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3.4 实际问题与一元一次方程
1. 了解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型
2. 掌握列方程解实际问题的一般步骤:审、设、列、解、检、答
3. 掌握行程问题、调配问题、工程问题、等积变形问题、利率问题等的基本数量关系,会
列一元一次方程解简单的实际问题.(应用意识)
4. 会用列表法、图示法等方法分析题目中的数量关系.(几何直观)
知识点一 列方程解实际问题的一般步骤
1.审题:分析题意，找出题中的数量及其关系,尤是等量关系(即相等关系).
2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示(例如x）.
补充：①设元通常求什么设什么，即直接设元,如果这样设元方程不容易列出来,再考
虑间接设元.②在一道应用题中,往往含有几个未知的量,应恰当地选择其中的一个设为
未知数,再将其他未知的量用含x的代数式表示出来.
3.列方程：根据等量关系列出方程.
4.解方程:求出未知数的值.
5.检验:检查求得的值是否正确，是否符合实际情形并写出答案(包括单位名称)
6.答：作答.
注意：
同学们，请记住我们在列方程解实际问题还应注意以下几点：
(1)设未知数和写答案时，单位要写清楚.列方程时,方程两边所表示的量应该
相同，并且各项的单位应该一致.
(2)在找等量关系时，对题目中所给出的条件应充分利用,但不把同一条件重复
利用，否则会得到一个恒等式,无法求出对应的解
(3)对于求得的方程的解,要先看它是否符合实际意义,然后才能确定应用题的
解
即学即练1（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）通乡商店新进某种衬衫，以 利
润率标价，逢店庆八折出售，仍可获利20元，则该衬衫进价为（ ）A．80元 B．100元 C．120元 D．150元
即学即练2（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）一架飞
机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无
风时的速度为每小时 千米，则下列方程正确是（ ）
A． B．
C． D．
知识点二 如何找相等关系
方法一：分析问题中的不变量，并利用不变量列方程
方法二：用不同的方式表示同一个量,由此得到相等关系，从而列出方程
方法三：从问题的基本量中寻找相等关系
方法四：利用“总量等于各个分量之和”列方程
注意：
同学们请注意有的时候如果单位不统一，一定要把单位统一，这是一个易错点.
如果题目出现明显的“是比关系”，我们一般把“是”和“比”后面的数量作
为未知数，“是”和“比”当做“＝”，构造等量关系，你会发现寻找等量关
系如此简单！如果遇到古典应用题，往往题干后半部分就是翻译，重点从翻译
处审题.
即学即练1（2023上·江西吉安·七年级统考期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记
载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子
短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将
绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长 尺．则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
即学即练2（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）十年前
A的年龄是B的年龄的4倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是（ ）
A．20岁 B．24岁 C．30岁 D．15岁知识点三 常见题型和等量关系
常见题型 列方程的理论依据
路程=速度×时间
行程问题 顺风速度=静水速度＋水流速度
逆风速度=静水速度－水流速度
为起始量, 为终止量， 为增长(或降低)的次数，
平均增长率公式: ( 为平均增长率)
平均增长率(降低率)问题
平均降低率公式: ( 为平均降低率)
利润=售价-进价;
；
销售利润问题
售价=进价×(1+利润率);
总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量
几何图形问题 利用几何图形的面积、周长公式
存款利息问题 本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数
两位整数＝十位数字×10＋个位数字;
数字问题
三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字
一般情况把工作总量设为单位“1”
工程问题 当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数
工作效率×工作时间＝工作总量
运用几何知识以及行程公式，
动态几何问题
一般采用间接设元的方法
即学即练1（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）在一次美化
校园活动中，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的
人数是植树人数的2倍，支援拔草和支援植树的分别有多少人?若设支援拔草的有x人，则
下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
即学即练2（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）某校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年一班的学生阅读．如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分
4本，则还缺25本．若设该校七年一班有学生 人，则下列方程正确的（ ）
A． B．
C． D．
题型1 行程问题
例1（广东省广州市南武教育集团2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）广州市出
租车的收费标准是：起步价（ 千米以内，包括 千米） 元，路程超过 千米的部分，每
千米收费 元．
(1)若小明乘坐了 千米，他应付车费________元；若他乘坐了 千米，应付车费________
元；
(2)若小明乘坐了 千米的路程．请写出他应该去付费用的表达式；
(3)若他支付的费用是 元，请你算出他乘坐的路程．
举一反三1（河北省唐山市遵化市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）一小船由
港顺流而下到 港需 ，由 港逆流而上到 港需 ．某天早晨6点，该船由 港出发
驶向 港，到达 港时，发现船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，1h后遇到救
生圈．
(1)该船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？
(2)救生圈是何时掉入水中的？举一反三2（黑龙江省哈尔滨市松雷中学2023-2024学年七年级上学期10月月考数学试
题）甲、乙两车同时从 、 两地出发，匀速行驶前往 、 两地，甲车从 地出发 小
时后，丙车从 地出发以 千米 时的速度向 地行驶，丙车出发 小时在途中追上甲车．
(1)求甲车的速度是多少？
(2)已知甲车的速度比乙车小 ，丙车追上甲车后继续前行，当丙车与乙车相距 千米时，
甲、乙两车相距 千米，求 、 两地的路程？
题型2 配套问题
例2（黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）某工
厂一车间有 名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务．每个工人每天能加工甲种
零件 个，或加工乙种零件 个．
(1)若一辆轿车只需要甲零件1个和乙零件1个使每天能配套生产轿车，问应安排多少工人
加工甲种零件？
(2)若一辆轿车需要甲零件7个和乙零件2个使每天能配套生产轿车，若加工一件甲种零件
加工费为 元，加工一件乙种零件加工费为 元，若 名工人正好使得每天加工零件能
配套生产轿车，求一天这 名工人所得加工费一共多少元？举一反三1（黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2023-2024学年七年级上学期月考数学试
题（五四制））制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿， 木材可制作20个桌面，或者
制作400条桌腿，现有 木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应用多少
立方米木材来生产桌面？多少立方米木材生产桌腿？
举一反三2（黑龙江省绥化市海伦市第九中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试
题）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需2个甲种零件和4个乙种零件，已知
车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在 天中使所生产的零件刚好配
套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少天生产乙种零件恰好配套？
小明在解决这个问题时，设应安排x天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程
解决这个问题．
工效（个/天） 天数（天） 数量（个）
甲种零
450 x ②
件
乙种零
300 ① ③
件题型3 工程问题
例3（四川省成都市金堂县福兴镇初级中学2023-2024学年七年级上学期第一次月考数学
试题）一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时，现在先由甲单独做5小时，然
后乙加入进来合做，完成整个工程一共需要多少小时？
举一反三1（湖北省黄冈市2022-2023学年七年级上学期开学考试数学试题）某工程队修
一条隧道，计划每天修600米，20天完成，而实际每天多修 ，实际可以提前几天完成？
（用方程解）
举一反三2（安徽省六安市霍山县文峰中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）
如图，长方形 是由六个正方形A，B，C，D，E，F拼接而成，已知最大的正方形B的边长是21米，最小正方形A的边长是a米．
(1)用含a的式子分别表示正方形D，E，F的边长；
(2)求a的值；
(3)现有一项沿着长方形 的四条边铺设管道的工程．甲、乙两个工程队共同参与这项
工程，甲队单独铺设3天后，乙队加入，两队又共同铺设了6天，这项铺设管道的工程全
部完成．已知甲队每天比乙队每天少铺设4米，则甲、乙两队每天各铺设多少米？
题型4 销售盈亏
例4（湖北省武汉市武珞路中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）一种笔记本
售价为 元/本，如果买 本以上（不含 本），售价为 元/本．请回答下面的问题：
(1)当 时，买 本笔记本所需钱数为______，当 时，买 本笔记本所需的钱数
为______．
(2)如果七（ ）、七（ ）两班分别需要购买 本， 本，怎样购买可省钱？可以省多少
钱？
(3)如果两次共购买 本笔记本（第二次比第一次多），平均每个笔记本为 元/本，两
次分别购买多少本？举一反三1（广西壮族自治区贺州市昭平县2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）
芜湖市一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为 ；B种商品
每件进价为50元，售价80元．
(1)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ．
(2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多
少件？
(3)在“春节”期间，该商场只对 、 两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华
在该商场购买同样商品要付多少元？举一反三2（黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学校2023-2024学年七年级上学期期中数学
试题）黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花
青原素，素有“地下苹果”之称．老李今年种植了5亩 品种黑马䍅薯， 亩 品种黑马
铃薯，其中 品种的平均亩产量比 品种的平均亩产量低 ，共收获两个品种黑马铃薯
千克．
(1)求 ， 两个品种黑马铃薯平均亩产量各多少千克？
(2)根据如图信息，求收购时 、 两种马铃薯每箱的收购价格分别是多少元？
(3)在（2）的条件下某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马䍅薯．收购方式如下： ，
两个品种各自独立装箱， 品种每箱 千克， 品种每箱 千克，老李给出如下优惠：
收购 或 的数量（单位：箱） 不超过 箱 超过 箱
-优惠方式 收购总价打九五折 收购总价打八折
第一次收购了两个品种共 箱，且收购的 品种箱数比 品种箱数多；受某些因素影响，
蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱 的收购价不变，每箱 的收购价比第一次
的收购价降低 ，优惠方式不变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支
付给老李的费用比第一次支付给老李费用多 元，求蔬菜商人第一次收购 品种黑马
铃薯多少箱？题型5 比赛积分问题
例5（广东省汕头市潮阳市峡山镇峡晖中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）
一张试卷25题，若做对了一题得4分，做错了一题扣1分，小李做完此卷后得70分，则
他做对的题目数是（ ）
A．18 B．17 C．19 D．20
举一反三1（河南省鹤壁市淇县2022-2023学年七年级下学期期中考试数学试题）为了增
强学生的防范意识，某校组织进行了“安全知识问答活动”，共有10道题，答对1题得5
分，答错或不答1题扣3分．若小颖的最终得分为34分，则小颖一共答对了多少道题？
举一反三2（山西省长治市潞州区2022-2023学年七年级下学期月考数学试题）“市长
杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了
几场？设该队胜了 场，可列方程为 ．题型6 方案选择
例6（广西壮族自治区贵港市覃塘区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）某商场
为了促销，推出两种促销方式：
方式①：所有商品打 折销售；方式②：一次购物满 元减 元．
杨老师在该商场购买标价为 元的 商品和 元的 商品各一件，现有以下四种购买方
案：
方案一： 、 商品均按促销方式①购买；
方案二： 商品按促销方式①购买， 商品按促销方式②购买；
方案三： 商品按促销方式②购买， 商品按促销方式①购买；
方案四： 、 商品均按促销方式②购买．
(1)杨老师按照方案一购买 、 商品需付金额共________元；
(2)杨老师选哪个方案购买 、 商品更合算？为什么？
(3)如果该商场某种商品的标价在 元至 元之间，按方式①、②分别购买需付款金额
如下表所示．请补全表格，并根据表中数据规律给出你所得到的结论？
商品标价
（元）
付款金额
（元）
方式①
方式②
举一反三1（湖北省武汉市江汉区武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）2023-2024学
年七年级上学期期中数学试题）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球，己知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活
动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的 付款．
该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（ ，x为整数）．
(1)当 时，若该球馆按方案一购买，需付款______元；若该球馆按方案二购买，需付
款_____元；
(2)当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？
(3)若 ，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出
此方案所需费用；如果不能，请说明理由．
举一反三2（天津市和平区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）（1）小天用下
表记录九月的流量使用情况，每个时间段以5 为标准，超出部分记为正数，不足部分记
为负数，（单位： ）．
1日-5日 6日-10日 11日-15日 16日-20日 21日-25日 26日-30日
200 100 212 200
说明：数据流量 ．
请你计算：小天九月份共用使用了多少流量？
（2）某通讯公司推出 两种话费套餐，套餐详情如下表：
月基本 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/ 被 免费数据流量/
费/元 ） 叫
免
600 0.15 15
费
免
99 500 0.15 20
费已知小天使用 套餐，某月主叫时间为 ，使用流量 ，共产生109元月结话
费（月结话费=月基本费+主叫超时费+流量超出费），求 的值；
（3）在（2）的条件下，通讯公司对 两种话费套餐做了如下补充说明：
①流量超出后， 套餐按5元 标准收取，不满 按0．005元/ 收取．
②流量超出后， 套餐按5元 标准收取，满15元后按3元 收取，不满 按
计算．
请你根据以上信息，帮助小天解决下列问题：
①小天估计十月份主叫时间不超过 ，所用流量是 （ 且 是整数）．用含
的代数式表示使用 两种套餐各需要多少钱？
②经过查询，小天发现，十月份主叫时长为 ，使用的总流量与九月份相同．请你帮
助小天计算并判断选择哪种套餐更合算．
题型7 数字问题
例7（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，
2023排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右
依次为第1列、第2列、第3列、…
(1)①数阵中排在第6行第1列的数是______，数阵中排在第7行第1列的数是______；
②数阵中共有______个数，2023在数阵中排在第______列，数阵中排在第 行第5列的数
可用 表示为______．
(2)按如图所示的方式，用一个“ ”形框框住四个数，设被框的四个数中最
小的数为 ，是否存在这样的 ，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)数阵中用一个“ ”形框框住的四个数的和记为“S”，直接写出S的最大
值与最小值的差．
举一反三1（2023上·广东广州·七年级广州市海珠中学校考期中）把正整数1，2，3，
4，…，2023排列成如图所示的一个表．
(1)用一正方形在表中随意框住4个数，把其中最小的记为x，另三个数用含x的式子表示出
来，从小到大依次是 ， ， ．
(2)当被框住的4个数之和等于416时，x的值是多少？
(3)被框住的4个数之和能否等于688？如果能，请求出此时x的值；如果不能，请说明理
由．举一反三2（2023上·福建厦门·七年级校联考期中）定义：对任意一个两位数 ，如果
满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零那么称这个两位数为“互异数”．将一个
“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位
数的和与11的商记为 ．例如： ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，
新两位数与原两位数的和为 ，和与11的商为 ，所以 ．根据
以上定义，回答下列问题：
(1)①下列两位数：50，44，35中，“互异数”为______；②计算： ______；
(2)一个“互异数” 的十位数字是 ，个位数字是 ，且 ，求 的值；
(3)如果一个“互异数” 的十位数字是 ，个位数字是 ，且 ，求“互异
数” 的值．
题型8 几何问题
例8（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）数轴上有A、B、C三个小球，分别对应的
数是a、b、c，且满足a是绝对值最小的正整数，B球在原点的左侧且到原点的距离是5，
C球在A球的右侧，且到A球距离是9，三个球都在数轴上同时开始运动，A球向左运动，
运动速度为每秒2个单位长度，B、C两球向右运动，运动速度分别为每秒4个单位长度和
1个单位长度．
(1) ， ， ．
(2)运动____秒钟时，B、C两球相遇在点P；点P在数轴上表示的数是____；(3)运动 ____ 秒钟时，A、B两球之间的距离为2．
(4)小球A碰到B后按原来的速度立刻返回，B球仍按原速原方向继续前行，当B追上C时，
三个球都停止运动，此时A球所对应的数为 ____ ．
举一反三1（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）一个点从数轴上的原点开始，先向
右移动1个单位长度到达A点，再向左移动3个单位长度到达B点，然后向右移动6个单
位长度到达C点．
(1)点A对应的数是 ，点B对应的数是 ，点C对应的数是 ．
(2)若点P、Q同时分别从点B、C出发，速度分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的移
动，设移动时间为t秒．
①若点P向右移动，点Q向左移动，当它们相遇时，求移动时间t秒；
②若点P、点Q都向左移动，当它们相遇时，求移动时间t秒；
③若点P向左移动，点Q向右移动，则点P表示的数是 （含t的式子表示），点Q表示的
数是 （含t的式子表示），设把点A到点P距离记为 ，点A到点Q距离记为 ，请
问： 的值是否会随着t变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．举一反三2（2023上·辽宁大连·七年级统考阶段练习）问题情境：我们在本期教材中曾经
学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，
记作 ．
实际上，数轴上表示数 的点与原点的距离可记作 ；数轴上表示数 的点与表示
数2的点的距离可记作 ，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表
示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作 ．
(1)独立思考：
①数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x与 的两点A和B之间的距离为2，那么x为 ；
(2)实践探究
如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是 ，点B表示的数是50，现有
一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q
恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动．
①t秒后，点P在数轴上所表示的数为 ，点Q在数轴上所表示的数为 ，当P、Q两蚂蚁
相遇时，即P、Q两点在数轴上表示的数相同，此时可得等式 ；(用含有t的式子表示)
②当P、Q两只蚂蚁在数轴上表示的数是互为相反数时，若所用的时间为t，可得等式为 ；
(用含有t的式子表示)
③求两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度时的时间．
题型9电、水费问题
例9（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，它们的收费方式如下．
A专车：3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费 元，不收其他费用；
B快车：
计费项目 起步价 里程费 远途费
计费价格 8元 2元/千米 1元/千米
注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于
2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远
途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元．
(1)如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，
需支付的费用是______元；
(2)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，
需支付的费用是______元；
(3)如果乘车路程是 千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快
车出行，需支付的费用是______元（用含 的式子表示）；
(4)如果乘车路程是 千米时，使用B快车出行的费用比使用A专车出行省3元，求 的值．
举一反三1（2023上·天津蓟州·七年级统考期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水
资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（消
费按月份结算， 表示立方米）价目表
每月用水量 价格
元
不超过
元
超出 不超出 的部分
超出 的部分 元
(1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为 和 ，则应收水费分别是________元和
________元．
(2)若该户居民3月份用水量为 （其中 ），则应收水费多少元？（用含 的式
子表示，并化简）．
(3)若该户居民4月份交水费 元，求该户居民4月用水多少 ？
举一反三2（2023上·北京房山·七年级统考期中）为了更好地使用和节约水资源，自2014
年5月1日起，北京市居民生活用水开始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来
水）水费收费标准：
价格组成（单位：元/立方
每户年用水量 水单价 米）
阶梯
（单位：立方米） （单位：元/立方米）
水费 水资源费 污水处理费
第一阶梯 0～180（含180） 5
第二阶梯 180～260（含260） 7
第三阶梯 260以上 9
例如，某用户的年用水量为300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为：（元）．
请解答以下问题：
(1)如果 用户的年用水量为100立方米，则 用户需缴纳的水费为________元；
(2)如果 用户一年缴纳的水费为1040元，则 用户该年用水量为________立方米；
(3)如果 用户的年用水量为 （ ）立方米，求 用户该年应缴纳水费多少元？（用
含 的代数式表示，并化简）
题型10 和差倍分问题
例10（2022上·广东河源·七年级统考期末）在甲处工作的有132人，在乙处工作的有108
人，如要使乙处工作的人数是甲处工作人数的 ，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙
处调x人到甲处，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
举一反三1（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）甲、乙两人去买东西，他们所
带钱数比是 ，甲花去 元，乙花去 元，则二人余下的钱数比为 ，则甲余下的钱
数是 ．
举一反三2（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）列方程解答下列两道数学问题：
(1)问题1：我国元朝朱世杰所著《算学启蒙》中的一道数学问题：快马每天走240里，慢
马每天走150里．慢马先走12天，则快马几天可以追上慢马？
(2)问题2：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是97，求这个数．
题型11 比例问题
例11（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水
排量要比环保限制的最大量还多 ；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少
，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为 ，则可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
举一反三1（2021下·上海闵行·六年级校考期中）某公路收费站的收费标准是大客车20
元，大货车10元，轿车5元，某天通过收费站的这三种车辆的数量之比是 ，共收费
4800元，问这天通过收费站的三种车各是多少辆？
举一反三2（2023上·山东德州·七年级校考开学考试）一种农药，用药液和水按 配
制而成．要配制这种农药505千克，需要药液多少千克？
题型12 日历问题例12（2023上·广东惠州·七年级校考期中）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一
个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数的和为
115，则这5个数中的最大数为 ．
举一反三1（2023上·北京西城·七年级北京四中校考期中）如图1是2024年1月的日历表：
(1)在图1中用优美的U形框“ ”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个
数字之和为______；
(2)在图1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为 ，则这五个数字中最大
的数为______；
(3)在图1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如图2的数表，在图2中U形框框
住的5个数字之和能等于 吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字：若不能，请说
明理由．举一反三2（2023上·广东中山·七年级统考期中）将正整数1，2，3，4，5，……排列成
如图所示的数阵：
(1)如果设十字架正中心的数为x，用含x的式子表示这五个数的和．
(2)十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由；
(3)十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数：若不能，请说明理由．
题型13 古典问题
例13（2023上·广西贺州·七年级统考期中）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人
共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人
共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少
人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A． B． C． D．举一反三1（2023上·广东广州·七年级华美英语实验学校校考期中）古代名著《算学启
蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百三十里．驽马先行一十一日，问良马
几何追及之？意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走130里．慢马先走11
天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
举一反三2（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的
《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、
每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方．则图中m的值
为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
一、单选题
1．（2023上·湖南娄底·七年级娄底市第三中学校考期中）李明端午节去买粽子，每个肉粽
比素粽贵3元，购买4个肉粽和6个素粽共用去62元，设每个素粽是x元，则可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·福建厦门·七年级校联考期中）在数轴上，点 、点 分别表示数 ， ，则线段 的长表示为| |，例如：在数轴上点 表示 ，点 表示 ，则线段 的长表
示为| | ，数轴上的任意一点 表示的数是 ，且| | | |的最小值为 ，若
，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
3．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）观察下列三行数：
，4， ，16， ，64，…；①
0，6， ，18， ，66，…；②
，2， ，8， ，32，…；③
存在这样的一列数，使①②③行对应的这列的三个数的和为642，则应是从左到右对应的
列数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折
销售，但其利润率恰好为10％，则该商品可以打（ ）折（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.8
5．（2023上·黑龙江鸡西·七年级统考阶段练习）如图，数轴上一点A向左移动2个单位到
达点B，再向右移动5个单位到达点C．若点C表示的数为1，则点A表示的数是（ ）
A．7 B．3 C． D．
二、填空题
6．（2023上·北京西城·七年级北京四中校考期中）如图所示，已知长方形 的长
，宽 ，内有边长相等的小正方形 和小正方形 ，其重叠部分为长
方形 ．若长方形 的周长为 ，则图中阴影部分周长和为 ．7．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）甲数的绝对值是乙数绝对值的2倍，在数轴
上甲、乙两数在原点的同侧，并且两点的距离等于10，则甲数为 ．
8．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级校考阶段练习）某商品提价 后，欲恢复原价，应再
降价提价后的
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）将某班的学生分成 组，若每组 人，
则多 人，若每组 人，则差 人．则 ．
10．（2023上·浙江台州·七年级校考期中）某商场出售某款电视机，售价为每台1800元，
可盈利 ，设这款电视机的进价为 元，则可列方程为 ．
三、解答题
11．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级校考阶段练习）六年1班承担了学校操场的清扫工作，
计划每天清扫200平方米，30天可以清扫完．
(1)若学校要求25天清扫完，每天应清扫多少平方米？
(2)若实际每天清扫的面积比计划每天清扫的面积提高了 ，实际多少天能清扫完整个学校
操场？
(3)若六年1班按照（2）的速度完成一半时，学校要求此计划提前8天完成，提速后每天清
扫面积是多少平方米？12．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级校考阶段练习）有一组互相咬合的齿轮．
(1)大齿轮有 个齿，小齿轮是大齿轮的 ，小齿轮有多少个齿？
(2)小齿轮每分钟转 周，大齿轮每分钟转的周数比小齿轮少 ，大齿轮每分钟转多少周？
13．（2023上·江苏南京·七年级统考期中）生活中，通常用24时计时法表示具体时间与之
相关，全球共分为24个时区，相邻两个时区的时间相差1小时，以英国格林威治所在的本
初子午线为基准，在格林威治以东的地区，时差以“ ”标记，在格林威治以西的地区，
时差以“ ”标记，下表是各城市与格林威治的时差：
纽
城市 北京 悉尼 莫斯科
约
与格林威治时差(时)
例如：格林威治12时，对应北京当地时间20时，对应莫斯科当地时间15时．
(1)北京和纽约的时差是多少小时？
(2)若在悉尼的小明21时打电话给在纽约的小亮，则纽约当地时间是几时？
(3)小明在10月27日23时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12小时抵达，此时悉尼当地时
间为10月几日的几时？
(4)小红游学去了莫斯科，到了莫斯科之后，他在整点时刻打电话给在北京的爸爸报平安通
话那一刻，爸爸在北京的时间点数恰好是他在莫斯科时间点数的2倍，那么接通电话时，
小红爸爸在北京的具体时间是多少？
