文档内容
训练 6 基本初等函数
一、单项选择题
1．(2023·邯郸质检)已知幂函数f(x)满足＝4，则f 的值为( )
A．2 B. C．－ D．－2
答案 B
解析 依题意，设f(x)＝xα，则＝＝3α＝4，
所以f ＝α＝＝.
2．函数y＝3－x与y＝log (－x)的图象可能是( )
3
答案 C
解析 函数y＝3－x＝x为R上的减函数，排除A，B选项，函数y＝log (－x)的定义域为(－∞，
3
0)，
内层函数u＝－x为减函数，外层函数y＝log u为增函数，
3
故函数y＝log (－x)为(－∞，0)上的减函数，排除D选项．
3
3．已知a＝log ，b＝e0.1，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
3
A．ae0＝1，
3 3
c＝ ＝，故a2的解集
为( )A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为f(x)＝2 024x＋ln(＋x)－2 024－x＋1，
所以f(－x)＝2 024－x＋ln(－x)－2 024x＋1，
因此f(x)＋f(－x)＝ln(x2＋1－x2)＋2＝2，
因此关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2，可化为f(2x－1)>2－f(2x)＝f(－2x)，
又y＝2 024x－2 024－x单调递增，
y＝ln(＋x)单调递增，
所以f(x)＝2 024x＋ln(＋x)－2 024－x＋1在R上单调递增，
所以有2x－1>－2x，解得x>.
二、多项选择题
5．已知函数f(x)＝2x＋，则( )
A．f(log 3)＝
2
B．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增
C．f(x)为偶函数
D．f(x)的最小值为2
答案 CD
解析 f(log 3)＝ ＝3＋＝，A错误；
2
令2x＝t(t>0)，则函数为g(t)＝t＋，
由对勾函数的性质可知g(t)＝t＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故g(t)＝t＋在t＝1处取得最小值，
g(t) ＝g(1)＝2，
min
所以f(x)的最小值为2，故B错误，D正确；
f(x)＝2x＋的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，故C正确．
6．(2023·苏锡常镇四市调研)已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝12z，则( )
A．6z<3x<4y B.＋＝
C．x＋y>4z D．xy<4z2
答案 AC
解析 由题意，可令3x＝4y＝12z＝m>1，由指对互化得＝x，＝y，＝z，
由换底公式得＝log 3，＝log 4，＝log 12，则有＋＝，故选项B错误；
m m m
对于选项A，－＝log 12－log 9＝log >0，所以x>2z，又－＝log 81－log 64＝log >0，所以
m m m m m m4y>3x，所以4y>3x>6z，故选项A正确；
对于选项C，D，因为＋＝，所以z＝，
所以4z2－xy＝
＝－<0，
所以xy>4z2，则z(x＋y)>4z2，则x＋y>4z，所以选项C正确，选项D错误．
三、填空题
7. ＋π0－＋ ＋2lg 4＋lg ＋e3ln 2＝________.
答案
解析 原式＝ － ＋1－5－log 3＋4lg 2＋lg 5－lg 8＋eln 8
3
＝－2＋1－5－＋3lg 2＋(lg 2＋lg 5)－3lg 2＋8
＝－2＋1－5－＋1＋8＝.
8．(2024·张家口质检)函数y＝log (x2＋2x－8)的单调递增区间是__________．
3
答案 (2，＋∞)
解析 由x2＋2x－8>0，得x>2或x<－4，
则函数y＝log (x2＋2x－8)的定义域为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
3
令函数g(x)＝x2＋2x－8，则函数g(x)在(－∞，－4)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
再根据复合函数的单调性，可得函数y＝log (x2＋2x－8)的单调递减区间为(－∞，－4)，单
3
调递增区间为(2，＋∞)．
四、解答题
9．已知函数f(x)＝3x＋m·3－x(x∈R，m∈R)．
(1)若f(x)为奇函数，求m的值和此时不等式f(x)>的解集；
(2)若不等式f(x)≤4对∀x∈[－1,2]恒成立，求m的取值范围．
解 (1)函数f(x)＝3x＋m·3－x的定义域为R，
∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0对∀x∈R恒成立，
即3x＋m·3－x＋3－x＋m·3x＝0对∀x∈R恒成立，∴m＝－1，
此时f(x)＝3x－3－x>，即(3x)2－·3x－1>0，
解得3x>2或3x<－(舍去)，
∴不等式的解集为(log 2，＋∞)．
3
(2)由f(x)≤4得3x＋m·3－x≤4，即3x＋≤4，
当x∈[－1,2]时，令3x＝t，t∈，原不等式等价于t＋≤4对∀t∈恒成立，
即m≤－t2＋4t对∀t∈恒成立，令g(t)＝－t2＋4t，t∈，
∵g(t)在上单调递增，在[2,9]上单调递减，
∴g(t) ＝g(9)＝－45，
min
∴m≤－45，故m的取值范围是(－∞，－45]．
10．定义在[－4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－4,0]时，f(x)＝＋.
(1)求f(x)在[0,4]上的解析式；
(2)若∃x∈[－2，－1]，使不等式f(x)≤－成立，求实数m的取值范围．
解 (1)因为f(x)是定义在[－4,4]上的奇函数，当x∈[－4,0]时，f(x)＝＋，
所以f(0)＝＋＝0，解得a＝－1，
所以x∈[－4,0]时，
f(x)＝－，
当x∈[0,4]时，－x∈[－4,0]，
所以f(－x)＝－＝4x－3x，
又f(－x)＝－f(x)，
所以－f(x)＝4x－3x，f(x)＝3x－4x，
即f(x)在[0,4]上的解析式为f(x)＝3x－4x.
(2)因为当x∈[－2，－1]时，f(x)＝－，
所以f(x)≤－可化为－≤－，整理得m≥＋＝x＋2·x，
令g(x)＝x＋2·x，根据指数函数单调性可得，y＝x与y＝x都是减函数，
所以g(x)也是减函数，
g(x) ＝g(－1)＝－1＋2·－1＝5，
min
所以m≥5，
故实数m的取值范围是[5，＋∞)．
