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§2.6 二次函数与幂函数
课标要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性
质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y ＝ x α 称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ( m ， n ) ．
零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x 为f(x)的零点．
1 2 1 2
(2)二次函数的图象和性质
y＝ax2＋bx＋c y＝ax2＋bx＋c
函数
(a>0) (a<0)
图象
(抛物线)
定义域 R值域
对称轴 x＝－
顶点
坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上单调递减； 在上单调递增；
单调性
在上单调递增 在上单调递减
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝ 是幂函数．( × )
(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.( √ )
(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )
(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．( × )
2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2)，则f(9)的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．9
答案 B
解析 设幂函数为f(x)＝xa，图象过点(8,2)，
故f(8)＝8a＝2，故a＝，
f(x)＝ ，f(9)＝＝3.
3．(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为( )
A．(2,10) B．[1,2)
C．[2,10] D．[1,10)
答案 D
解析 当x∈(－2,2)时，－30时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C 的n＝2，C 的n＝；
1 2
当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C 的n＝－，C 的n＝－2.
3 4
(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，
所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，
解得n＝1或n＝2，
当n＝1时，f(x)＝x－1＝在(0，＋∞)上单调递减；当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增．
所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件．
思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，
即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限
部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
跟踪训练1 (1)幂函数y＝ (0≤m≤3，m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上
单调递增，则m的值为( )
A．0 B．2 C．3 D．2或3答案 D
解析 当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；
当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；
当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；
当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y＝ (m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则( )
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且<1
C．m是偶数，n是奇数，且>1
D．m，n是奇数，且>1
答案 B
解析 由幂函数性质可知，y＝ 与y＝x的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐
标为(1,1)，
当0x，则<1；
又y＝ 的图象关于y轴对称，
∴y＝ 为偶函数，
∴ ＝＝ ＝，
又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数．
题型二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函
数的解析式．
解 方法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为
f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，
所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，
所以n＝8，
所以f(x)＝a2＋8.
因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三 (利用“零点式”解题)
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x＝2，x＝－1，
1 2
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4.
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
思维升华 求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个
根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________．
答案 f(x)＝x2－4x＋3
解析 依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，
由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，
所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，
所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，
令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，
所以ax2－4ax＋3＝0，
设方程的两根为x，x，
1 2
则x＋x＝4，xx＝，
1 2 1 2
所以x＋x＝(x＋x)2－2xx＝16－，
1 2 1 2
所以16－＝10，解得a＝1，所以f(x)＝x2－4x＋3.
题型三 二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的图象
例3 (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正
确的是( )
A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0
答案 ACD
解析 由二次函数的图象开口向下知a<0，对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0.
又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.
f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.
命题点2 二次函数的单调性与最值
例4 (2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
解 (1)由题意知a≠0.
当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2，
又a>0，所以01时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝
2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；
②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1
－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；
③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，
若0≤b≤，则f(1)≥f(0)，有M＝f(1)＝1－2b＋3a，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a
无关，与b有关，
若b>，则f(1)0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图
中不符合；
对于C，二次函数的图象开口向上，所以 a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图
中符合；
对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图
中符合．
5．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上的值域为[5,6]，则实数m的取值范围是(
)
A．(0,1] B．[1,3]
C．(0,2] D．[1,2]
答案 D
解析 f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，
f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，画出f(x)的图象如图所示，
由于f(x)在区间[0，m]上的值域为[5,6]，
由图可知，m的取值范围是[1,2]．
6．(2024·榆林模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(a>0)，实数m满足f(m)<0，则下列关系一定成
立的是( )
A．f(m＋1)>0 B．f(m＋2)>0
C．f(m－1)<0 D．f(m－2)<0答案 B
解析 函数f(x)＝x2－2x＋a在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
f(m)＝m2－2m＋a<0，
故m2－2m<－a<0，解得0f(2)＝a>0，B正确；
m－2∈(－2,0)，f(m－2)>f(0)＝a>0，D错误；
取a＝，m＝，f(m)＝－<0，满足条件，
f(m＋1)＝f ＝－<0，A错误；
f(m－1)＝f ＝>0，C错误．
二、多项选择题
7．设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案 AB
解析 A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意；
B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意；
C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意；
D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合题意．
8．下列说法正确的是( )
A．若幂函数的图象经过点，则其解析式为y＝
B．若函数f(x)＝ ，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减
C．幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0,0)和(1,1)
D．若幂函数f(x)＝(2m2－2m－3)xm的图象关于y轴对称，则f(－a2＋2a－5)>f(3)
答案 CD
解析 A选项，设f(x)＝xα，将代入得α＝2，即(2－3)α＝2，
解得α＝－，故解析式为y＝f(x)＝ ，A错误；
B选项，因为－<0，所以f(x)＝ 在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝ ＝f(x)，
故f(x)＝ 为偶函数，故f(x)＝ 在(－∞，0)上单调递增，B错误；
C选项，因为α>0，所以0α＝0,1α＝1，
故幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0,0)和(1,1)，C正确；
D选项，由题意得2m2－2m－3＝1，解得m＝2或－1，
当m＝2时，f(x)＝x2为偶函数，满足图象关于y轴对称，
当m＝－1时，f(x)＝x－1为奇函数，不满足图象关于y轴对称，舍去，
其中－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4≤－4恒成立，
故|－a2＋2a－5|＝(a－1)2＋4≥4>3，
又f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(－a2＋2a－5)>f(3)，D正确．
三、填空题
9．(2023·大庆模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，
则f(2)＝________.
答案 211
解析 由题意可知
解得m＝2，所以f(x)＝x11，f(2)＝211.
10．已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的表
达式为____________________．
答案 y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋
解析 因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，
所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，
展开得y＝ax2＋2ax－3a，
顶点的纵坐标为＝－4a，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，
所以|－4a|＝2，即a＝±，
所以二次函数的表达式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[2，＋∞)，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(x)在[m，n]
上的值域为[2,6]，则n－m的最大值为________．
答案 4
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)，可得函数的对称轴为直线x＝1.
由函数f(x)＝x2＋ax＋b，得－＝1，a＝－2，
所以f(x)＝x2－2x＋b.
因为f(x)的值域为[2，＋∞)，所以f(1)＝12－2×1＋b＝1－2＋b＝2，可得b＝3，
故f(x)＝x2－2x＋3.
若f(x)在[m，n]上的值域为[2,6]，
令x2－2x＋3＝6，解得x＝3或x＝－1.
所以m最小为－1，n最大为3，
则n－m的最大值为4.
12．(2023·乐山模拟)幂函数y＝xm(m≠0)，当m取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象
是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数
y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则αβ＝________.
答案 1
解析 因为A(1,0)，B(0,1)，BM＝MN＝NA，
所以M，N，
不妨设y＝xα，y＝xβ分别过M，N，
则＝α，＝β，
则＝α＝α＝αβ，
所以αβ＝1.
四、解答题
13．已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上单调递减．
(1)求m的值；
(2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范围．
解 (1)由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3.
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m＋2<0，即m<－2，
则m＝－3.
(2)设g(x)＝x3，则g(x)是增函数．
由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m，即(2a－1)3<(a＋3)3，
则2a－10)，
由已知可得二次函数图象的顶点坐标为，
代入得－＝a××，解得a＝2，
所以二次函数的解析式为y＝2x(x－5)，即y＝2x2－10x.
(2)由(1)知y＝2x2－10x＝22－，
其图象开口向上，对称轴为直线x＝，
当t＋1≤，即t≤时，y＝2x2－10x在[t，t＋1]上单调递减，
所以当x＝t＋1时，y＝2x2－10x取得最小值，
所以2(t＋1)2－10(t＋1)＝－12，解得t＝1或t＝2(舍去)，所以t＝1；
当t<0
1 2 1 2
B．当a<0时，x＋x>0，y＋y<0
1 2 1 2
C．当a>0时，x＋x<0，y＋y<0
1 2 1 2
D．当a>0时，x＋x>0，y＋y>0
1 2 1 2
答案 B
解析 令f(x)＝g(x)，可得＝ax＋b.
设F(x)＝，G(x)＝ax＋b，
根据题意，F(x)的图象与G(x)＝ax＋b的图象只有两个交点，
不妨设x0时(如图1)，
1 2
G(x)＝ax＋b的图象与F(x)图象的左支相切，与右支有一个交点，
根据对称性可得|x|>x，即－x>x>0，此时x＋x<0，y＝>＝－y，
1 2 1 2 1 2 2 1
∴y＋y>0，
1 2同理可得，当a<0时(如图2)，
x＋x>0，y＋y<0.
1 2 1 2
16．(多选)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有( )
A．存在实数k，使得方程无实根
B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根
D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
答案 AB
解析 设t＝x2－2x，
方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0.(*)
当k>1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；
当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1；
当k<1时，方程(*)有两个实根t，t(t－1.
1 2 1 2
因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以x2－2x＝t 无实根，x2－2x＝t 有两个不同的实根．
1 2
综上可知，A，B项正确，C，D项错误．
