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专题 6.1 平行四边形的性质
平行四边形的基本性质
【例1】如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，则下列判断错误的是
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
，故 正确；
，故 正确；
，故 正确；
故选： ．
【变式训练1】如图，点 是 对角线的交点， 过点 分别交 ， 于点 ，
，下列结论成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： 的对角线 ， 交于点 ，
， ， ，
，
在 和 中，，
，
， ， ，
又 ，
选项 成立，选项 、 、 不一定成立，
故选： ．
【变式训练2】如图，在平行四边形 中，延长 到 ，使 ，连接 交
于点 ，交 于点 ．下列结论，其中正确的有 个．
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，即 ，
，
，
，
在 和 中，，
，
， ；
可得③⑤正确，
故选： ．
【变式训练3】已知： 中， 、 是对角线 上两点，连接 、 ，若
．求证： ．
【解答】证明 四边形 为平行四边形
，
， ，
已知平行四边形，求角度
【例2】如图，在平行四边形 中， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ．
．
，
．，
故选： ．
【变式训练1】如图所示，四边形 是平行四边形，点 在线段 的延长线上，若
，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
四边形 是平行四边形，
，
故选： ．
【变式训练2】如图，在平行四边形 中， 平分 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 平分 ，
，
中， ，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，在 中，点 在 上，且 ，连接 ，过点 作
，垂足为 ，若 ，则 的度数为A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
故选： ．
求线段长度
【例3】如图，在 中， ， ， 平分 交边 于点 ， 平
分 交边 于点 ，则
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【解答】解：在 中， ， ， ， ，
， ，
平分 交 于点 ， 平分 交 于点 ，
， ，
， ，
， ，
，
；
故选： ．【变式训练1】如图所示，在平行四边形 中，已知 ， ， 平分
交 于点 ，则 的长为
A．3 B．4 C．5 D．8
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
；
故选： ．
【变式训练2】如图， 中，两对角线交于点 ， ， ， ，
则对角线 的长为
A． B． C． D．
【解答】解： 的对角线 与 相交于点 ，
， ， ，
，
，
，在 中，由勾股定理得： ，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，在平行四边形 中， ， ， ，延长 至
点 ，使得 ，连接 ，则 的长为
A．3.5 B． C． D．
【解答】解：作 于 ，如图所示：
则 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
，
，
；
故选： ．求周长
【例4】如图，在 中， 是 边的中点， 平分 ．若 ，则
的周长是
A．11 B．12 C．13 D．14
【解答】解： 为平行四边形，
， ，
又 平分 ， ，
故 为等腰三角形，
，可知 ，
的周长 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，在 中，对角线 、 相交于点 ，过点 作 ，
交 于点 ，连接 ，若 的周长为8，则 的周长为
A．8 B．10 C．16 D．20
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
的周长为： ．
平行四边形 的周长为 ，
的周长为16，
故选： ．【变式训练2】如图， 的对角线 ， 相交于点 ，且 ，若
的周长为14，则 的长为
A．12 B．9 C．8 D．6
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
的周长为14，
，
故选： ．
【变式训练3】已知 的边长如图所示，求 的周长．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
，
经检验 是原方程的解．
，
， ，平行四边形 的周长为： ．
【例5】如图，在平行四边形 中，点 ， 分别是边 ， 的中点．
（1）求证： ；
（2）若四边形 的周长为10， ， ，求平行四边形 的周长．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，即 ，
又 点 ， 分别是边 ， 的中点，
， ，
，
四边形 为平行四边形，
；
（2）解： 四边形 的周长为10， ，
，
点 ， 分别是边 ， 的中点，
，
，
平行四边形 的周长 ．
【变式训练1】如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ， 过点 且与
， 分别相交于点 ， ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， 的周长是13，则平行四边形 的周长为 2 6 ．【解答】解：（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2） ， ，
，
的周长为 ，
平行四边形 的周长为 ．
故答案为：
周长之间的和差问题
【例6】平行四边形 的周长是24， 与 交于点 ， 的周长比 的周
长小4，则 的长为
A．4 B．7 C．8 D．10
【解答】解： 平行四边形 的周长为24，
①，
的周长比 的周长小4，
②，
联立①②解得： ， ，
故选： ．
【变式训练1】如图， 的周长是 32，对角线 与 交于点 ， ，的周长比 的周长多4，则 的长为
A． B． C．4 D．5
【解答】解： 的周长为32，
， ，
的周长比 的周长多4，
，
， ．
，
，
，
．
故选： ．
【变式训练2】如图， 与 周长之差为 5，且 ，则平行四边形
的周长是
A．15 B．20 C．30 D．40
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
的周长与 的周长之差为5，
；又 ，
， ．
的周长 ；
故选： ．
【变式训练3】平行四边形 的周长是 20， 与 交于点 ， 的周长比
的周长大4，则 的长为
A．3 B．7 C．8 D．12
【解答】解： 平行四边形 的周长为20，
①，
的周长比 的周长大4，
②，
联立①②解得： ， ，
故选： ．
面积问题
【例7】如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ，平行
四边形 的面积为48， ，则 的长为
A．6 B．8 C．12 D．13
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
，
，平行四边形 的面积为48，
，，
故选： ．
【变式训练1】在平行四边形 中，对角线 长为 ， ， ，
则它的面积为 ．
【解答】解：如图，过 作 于 ．
在直角三角形 中，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
【变式训练2】如图，点 是平行四边形 中边 上任意一点，若平行四边形
面积为6，则 的面积为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 平行四边形 面积为6，
．
故选： ．
【变式训练3】如图， 的对角线 ， 交于点 ， ， ，垂足为 ，若 ， ，则 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解： 平行四边形 中， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为 ，
故选： ．
阴影面积
【例8】如图，平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上任
一点（点 不与点 、 重合），且 交 于 ，且 交 于 ，则阴
影部分的面积为A．5 B． C．10 D．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
设 的对角线 、 相交于 ，则 ， ， ，
，
图中阴影部分的面积等于 的面积，
过 作 交 于 ，
， ，
，
，
即阴影部分的面积等于 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，已知 的面积为12，点 在线段 上，点 在线段 的延长
线上，且 ，四边形 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：连接 ，过 作 交 的延长线于 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
边 上的高和 的边 上的高相同，
的面积和 的面积相等，
同理 的面积和 的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形 的面积的一半，是 ，
的面积是12， ，
，
，
阴影部分的面积是 ，
故选： ．
【变式训练2】如图， 、 分别是 的边 、 上的点， 与 相交于点
， 与 相交于点 ．若 ， ，则阴影部分的面积为A．40 B．45 C．50 D．55
【解答】解：如图，连接 、 两点，
四边形 是平行四边形，
，
的 边上的高与 的 边上的高相等，
，
，
同理： ，
，
， ，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，平行四边形 的对角线 和 相交于点 ，过点 的直线分
别交 和 于点 ， ，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为A．4 B．1 C． D．无法确定
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
在 和 中，
，
，
，
同理可证：
， ，
， ，
阴影部分的面积 ．
故选： ．
与垂直平分线有关
【例9】如图，平行四边形 的周长为16， 、 相交于点 ， 交 于
，则 的周长为
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解： 平行四边形 ，
， ， ，
，，
，
，
的周长是： ，
故选： ．
【变式训练1】如图所示，在 中， 垂直平分 于 ，其中 ，
，则 的对角线 的长为
A． B． C． D．12
【解答】解：如图，延长 ，过点 作 的延长线于 ，
中， ， ，
， ，
， ，
垂直平分 于 ，
， ，
，
中， ．
故选： ．
【变式训练2】如图，在平行四边形 中， ， ，分别以点 、 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，交对角线 于点 ，
连接 ， 恰好垂直于边 ，则 的长是 5 ．
【解答】解：设 ，则 ，
由作图可知： 是线段 的垂直平分线，
，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
则 ．
故答案为：
【变式训练3】如图，已知 ， 为 边上的垂直平分线， ，且
．
（1）求证： ；
（2）连接 ，请判断四边形 的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
为 边上的垂直平分线，
， ，
，， ，
是等边三角形，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）解：四边形 是矩形，理由如下：
是等边三角形，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形．
与角平分线有关
【例10】如图，在 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于
点 ，若 ， ，则 的长是A．4 B．5 C．7 D．6
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
又 平分 ，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
【变式训练1】如图，在平行四边形 中，用直尺和圆规作 的平分线 ，若
， ，则 的长是
A．15 B．16 C．18 D．20
【解答】解：连接 ， 与 相交于 点，
由作图可知 ， 是 的平分线，
，
， ， ．
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
， ，在 中， ，
．
故选： ．
【变式训练2】如图，在平行四边形 中， 和 的平分线交于 边上一
点 ，且 ， ，则 的长是
A．3 B．4 C．5 D．2.5
【解答】解： 四边形 是平行四边形， 、 的角平分线的交点 落在
边上，
，
， ，
，
， ， ， ，
， ，
， ，即 ，
由题意可得： ， ，
．
故选： ．中心对称全等
【例11】如图，在 中， 于点 ， 平分 交 于点 ，
于点 ．
（1）找出图中的一对全等三角形，并加以证明；
（2）若 的面积为 ， ，求 的长．
【解答】解：（1） ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
， ，
，
．
（2） 的面积 ， ，
．
，
，
．
【变式训练1】如图，在平行四边形 中，点 是 中点，连接 并延长交 的
延长线于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的度数．【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
点 是 中点，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可得 ， ，
，
，
，
，
．
【变式训练2】如图，在 中，点 是对角线 ， 的交点， 过点 且垂直
于 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】解：（1）证明： 四边形 是平行四边形，， ，
，
在 和 中，
， ， ，
，
；
（2） ， ，
，
又 ，
，
．
【变式训练3】在 中， 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）点 是 上一点，连接 交 于点 ，且 ．若 ， ，
求 的长．
【解答】证明：（1） 四边形 为平行四边形，
， ，
， ，
是 的中点，
，
在 和 中，
，
，，
；
（2） ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
【变式训练4】已知，如图在 中，对角线 和 相交于点 ，点 ， 分别在
， 上，且 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）延长 交 于点 ，延长 交 于点 ．求证： ．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，，
在 和 中，
，
；
（2）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
．
