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§6.1 数列的概念 课标要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是 自变量为正整数的一类特殊函数． 知识梳理 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定次序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 如果数列的第n项a 与n之间的关系可以用a＝f(n)来表示，其中f(n) n n 通项公式 是关于n的不含其他未知数的关系式，则称上述关系式为这个数列的 一个通项公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关 递推公式 系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系 数列{a}的 n 一般地，给定数列{a}，称S＝a ＋ a ＋ … ＋ a 为数列{a}的前n项和 n n 1 2 n n 前n项和 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 有穷数列 项数有限 项数 无穷数列 项数无限 递增数列 a >a n＋1 n 其中 项与项 递减数列 a 0， 即3λ<2n＋1， 由于n∈N ， + 所以3λ<2×1＋1＝3，解得λ<1， 反之，当λ<1时，a －a>0， n＋1 n 则数列{a}为递增数列， n 所以“λ<1”是“数列{a}为递增数列”的充要条件． n 命题点2 数列的周期性 例5 若数列{a}满足a＝2，a ＝，则a 的值为( ) n 1 n＋1 2 024 A．2 B．－3 C．－ D. 答案 D 解析 由题意知，a ＝2，a ＝＝－3，a ＝＝－，a ＝＝，a ＝＝2，a ＝＝－3，…，因此数 1 2 3 4 5 6 列{a}是周期为4的周期数列，所以a ＝a ＝a＝. n 2 024 506×4 4命题点3 数列的最值 例6 数列{b}满足b＝，则当n＝________时，b 取最大值为________． n n n 答案 4 解析 方法一 b－b ＝－＝， n n－1 ∴当n≤4时，b>b ，∴{b}单调递增， n n－1 n 当n≥5时，bS >S B．S >S >S 23 21 22 21 22 23 C．S >S >S D．S >S >S 21 23 22 23 22 21 答案 B 解析 因为a＋a ＝0，所以a ＝－a， n n＋4 n＋4 n 所以a ＝－a ＝a， n＋8 n＋4 n 所以{a}是以8为周期的周期数列， n 又a＝a＝1，a＝a＝2， 1 2 3 4 所以a＝－a＝－1，a＝－a＝－2， 6 2 7 3 所以S －S ＝a ＝a＝－1<0，S －S ＝a ＝a＝－2<0， 22 21 22 6 23 22 23 7 所以S S >S . 22 21 23 22 21 22 23 (2)已知数列{a}的通项a ＝，n∈N ，则数列{a}前20项中的最大项与最小项的值分别为 n n + n ________． 答案 3，－1 解析 a＝＝＝1＋， n 当n≥11时，>0，且单调递减； 当1≤n≤10时，<0，且单调递减． 因此数列{a}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项， n 则a ＝3，a ＝－1. 11 10课时精练 一、单项选择题 1．若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由于数列的前4项分别是，－，，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的 绝对值等于，故此数列的一个通项公式为. 2．(2023·北京模拟)已知数列{a}的前n项和为S，若S＝n2－1，则a 等于( ) n n n 3 A．－5 B．5 C．7 D．8 答案 B 解析 因为S＝n2－1， n 所以a＝S－S＝(32－1)－(22－1)＝5. 3 3 2 3．已知数列{a}的首项为3，a －a＝2n－8(n∈N )，则a 等于( ) n n＋1 n + 8 A．0 B．3 C．8 D．11 答案 B 解析 由a －a＝2n－8， n＋1 n 得a－a＝－6，a－a＝－4，…，a－a＝6， 2 1 3 2 8 7 由累加法得a－a＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0， 8 1 所以a＝a＝3. 8 1 4．若数列{a}的前n项积为n2，那么当n≥2时，a 等于( ) n n A．2n－1 B．n2 C. D. 答案 D 解析 设数列{a}的前n项积为T，则T＝n2， n n n 当n≥2时，a＝＝. n 5．已知在数列{a}中，a＝1，a＝2，且a·a ＝a (n∈N )，则a 的值为( ) n 1 2 n n＋2 n＋1 + 2 024 A．2 B．1 C. D. 答案 A 解析 因为a·a ＝a (n∈N )， n n＋2 n＋1 + 由a＝1，a＝2，得a＝2， 1 2 3 由a＝2，a＝2，得a＝1， 2 3 4由a＝2，a＝1，得a＝， 3 4 5 由a＝1，a＝，得a＝， 4 5 6 由a＝，a＝，得a＝1， 5 6 7 由a＝，a＝1，得a＝2， 6 7 8 由此推理可得数列{a}是周期为6的数列， n 所以a ＝a＝2. 2 024 2 6．已知数列{a}的通项a＝，则数列{a}中的最大项的值是( ) n n n A．3 B．19 C. D. 答案 C 解析 令f(x)＝x＋(x>0)， 运用基本不等式得f(x)≥6， 当且仅当x＝3时，等号成立． 因为a＝，n∈N ， n + 所以≤， 所以当n＝9或n＝10时，a＝最大． n 二、多项选择题 7．已知数列{a}的通项公式为a＝(n＋2)·n，则下列说法正确的是( ) n n A．a 是数列{a}的最小项 1 n B．a 是数列{a}的最大项 4 n C．a 是数列{a}的最大项 5 n D．当n≥5时，数列{a}是递减数列 n 答案 BCD 解析 假设第n项为{a}的最大项，则即 n 所以 又n∈N ，所以n＝4或n＝5， + 故在数列{a}中a 与a 均为最大项，且a＝a＝，当n≥5时，数列{a}是递减数列． n 4 5 4 5 n 8．(2023·扬州仪征中学模拟)已知数列{a}满足a＝1，a ＝，则下列说法正确的是( ) n 1 n＋1 A．a >a 2 023 2 022 B．4a－1＝4a a n＋1 n C.＋的最小值为8＋ D．a≥1 n 答案 ABD 解析 因为a －a ＝－a ＝>0，即a >a ，所以a≥a ＝1，故D正确；因为a >a ，所 n＋1 n n n＋1 n n 1 n＋1 n 以数列{a}为递增数列，可得a >a ，故A正确；对于选项B，因为a ＝，则2a － n 2 023 2 022 n＋1 n＋1a ＝，两边平方整理得4a－1＝4a a ，故B正确；对于选项C，因为数列{a}为递增数列 n n＋1 n n 且a≥1>0，则为递减数列，所以为递减数列，不存在最小值，故C错误． n 三、填空题 9．若a＝－2n2＋29n＋3，则数列{a}的最大项是第________项． n n 答案 7 解析 由题意得，a＝－2n2＋29n＋3，其对应的二次函数为y＝－2x2＋29x＋3， n 函数y＝－2x2＋29x＋3的图象开口向下，对称轴为x＝， 因为n为正整数， 所以当n＝7时，a 取得最大值． n 10．已知数列{a}的前n项和S＝a＋，则{a}的通项公式a＝________. n n n n n 答案 n－1 解析 当n＝1时，a＝S＝a＋， 1 1 1 所以a＝1； 1 当n≥2时，a＝S－S ＝a－a ， n n n－1 n n－1 所以＝－， 所以数列{a}是以1为首项，－为公比的等比数列， n 故a＝n－1. n 11．已知数列{a}满足a ＝1，(n－1)a ＝n·2na (n∈N ，n≥2)，则数列{a}的通项公式为 n 1 n n－1 + n ________． 答案 a＝ n 解析 当n≥2时，有(n－1)a＝n·2na ， n n－1 故＝·2n， 则有＝·2n－1，＝·2n－2，…，＝×22. 上述n－1个式子累乘，得＝···…·＝n·2n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＝ . 因为a＝1， 1 所以a＝ ， n 而当n＝1时，a＝1×20＝1，也满足上式， 1 故数列{a}的通项公式为a＝ . n n 12．(2024·重庆模拟)九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣， 以解开为胜，趣味无穷．现假设有n个圆环，用a 表示按照某种规则解下n个圆环所需的最 n 少移动次数，且数列{a}满足a ＝1，a ＝2，a ＝a ＋2n－1(n≥3，n∈N )，则解开九连环最 n 1 2 n n－2 + 少需要移动________次．答案 341 解析 由题意，a＝a ＋2n－1， n n－2 故a－a＝22， 3 1 a－a＝24， 5 3 … a －a ＝22n－2， 2n－1 2n－3 以上各式相加，可得 a －a＝22＋24＋…＋22n－2＝41＋42＋…＋4n－1， 2n－1 1 即a ＝1＋41＋42＋…＋4n－1＝＝， 2n－1 所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为a＝＝341. 9 四、解答题 13．已知数列{a}的各项均为正数，其前n项和为S，且满足a＝1，a ＝2＋1. n n 1 n＋1 (1)求a 的值； 2 (2)求数列{a}的通项公式． n 解 (1)∵a＝1，a ＝2＋1， 1 n＋1 ∴a＝2＋1＝2＋1＝3. 2 (2)方法一 由a ＝2＋1， n＋1 得S －S＝2＋1， n＋1 n 故S ＝(＋1)2. n＋1 ∵a>0，∴S>0， n n ∴＝＋1， 即－＝1， 则－＝1(n≥2)， 由累加法可得＝1＋(n－1)＝n， ∴S＝n2(n≥2)， n 又S＝a＝1，满足上式，∴S＝n2. 1 1 n 当n≥2时，a＝S－S ＝n2－(n－1)2＝2n－1， n n n－1 又a＝1适合上式，∴a＝2n－1. 1 n 方法二 由a ＝2＋1， n＋1 得(a －1)2＝4S， n＋1 n 当n≥2时，(a－1)2＝4S ， n n－1 ∴(a －1)2－(a－1)2＝4(S－S )＝4a. n＋1 n n n－1 n ∴a－a－2a －2a＝0， n＋1 n 即(a ＋a)(a －a－2)＝0. n＋1 n n＋1 n∵a>0，∴a －a＝2(n≥2)． n n＋1 n a－a＝2， 2 1 ∴{a}为等差数列，且公差为2， n ∴a＝1＋(n－1)×2＝2n－1. n 14．已知在数列{a}中，a＝1，其前n项和为S，且满足2S＝(n＋1)a(n∈N )． n 1 n n n + (1)求数列{a}的通项公式； n (2)记b＝3n－λa，若数列{b}为递增数列，求λ的取值范围． n n 解 (1)∵2S＝(n＋1)a， n n ∴2S ＝(n＋2)a ， n＋1 n＋1 ∴2a ＝(n＋2)a －(n＋1)a， n＋1 n＋1 n 即na ＝(n＋1)a， n＋1 n ∴＝， ∴＝＝…＝＝1， ∴a＝n(n∈N )． n + (2)∵b＝3n－λn2， n ∴b －b＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)． n＋1 n ∵数列{b}为递增数列， n ∴2·3n－λ(2n＋1)>0， 即λ<. 令c＝， n 则＝·＝>1， ∴{c}为递增数列，∴λ0， n n－1 所以a－a ＝1(n≥2)， n n－1 所以a＝1＋n－1＝n. n 又a＝1适合上式，所以a＝n. 1 n
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