； 在上单调递增；
单调性
在上单调递增 在上单调递减
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝ 是幂函数．( × )
(2)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．( × )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.( √ )
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × )
教材改编题
1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f 等于( )
A．－ B.
C．± D.
答案 B
解析 设f(x)＝xα，
∴2α＝，α＝，
∴f(x)＝ ，
∴f ＝.
2．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上单调，则实数k的取值范围为________．
答案 (－∞，40]∪[160，＋∞)
解析 依题意知，≥20或≤5，
解得k≥160或k≤40.
3．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，
则函数解析式为________．
答案 f(x)＝x2－4x
解析 因为y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，
所以可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，
又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，
所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.题型一 幂函数的图象与性质
例1 (1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情
况为( )
A．－10时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，
∴0f(8x－16)的解集是( )
A. B．(0,2]
C. D．[2，＋∞)
答案 A
解析 因为函数f(x)＝ 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)>f(8x－16)，
所以即2≤x<，
所以不等式的解集为.
思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，
即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限
部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
跟踪训练1 (1)(2022·宝鸡检测)已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则( )
A．b0
B．q为偶数，p为奇数，且<0C．q为奇数，p为偶数，且>0
D．q为奇数，p为偶数，且<0
答案 D
解析 因为函数y＝ 的图象关于y轴对称，于是函数y＝ 为偶函数，即p为偶数，
又函数y＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有<0，
又因为p，q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确．
题型二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函
数的解析式．
解 方法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为
f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，
所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以f(x)＝a2＋8.
因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三 (利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x＝2，x＝－1，
1 2
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，
即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)．
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
教师备选若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，
4]，则函数解析式f(x)＝________.
答案 －2x2＋4
解析 f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)
＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.
∵f(－x)＝f(x)，
∴2a＋ab＝0，
∴f(x)＝bx2＋2a2.
∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，
∴b<0，且2a2＝4，
∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.
思维升华 求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知
顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜
选用零点式．
跟踪训练2 (1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于( )
A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1
C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1
答案 B
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，
由f(x)＝x2＋f′(x)－1可得
ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋(b－1)，
所以
解得
因此，f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被 x轴截得的线段长为 2，并且对任意
x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x2－4x＋3
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3，
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，∴a＝1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
题型三 二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的图象
例3 设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案 D
解析 因为abc>0，
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，
在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；
B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意；
C中，a>0，c<0，b>0，不符合题意，故选D.
命题点2 二次函数的单调性与最值
例4 已知函数f(x)＝x2－tx－1.
(1)若f(x)在区间(－1,2)上不单调，求实数t的取值范围；
(2)若x∈[－1,2]，求f(x)的最小值g(t)．
解 f(x)＝x2－tx－1＝2－1－.
(1)依题意，－1<<2，
解得－20，
∴f(2)>f(－1)，
∴f(x) ＝f(2)＝3－2t，
max
综上有G(t)＝
教师备选
1．(多选)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1,0)，顶点坐标为(1，n)，与y
轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )
A．当x>3时，y<0 B．4a＋2b＋c＝0
C．－1≤a≤－ D．3a＋b>0
答案 AC
解析 依题意知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1,0)，顶点坐标为(1，n)，
∴函数与x轴的另一交点为(3,0)，
∴当x>3时，y<0，故A正确；
当x＝2时，y＝4a＋2b＋c>0，故B错误；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1,0)，且a<0，
∴a－b＋c＝0，
∵b＝－2a，∴a＋2a＋c＝0，
∴3a＋b<0，c＝－3a，
∵2≤c≤3，∴2≤－3a≤3，
∴－1≤a≤－，
故C正确，D错误．
2．(2022·沈阳模拟)已知f(x)＝ax2－2x＋1.
(1)若f(x)在[0,1]上单调，求实数a的取值范围；
(2)若x∈[0,1]，求f(x)的最小值g(a)．解 (1)当a＝0时，f(x)＝－2x＋1单调递减；
当a>0时，f(x)的对称轴为x＝，且>0，
∴≥1，即00时，f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x＝.
(ⅰ)当<1，即a>1时，f(x)＝ax2－2x＋1图象的对称轴在[0,1]内，
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．
∴f(x) ＝f ＝－＋1＝－＋1.
min
(ⅱ)当≥1，即00时，f(x)＝x2＋ax＋2，
对称轴为x＝－，∴2≤－≤3，
解得－6≤a≤－4.
(2)(2022·抚顺模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上有最大值6，最小值5，则实
数m的取值范围是________．
答案 [1,2]解析 由题意知，f(x)＝－(x－1)2＋6，
则f(0)＝f(2)＝5＝f(x) ，
min
f(1)＝6＝f(x) ，
max
函数f(x)的图象如图所示，
则1≤m≤2.
课时精练
1．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x
B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x
D．g(x)＝－3x2－2x
答案 B
解析 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
设二次函数为g(x)＝ax2＋bx，
可得
解得a＝3，b＝－2，
所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x.
2．(2022·延吉检测)若函数y＝ 为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
则实数m的值为( )
A．0 B．1或2 C．1 D．2
答案 C
解析 由于函数y＝ 为幂函数，
所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，y＝x－1＝，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．
当m＝2时，y＝x4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．
3．(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝x2－2mx－m＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m的值为(
)
A．－2或1 B．－2
C．1 D．1或2
答案 A
解析 因为f(x)＝x2－2mx－m＋2＝(x－m)2－m2－m＋2≥－m2－m＋2，且函数f(x)＝x2－2mx
－m＋2的值域为[0，＋∞)，
所以－m2－m＋2＝0，解得m＝－2或m＝1.
4．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－
1.下面四个结论中正确的是( )
A．b2<4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a0，
所以b2>4ac，故选项A不正确；
对于B，因为b＝2a，
所以2a－b＝0，故选项B不正确；
对于C，因为a－b＋c＝a－2a－3a＝－4a>0，
故选项C不正确；
对于D，因为a<0，
所以5a<2a＝b，故选项D正确．
5．(多选)(2022·宜昌质检)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x ，x ，以下结论正确的是(
1 2
)
A．a<1B．若xx≠0，则＋＝
1 2
C．f(－1)＝f(3)
D．函数y＝f(|x|)有四个零点
答案 ABC
解析 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a>0，a<1，故A正确；
由根与系数的关系得，x＋x＝2，xx＝a，
1 2 1 2
＋＝＝ ，故B正确；
因为f(x)的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；
当a<0时，y＝f(|x|)只有两个零点，故D不正确．
6．(多选)已知幂函数f(x)＝ ，对任意x ，x∈(0，＋∞)，且x≠x ，都
1 2 1 2
满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的有( )
A．a＋b>0且ab<0
B．a＋b<0且ab<0
C．a＋b<0且ab>0
D．以上都可能
答案 BC
解析 因为f(x)＝ 为幂函数，
所以m2－m－1＝1，
解得m＝2或m＝－1.
依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以m＝2，此时f(x)＝x3，
因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
所以f(x)＝x3为奇函数．
因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，
所以f(a)2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成
立”的( )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若f(x)<0对x∈[1,3]恒成立，
则
解得m>3，
{m|m>3}是{m|m>2}的真子集，
所以“m>2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．
12. 幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，
设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，
即有BM＝MN＝NA，那么a－等于( )A．0 B．1 C. D．2
答案 A
解析 由BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，
∴M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得a＝ ，b＝ ，
∴a－＝ － ＝0.
13．(多选)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有( )
A．存在实数k，使得方程无实根
B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根
D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
答案 AB
解析 设t＝x2－2x，
方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0.(*)
当k>1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；
当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1；
当k<1时，方程(*)有两个实根t，t(t－1.
1 2 1 2
因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以x2－2x＝t 无实根，x2－2x＝t 有两个不同的实根．
1 2
综上可知，A，B项正确，C，D项错误．
14．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值
为________．
答案 7
解析 由题意有
且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，
解得m≤－2或m≥1，
α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，
令f(m)＝4m2＋2m＋1，
而f(m)图象的对称轴为m＝－，且m≤－2或m≥1，
所以f(m) ＝f(1)＝7.
min
15．(2022·台州模拟)已知函数 f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)是偶函数，则 f(x)的值域是
________．
答案 [－16，＋∞)
解析 因为f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)
＝(x－3)(x＋1)(x2＋ax＋b)是偶函数，
所以有
代入得
解得
所以f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋2x－3)
＝(x2－3)2－4x2＝x4－10x2＋9
＝(x2－5)2－16≥－16.
16．已知a，b是常数且a≠0，f(x)＝ax2＋bx且f(2)＝0，且使方程f(x)＝x有等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m，n(m
