§2.6 指数与指数函数
考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特
殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂， ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂， ＝ ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是
R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域 (0 ，＋ ∞ )
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
性质
当x>0时， y >1 ； 当x<0时， y >1 ；当x<0时， 当x>0时，
0< y <1 0< y <1
在(－∞，＋∞)上是减函
在(－∞，＋∞)上是增函数
数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即
在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( √ )
(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )
教材改编题
1．化简 的结果为( )
A．5 B.
C．－ D．－5
答案 B
解析 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝.
2．函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
答案 (1,3)
3．已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是________．
答案 c<b<a
解析 ∵y＝x是R上的减函数，∴ > >0，即a>b>1，
又c＝ <0＝1，
∴c<b<a.
题型一 指数幂的运算
例1 (1)(2022·沧州联考) (a>0，b>0)＝________.
答案
解析 原式＝ ＝.
(2)若 ＋ ＝3(x>0)，则 ＝________.
答案
解析 由 ＋ ＝3，
两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47，
∴x2＋x－2－2＝45.
＋ ＝ ＋
＝ (x－1＋x－1)
＝3×(7－1)＝18.
∴ ＝.
教师备选(2022·杭州模拟)化简 (a>0，b>0)的结果是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ＝
＝
＝ab－1＝.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计
算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1 (1)已知a>0，则 化为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 原式＝ ＝
＝ ＝ .
(2)计算： －0＋＋ ＝________.
答案 π＋8
解析 原式＝ －1＋|3－π|＋23＝4－1＋π－3＋8＝π＋8.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．a<b<0C．0<a<b D．0<b<a
答案 ABD
解析 如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故选ABD.
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案 (0,2)
解析 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．
∴b的取值范围是(0,2)．
教师备选
在同一直角坐标系中，指数函数y＝x，二次函数y＝ax2－bx的图象可能是( )
答案 B
解析 指数函数y＝x的图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y＝ax2－bx＝
(ax－b)x，有零点，0.
A，B选项中，指数函数y＝x在R上单调递增，故>1，故A错误，B正确．
C，D选项中，指数函数y＝x在R上单调递减，故0<<1，故C，D错误．
思维升华 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，
通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
跟踪训练2 (1)(2022·吉林模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则
函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
答案 A
解析 由图象可知，b<－1,0<a<1，
所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，
g(0)＝1＋b<0，所以选项A符合．
(2)(2022·哈尔滨模拟)若存在正数x使ex(x＋a)<1成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，1)
C. D．(－∞，－1)
答案 B
解析 由题设知，∃x>0使x＋a<e－x成立，
令y＝x＋a，y＝e－x，
1
∴x>0时有y＝e－x∈(0,1)，
1
而y＝x＋a∈(a，＋∞)，
∴当a<1时，∃x>0，使得ex(x＋a)<1成立．
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小例3 (1)(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
答案 B
解析 ∵函数y＝0.3x在R上是减函数，
∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，
又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
0．3<0.7，
∴0<0.30.3<0.70.3，
∴0<a<b<1，
而函数y＝1.2x是R上的增函数，
∴c＝1.20.3>1.20＝1，∴c>b>a.
(2)(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
答案 A
解析 设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增．
原式等价于2x－3－x<2y－3－y，
即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确．
因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确．
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 (1)(2022·长岭模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
答案 D
解析 ∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7.
∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.
∴x≤0或1≤x≤2.
(2)当0<x<时，方程ax＝(a>0且a≠1)有解，则实数a的取值范围是______．
答案 (4，＋∞)
解析 依题意，当x∈时，y＝ax与y＝有交点，作出y＝的图象，如图，所以 解得a>4.
命题点3 指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围
是________．
答案 (－∞，4]
解析 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t是增函
数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，
即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
教师备选
1．(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B.
C．1.70.3>0.93.1 D.
答案 BCD
解析 ∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确；
＝ ，y＝x为减函数，
∴ ＝ ，故B正确；
∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，
∴1.70.3>0.93.1，故C正确；
∵y＝x为减函数，∴ ，
又y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，∴ ，
∴ ，故D正确．
2．(2022·泸州模拟)已知函数 f(x)＝ex－，若 f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数 a 的取值范围是
______．
答案 [－2,1]
解析 因为f(x)＝ex－，定义域为R，
f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，
所以f(x)＝ex－为奇函数．
又因为f(x)＝ex－在R上为增函数，
所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)
≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)，
即a－2≤－a2，a2＋a－2≤0，
解得－2≤a≤1.
思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，
比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、
最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练3 (1)设m，n∈R，则“m<n”是“m－n>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 m－n>1，即m－n>0，
∴m－n<0，∴m<n.
故“m<n”是“m－n>1”的充要条件．
(2)已知函数f(x)＝ ，若f(x)有最大值3，则a的值为________．
答案 1
解析 令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，
∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，则解得a＝1.
课时精练
1．(2022·佛山模拟)已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则( )
A．c<b<a B．a<b<c
C．b<a<c D．c<a<b
答案 A
解析 因为a＝ ＝ ，b＝ ，
所以a＝ > ＝b，
因为b＝ ＝ ＝ ，
c＝ ＝ ＝ ，则b>c.
综上所述，a>b>c.
2．若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则( )
A．a>1，b>1 B．a>1,0<b<1
C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1
答案 D
解析 根据图象，函数f(x)＝ax－b是单调递减的，
所以指数函数的底数a∈(0,1)，
根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0,1)，
解得b∈(0,1)，
即a∈(0,1)，b∈(0,1)．
3．(2022·福建三明一中检测)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，
则a的值是( )
A.或 B.或2C. D．2
答案 B
解析 当a>1时，函数单调递增，
f(x) ＝2f(x) ，
max min
∴f(2)＝2f(1)，
∴a2＝2a，∴a＝2；
当0<a<1时，函数单调递减，
f(x) ＝2f(x) ，
max min
∴f(1)＝2f(2)，∴a＝2a2，∴a＝，
综上所述，a＝2或a＝.
4．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本
0
再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠
肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的
变化规律，指数增长率 r与R ，T近似满足R ＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R ＝
0 0 0
3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1倍需要的时间约为(ln
2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
答案 B
解析 由R＝1＋rT，R＝3.28，T＝6，
0 0
得r＝＝＝0.38.
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t)＝2I(t)，
2 1
即 ＝ ，
所以 ＝2，
即0.38(t－t)＝ln 2，
2 1
所以t－t＝≈≈1.8.
2 1
5．(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图
象与函数解析式对应正确的是( )答案 ABD
解析 由图可得a1＝2，即a＝2，
y＝a－x＝x单调递减，且过点(－1,2)，故A正确；y＝x－a＝x－2为偶函数，在(0，＋∞)上单调
递减，
在(－∞，0)上单调递增，故B正确；
y＝a|x|＝2|x|＝为偶函数，
结合指数函数图象可知C错误；
y＝|log x|＝|log x|，
a 2
根据“上不动、下翻上”可知D正确．
6．(多选)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为(
)
A. B．2
C．3 D.
答案 AC
解析 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1
＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，
所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以y ＝(a＋1)2－2＝14，
max
解得a＝3(负值舍去)．
当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，
所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则y ＝2－2＝14，
max
解得a＝ (负值舍去)．
综上知a＝3或a＝.7．已知a>0，b>0，则 ＝______.
答案 1
解析
＝
＝
＝ ＝1.
8．已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0)
解析 当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，
当a≤x<0时，f(x)∈，
所以[－8,1]，
即－8≤－<－1，即－3≤a<0.
所以实数a的取值范围是[－3,0)．
9．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)因为f(x)的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
所以所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，
x＋x－m≥0恒成立，
即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．又因为y＝x与y＝x在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝x＋x在(－∞，1]上也单调递减，所以
当x＝1时，y＝x＋x有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
10．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，所以k＝2.
(2)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，
∵f(1)<0，
∴a－<0，又a>0，且a≠1，
∴0<a<1，
而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0
可化为f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2<m<1，
∴实数m的取值范围是(－2,1)．
11．已知0<a<b<1，则( )
A． >(1－a)b
B．(1－a)b>
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
答案 D
解析 因为0<a<1，所以0<1－a<1，
所以y＝(1－a)x是减函数，又0<b<1，
所以>b，b>，
所以 <(1－a)b，(1－a)b< ，所以A，B均错误；
又1<1＋a<1＋b，
所以(1＋a)a<(1＋b)a<(1＋b)b，
所以C错误；
因为0<1－b<1－a<1，
所以(1－a)a>(1－a)b>(1－b)b，所以D正确．
12．(多选)(2022·南京模拟)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共
点，则a的取值可以是( )
A. B. C. D．2
答案 AB
解析 ①当a>1时，由图象得0<2a<1，
∴0<a<，
∵a>1，∴此种情况不存在；
②当0<a<1时，由图象得0<2a<1，
∴0<a<，
∵0<a<1，∴0<a<.
13．(2022·大连模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]
称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝
[f(x)]的值域为( )
A．{0} B．{－1,0}
C．{－2，－1,0} D．{－1,0,1}
答案 C
解析 f(x)＝－
＝－
＝－＋，∵ex>0，∴ex＋1>1，
∴0<<2，
∴－2<－<0，
∴f(x)∈，
∴[f(x)]为－2或－1或0.
14．(2022·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x 满足f(－x)＝－f(x)，则称函
0 0 0
数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
则实数m的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
∴存在x∈[－1,1]满足f(－x)＝－f(x)，
0 0 0
∴ ＋m－1＝－ －m＋1，
∴2m＝－ － ＋2，
构造函数y＝－ － ＋2，x∈[－1,1]，
0
令t＝ ，t∈，
y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，
在(1,3]上单调递减，∴t＝1取得最大值0，
t＝或t＝3取得最小值－，y∈，
∴－≤2m<0，
∴－≤m<0.
15．(2022·重庆南开中学月考)定义在R上的函数f(x)单调递增，且对∀x∈R，有f(f(x)－2x)
＝3，则f(log 3)＝________.
4
答案 ＋1
解析 根据题意，对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，
又∵f(x)是定义在R上的增函数，
∴在R上存在常数a使得f(a)＝3，
∴f(x)＝2x＋a，∴f(a)＝2a＋a＝3，
解得a＝1，
∴f(x)＝2x＋1，
∴f(log 3)＝ ＋1＝＋1.
4
16．(2022·上海模拟)已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数，a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)－k·f(x)＝3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围．
解 (1)∵函数f(x)＝2x＋a·2－x的定义域为x∈R，
又∵f(－x)＝2－x＋a·2x，
∴①当f(－x)＝f(x)，
即2－x＋a·2x＝2x＋a·2－x时，可得a＝1，
即当a＝1时，函数f(x)为偶函数；
②当f(－x)＝－f(x)，
即2－x＋a·2x＝－(2x＋a·2－x)
＝－2x－a·2－x时，
可得a＝－1，
即当a＝－1时，函数f(x)为奇函数．
(2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a＝1，
即f(x)＝2x＋2－x，
f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2，
由题可得，
(2x＋2－x)2－2－k(2x＋2－x)＝3 (2x＋2－x)2－k(2x＋2－x)－5＝0，
令t＝2x＋2－x，
⇔
则有t2－kt－5＝0，
∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，
根据对勾函数的性质可知，2x＋2－x∈，
即t∈，
方程t2－kt－5＝0在t∈上有实数根，
则k＝＝t－，
令φ(t)＝t－，
∴φ(t)在上单调递增，
且φ(2)＝－，φ＝，
∴－≤k≤，
∴实数k的取值范围是.
