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§2.13 实际问题中的函数模型
课标要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”
“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，
了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识梳理
1．三种函数模型的性质
函数 y＝ax y＝log x y＝xα
a
性质 (a>1) (a>1) (α>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表 随x的增大逐渐表现 随α值的变化而各
图象的变化
现为与______平行 为与________平行 有不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了 10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚
不赔．( )
(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y
＝log x的增长速度．( )
a
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝log x
100
C．y＝x100 D．y＝100x
3．(2024·南宁联考)有一组实验数据如表：
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
则体现这组数据的最佳函数模型是( )
A．y＝ B．y＝log x
2
C．y＝·2x D．y＝x2
4．(2023·福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时
一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度 h(单位：米)与时间t(单位：秒)
之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(
)
A．26米 B．28米
C．31米 D．33米
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，
该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用 1单位某药
物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用
B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒
C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治
疗作用
D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒
(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(x，y)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图．
i i
由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函
数关系的是( )A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝a＋log x D．y＝a＋
b
跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿
A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是(
)
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 (1)(2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释
放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震
所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的( )
A．6倍 B．102倍
C．103倍 D．106倍
(2)(2023·无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛
浓度≤0.1 mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为 6.05
mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度 μ(t)(单位：mg/m3)与竣工
后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝ ＋0.05(λ∈R)，则
该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：
ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)( )
A．32天 B．33天 C．34天 D．35天跟踪训练2 (2023·西安模拟)某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过
滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为M
＝Me－kt(其中M ，k是正常数)．已知经过1 h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉
0 0
60%的污染物所需的时间约为(参考数据：lg 2≈0.301)( )
A．3 h B．4 h C．5 h D．6 h
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 (2024·文山模拟)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达
测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距
离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t 、人的反应
0
时间t 、系统反应时间t 、制动时间t ，相应的距离分别为d ，d ，d ，d ，当车速为v(单位：
1 2 3 0 1 2 3
m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面
情况而变化，且0.5≤k≤0.9)．
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t t＝0.8 s t＝0.2 s t
0 1 2 3
距离 d＝30 m d d d＝ m
0 1 2 3
(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；
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(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限
制在多少以下？
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思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解．(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实
际问题中去，得到实际问题的解．
跟踪训练3 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹
跳，弹跳次数越多越好．小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，
石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他
因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低
于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考
数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)( )
A．6 B．7 C．8 D．9
