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训练 13 三角恒等变换
一、单项选择题
1．已知sin α－2cos α＝0，则tan等于( )
A．－4 B．4 C．－ D.
答案 C
解析 已知sin α－2cos α＝0，则tan α＝2，
∴ tan＝＝＝＝－.
2．(2023·扬州模拟)已知角α的终边在直线y＝x上，则cos的值为( )
A．－ B．－ C．± D．±
答案 A
解析 因为角α的终边在直线y＝x上，
所以tan α＝，则α为第一或第三象限角．
当α为第一象限角时，sin α＝，cos α＝，所以cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－；
当α为第三象限角时，sin α＝－，cos α＝－，所以cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－，
综上，cos＝－.
3．(2023·西安模拟)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷
影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤180°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，
根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对
同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为 α，β，且tan(α－β)＝，若第二
次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的( )
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
答案 B
解析 依题意，tan β＝1，
则tan α＝tan＝＝＝2，
所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍．
4．(2024·安庆模拟)为了得到函数g(x)＝sin 2x－cos 2x的图象，只需将f(x)＝2sin的图象(
)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案 C解析 g(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin
＝2sin，
所以可以由f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度得到．
二、多项选择题
5．下列式子正确的是( )
A．sin 15°＋cos 15°＝
B．cos 75°＝
C．2tan 15°＋tan215°＝1
D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
答案 ACD
解析 对于A，因为sin 15°＝sin(45°－30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，
cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，
所以sin 15°＋cos 15°＝，所以A正确；
对于B，因为cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°·cos 30°－sin 45°sin 30°＝，所以B错误；
对于C，因为tan 15°＝tan(45°－30°)＝
＝＝2－，
所以2tan 15°＋tan215°＝2×(2－)＋(2－)2＝1，所以C正确；
对于D，因为tan 45°＝tan(33°＋12°)＝＝1，
所以tan 33°＋tan 12°＝1－tan 33°tan 12°，
所以tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1，所以D正确．
6．(2024·唐山模拟)在下列函数中，其图象关于直线x＝对称的是( )
A．f(x)＝sin x＋cos x
B．f(x)＝cos 2x＋sin 2x
C．f(x)＝cos x－sin x
D．f(x)＝sin 2x－cos 2x
答案 AD
解析 对于A，f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，f ＝2sin＝2，其图象关于直线x＝对称，故A正确；
对于B，f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，f ＝2sin＝0，其图象不关于直线x＝对称，故B错误；
对于C，f(x)＝cos x－sin x＝2cos，
f ＝2cos＝0，其图象不关于直线x＝对称，故C错误；
对于D，f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，f ＝2sin＝2，其图象关于直线x＝对称，故D正确．
三、填空题7．(2023·沈阳模拟)若cos＝，则sin＝________.
答案 －
解析 sin＝sin
＝cos 2＝2cos2－1＝－.
8．若命题“∀x∈[0，π]，sin x－cos x－2a≥0恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是
__________．
答案
解析 命题“∀x∈[0，π]，都有sin x－cos x－2a≥0成立”为真命题，
即a≤在x∈[0，π]上恒成立，
设f(x)＝＝sin，其中x∈[0，π]，则－≤x－≤，
所以当x－＝－时，f(x)取得最小值为f(0)＝－，
所以实数a的取值范围是.
四、解答题
9．已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解 (1)因为sin ＋cos ＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又<α<π，
所以cos α＝－＝－.
(2)因为<α<π，<β<π，
所以－<α－β<.
又由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.
10．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值．
解 (1)因为向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
|a－b|＝
＝＝，
所以2－2cos(α－β)＝，
所以cos(α－β)＝.(2)因为0<α<，－<β<0，
所以0<α－β<π，
因为cos(α－β)＝，且sin β＝－，
所以sin(α－β)＝，cos β＝，
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×＝.
