文档内容
目 录
第一篇 数字推理··································································1
第一章 等差数列··································································1
第二章 等比数列··································································3
第三章 和数列·····································································4
第四章 积数列·····································································6
第五章 多次方数列·······························································7
第六章 分式数列··································································9
第七章 组合数列································································11
第二篇 数学运算·································································13
第一章 计算问题································································13
第一节 和差倍比······································································13
第二节 整除特性······································································16
第二章 利润问题································································20
第三章 行程问题································································23
第一节 基本行程······································································23
第二节 相遇追及······································································25
I第三节 流水行船······································································27
第四章 工程问题································································29
第一节 基本工程······································································29
第二节 多者合作······································································31
第五章 排列组合问题··························································33
第一节 基础知识······································································33
第二节 常用方法······································································35
第六章 极值问题································································37
第一节 和定最值······································································37
第二节 最不利原则···································································39
第七章 容斥问题································································41
第一节 两者容斥······································································41
第二节 三者容斥······································································43
第八章 几何问题································································45
第一节 平面几何······································································45
第二节 立体几何······································································48
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第一篇 数字推理
第一章 等差数列
一、知识讲解
（一）常考考点
（二）数列特征
二、效果检验
1.20，52，84，116，（ ）
A.148 B.160 C.182 D.186
2.4，12，19，34，56，（ ）
A.93 B.90 C.87 D.83
3.10，15，25，45，（ ），165
A.60 B.85 C.100 D.105
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4.0，4，13，38，87，（ ）
A.208 B.168 C.148 D.108
5.14，26，45，（ ），104
A.71 B.72 C.73 D.74
6.3，7，16，35，74，（ ）
A.153 B.150 C.148 D.136
7.4，7，5，1，-2，-1，（ ）
A.7 B.8 C.-7 D.-8
8.53，61，68，82，（ ），103，107
A.89 B.92 C.94 D.88
9.2，9，14，10，-8，-36，（ ）
A.-54 B.-55 C.-56 D.-57
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第二章 等比数列
一、知识讲解
（一）常考考点
（二）数列特征
二、效果检验
1.1，2，6，24，120，（ ）
A.1024 B.5040 C.180 D.720
2.60，30，20，15，12，（ ）
A.10 B.9 C.8 D.6
3.340，84，20，4，（ ）
A.2 B.1 C.0 D.-1
4.3，4，7，15，38.5，（ ）
A.118.7 B.117.6 C.116.5 D.156.4
5.2，2，3，7，25，121，（ ）
A.241 B.481 C.721 D.961
6.13，9，31，71，173，（ ）
A.235 B.315 C.367 D.417
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第三章 和数列
一、知识讲解
（一）常考考点
（二）数列特征
二、效果检验
1.4，-1，3，2，5，（ ）
A.58 B.6 C.7 D.10
2.12，13，28，44，（ ）
A.39 B.45 C.75 D.60
3.3，6，18，48，132，（ ），984
A.180 B.240 C.360 D.640
4.11，5，3，1，1，（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.1，3，5，9，17，31，57，（ ）
A.105 B.89 C.95 D.135
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6.1，10，7，10，19，（ ）
A.16 B.20 C.22 D.28
7.1，6，7，14，28，（ ）
A.64 B.56 C.48 D.36
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第四章 积数列
一、知识讲解
（一）常考考点
（二）数列特征
二、效果检验
1.4，1，4，4，16，（ ）
A.16 B.32 C.64 D.256
2.108，36，3，12，（ ）
1 1 1
A.4 B. C. D.
2 3 4
3.1，1，3，5，17，87，（ ）
A.1359 B.1479 C.1481 D.1563
4.2，2，3，4，9，32，（ ）
A.129 B.215 C.257 D.283
5.2，3，8，27，224，（ ）
A.6074 B.6075 C.6076 D.6077
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第五章 多次方数列
一、知识讲解
（一）常考考点
（二）数列特征
二、效果检验
1.0，9，36，81，144，（ ）
A.169 B.196 C.225 D.255
2.1，8，27，64，125，（ ）
A.180 B.216 C.222 D.249
3.1，16，27，16，（ ）
A.1 B.5 C.27 D.36
1
4. ，1，7，36，（ ）
9
A.74 B.86 C.98 D.125
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5.1，2，（ ），37，101，226
A.9 B.17 C.10 D.21
6.7，25，61，121，（ ）
A.151 B.181 C.211 D.241
7.-11，-2，61，46，997，（ ）
A.196 B.162 C.166 D.126
8.1，-2，7，（ ），2119
A.46 B.51 C.49 D.48
9.-1，0，1，2，9，（ ）
A.11 B.82 C.720 D.730
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第六章 分式数列
一、知识讲解
（一）常考考点
（二）数列特征
二、效果检验
1 5 29
1. ，1， ， ，（ ）
2 3 12
193 243 283 245
A. B. C. D.
60 60 72 72
3 1 1 1 2
2. ，- ， ，- ， ，（ ）
8 4 6 9 27
3 4
A.-1 B.1 C. D.-
32 81
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2 1 2 1 2
3. ， ， ， ， ，（ ）
3 2 5 3 7
1 1 1 1
A. B. C. D.
4 6 8 10
2 1 5 11
4. ， ， ，（ ），
3 2 9 15
2 6 3 7
A. B. C. D.
5 11 4 12
3 11 21
5.1， ， ，1， ，（ ）
2 9 25
4 6 5 13
A. B. C. D.
3 5 9 18
3 5 8 9
6. ， ，（ ）， ，
5 6 9 11
3 5 5 7
A. B. C. D.
4 7 8 8
2 3 8 5 23
7. ， ， ， ， ，（ ）
5 7 13 7 30
11 13 27 3
A. B. C. D.
32 40 35 2
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第七章 组合数列
一、知识讲解
（一）常考考点
（二）数列特征
二、效果检验
1.1，3，2，4，2，7，4，11，（ ），（ ）
A.6，19 B.8，18 C.10，20 D.16，22
2.4，27，16，25，36，23，64，21，（ ）
A.80 B.100 C.121 D.19
3.6，44，24，26，18，32，15，（ ）
A.24 B.36 C.10 D.35
4.1，2，4，12，5，20，7，（ ）
A.26 B.28 C.35 D.42
11内部资料 免费交流
5.-1，1，2，-2，4，20，3，-2，（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
6.16，8，24，12，36，28，（ ）
A.16 B.42 C.64 D.72
7.421，842，1263，20105，（ ）
A.32168 B.36189 C.41287 D.71428
8.1716，2523，3330，4642，5853，（ ）
A.6862 B.6765 C.6662 D.6460
9.2017，3026，4035，5044，（ ）
A.7321 B.1058 C.3069 D.2050
10.63，14，91，217，（ ）
A.387 B.316 C.157 D.119
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第二篇 数学运算
第一章 计算问题
第一节 和差倍比
一、知识讲解
（一）问题描述
（二）解题方法
二、能力训练
例1.学校体育室有篮球和足球共100个，拿走一半的篮球和三成的足球后，剩下的
球一共58个，则篮球比足球多：
A.20个 B.30个 C.40个 D.45个
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例2.车间领到一批电影票和球票发放给车间工人，电影票是球票数的2倍。如果每
个工人发3张球票，则富余2张，如果每个工人发7张电影票，则缺6张。问车间领到
多少张球票？
A.32 B.38 C.65 D.68
例3.某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，
某部门所有人员共捐款320元，已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部
门领导？
A.1 B.2 C.3 D.4
三、效果检验
1.某工厂有甲、乙、丙三个生产车间，共有职员60人，已知甲车间职工人数比乙
车间少4人，乙车间职工人数比丙车间少4人，问丙车间有多少职工？
A.24人 B.22人 C.20人 D.16人
1
2.A和B两家公司的年营业额相同，其中A公司的利润额为全年营业额的 ，B
10
公司每个月的支出比A公司高100万元，其当年的亏损额为600万元。问A公司全年
的营业额为多少万元？
A.6000 B.5000 C.4000 D.3000
3.妈妈买了5斤香蕉，姑姑买了4斤葡萄，二人一共花了88元。如果两人对换一
斤水果，那么两人花的钱就相等。问葡萄每斤多少元？
A.4 B.6 C.8 D.12
1 1 1
4.将三根铁棒竖直插入装有水的水箱中，分别有 ， ， 的长度漏出水面，已知
2 3 4
三根铁棒总长度为145cm，问水桶中水深多少？
A.30cm B.35cm C.40cm D.45cm
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5.幸福社区有一周长为28米，占地面积为33平方米的长方形景观水池，社区管理
人员在水池外围建一条等宽的环路，路和水池的占地面积和为65平方米，则路的宽度
为（ ）米。
A.2 B.0.5 C.1 D.3
6.李丽用13元买2元一张和3元一张的两种贺年片，已知2元的多，3元的少。问：
李丽2元贺年片买了几张？
A.3 B.4 C.5 D.6
7.王刚花100元在集市买了100只鸡，已知母鸡每只5元，公鸡每只3元，雏鸡每
3只1元，问王刚最多买了多少母鸡？
A.14只 B.12只 C.8只 D.4只
8.甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元。某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞
赛一、二等奖奖品，钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是：
A.12 B.13 C.16 D.18
9.某份试卷上有20道题，做对1题得6分，做错1题扣3分，不做的题每题扣1
分。如果某考生的得分为53分，那么该考生没有做的题数为：
A.4题 B.5题 C.6题 D.7题
10.木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要
22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需多少个小时？
A.47.5 B.50 C.52.5 D.55
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第二节 整除特性
一、知识讲解
（一）应用环境
（二）整除判定
二、能力训练
例1.下列四个数都是六位数，X是选自1至9的一个自然数，Y是0，那么一定能
同时被2、3、5整除的数是：
A.XYYXYY B.XXXYXX
C.XYXYXY D.XYYXYX
例2.将参加某次面试的考生分组抽题签，每3人或每5人分一组，都多2人，这些
考生至少有（ ）人。
A.17 B.22 C.25 D.32
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例3.1987年6月14日用870614这样一个6位数表示，小王在2013年9月的某日
买了一件衣服，但是具体哪天买的忘了，只知道表示一周后的日期的6位数是3的倍数，
请问小王在哪一天买的衣服？
A.130901 B.130902 C.130903 D.130905
例4.在一次有四个局参加的工作会议中，土地局与财政局参加的人数比为5∶4，
国税局与地税局参加的人数比为25∶9，土地局与地税局参加人数的比为10∶3，如果
国税局有50人参加，土地局有多少人参加？
A.25 B.48 C.60 D.63
3
例5.一袋糖里装有奶糖和水果糖，其中奶糖的颗数占总颗数的 。现在又装进10
5
4
颗水果糖，这时奶糖的颗数占总颗数的 。那么，这袋糖里有多少颗奶糖？
7
A.100 B.112 C.120 D.122
例6.请计算：11883×26685=（ ）。
A.317097825 B.317097855
C.317097835 D.317097845
三、效果检验
1.六位数X2010Y能被88整除，则X、Y的取值分别为：
A.X=9，Y=4 B.X=7，Y=4
C.X=9，Y=8 D.X=8，Y=4
2.一位马虎的采购员买了36只垃圾桶，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看
到：36只桶，共□67.9□元（□内的数字洗掉了），则他一共用了（ ）元。
A.267.94 B.267.96 C.367.92 D.367.98
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3.某机关盖车棚剩下一批砖，办公室请部分人员帮忙把砖搬走。若每人搬3块还剩
10块，每人搬4块少20块。问共有多少块砖？
A.100 B.110 C.120 D.130
4.有4个自然数甲、乙、丙、丁，他们的和不超过110，并且甲除以乙商是3余3，
甲除以丙商是4余4，甲除以丁商是5余5，那么四个自然数之和为：
A.98 B.104 C.106 D.110
5.某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自
然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名
第三的员工工号所有数字之和是多少？
A.9 B.12 C.15 D.18
6.某单位车库里有6个油桶，分别盛有汽油、柴油和机油，其重量为31升、20升、
19升、18升、16升、15升。已知6桶油中有一桶汽油，柴油比机油多一倍。请问，柴
油是多少？
A.49升 B.50升 C.66升 D.68升
4
7.某校男生人数比全校学生总数的 少150人，女生人数是男生人数的1.1倍，该
7
校学生总数应为：
A.1250 B.750 C.1575 D.600
8.已知北京大酒店和昆仑酒店两家酒店共有260个房间，其中北京大酒店有13%不
是标间，昆仑酒店有12.5%不是标间，则北京大酒店有（ ）个标间。
A.67 B.75 C.87 D.174
9.某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年
增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？
A.329 B.350 C.371 D.504
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10.李先生去10层楼的8层办事，恰赶上电梯停电，他只能步行爬楼。他从第1层
爬到第4层用了48秒，请问，以同样的速度爬到第8层共需要多少秒？
A.112 B.96 C.64 D.48
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第二章 利润问题
一、知识讲解
（一）基本公式
（二）常用方法
1．方程法
2．特值法
二、能力训练
例1.某汽车销售中心以每辆18万元售出两辆小汽车，与成本相比较，其中一辆获
利20%，另一辆亏损10%，则该中心该笔交易的盈亏额是（ ）。
A.赚1万元 B.亏1万元
C.赚5.84万元 D.0元（不赔不赚）
例2.苹果每斤1元，如果买25斤重的一整箱，则打八折，那么买一箱苹果多少钱？
A.18元 B.20元 C.22元 D.24元
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例3.某商品按20%利润定价，然后按8.8折卖出，共获得利润84元，求商品的成
本是多少元？
A.1500 B.950 C.840 D.760
例4.如果某商品按定价的80%（八折）出售，仍能获得20%的利润，问定价时期
望的利润率是多少？
A.50% B.40% C.30% D.20%
三、效果检验
1.某包子店的包子每个卖0.5元，包子的制作成本为0.35元。今早，当包子店的包
子卖剩20个时，包子店已经获利17元。则包子店今早共制作了（ ）个包子。
A.150 B.160 C.180 D.200
2.某种商品的标价为220元，为了吸引顾客，按9折出售，这时仍可盈利10%，则
这种商品的进价是（ ）元。
A.180 B.190 C.200 D.210
3.一种商品原定价150元，利润率为50%，后来搞促销活动打七折销售，则后来利
润率为：
A.5% B.10% C.15% D.20%
4.某商场开业酬宾，公布了打折信息：开业期间，①如果购物不超过300元，则没
有优惠；②如果超过300元但不超过800元，按标价给予8折优惠；③如果超过800
元，其中800元按8折优惠，超过800部分给予7折优惠，小王在开业期间两次购物，
分别付款190元和560元，假设她一次购买同样的商品，则应付（ ）元。
A.703 B.723 C.748 D.752
5.某商品按每个5元的利润卖出11个的钱，与按每个11元的利润卖出10个的钱
一样多，这个商品的成本是多少元？
A.11 B.33 C.55 D.66
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6.一家公司销售两种商品A和B，利润率分别为10%和20%。已知公司共盈利3000
元，两种商品的总成本之和与商品A的销售额相等。问商品A的总成本是多少元？
A.2500元 B.5000元 C.18000元 D.25000元
7.一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个
百分点，则超市上月销售该商品的利润率为：
A.12% B.13% C.14% D.15%
8.有一本畅销书，今年每册书的成本比去年增加了10%，因此每册书的利润下降了
20%，但是今年的销售量比去年增加了70%，则今年销售该畅销书的总利润比去年增加
了：
A.36% B.25% C.20% D.15%
9.某商品分别在购物网站和实体店进行销售，利润率都是100%。为了促销，网站
推出该商品买二赠一活动，实体店在提高一定价钱后以六折销售，结果两者利润仍然相
同。问实体店提高的价钱占该商品原来售价的比例是多少？
1 1 2 1
A. B. C. D.
3 6 9 9
10.一批商品，期望获得50%的利润来定价，结果只销掉70%的商品，为尽早销售
掉剩下的商品，商店决定按定价打折出售，这样所获得的全部利润是原来所期望利润的
82%，问打了多少折扣？
A.4折 B.6折 C.7折 D.8折
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第三章 行程问题
第一节 基本行程
一、知识讲解
（一）基本公式
（二）常用方法
二、能力训练
例1.一列火车长450米，正以72千米每小时的速度通过全长为2750米的大桥，那
么火车车头从开始进入到完全通过大桥需要（ ）秒。
A.154 B.158 C.160 D.164
例2.飞行员前4分钟用半速飞行，后4分钟用全速飞行，在8分钟内一共飞行了
72公里，问飞机全速飞行时每小时的速度是多少公里？
A.540 B.720 C.432 D.360
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三、效果检验
1.甲、乙两车往返于A、B两地之间，甲车去时的速度是每小时60千米，回来时
速度是每小时80千米。乙车往返的速度都是每小时70千米。甲、乙往返一次所用时间
的比是（ ）。
A.2∶3 B.3∶2 C.18∶49 D.49∶48
2.某人要到相隔48千米的外地去，开始有辆速度36千米/时的摩托车送他，行到半
路车坏了，于是他只得以6千米/时的速度步行至目的地，总共用了1.8小时。请问，他
步行了多少千米？
A.3.2 B.3.36 C.4 D.5.6
3.小明步行45分钟，可从甲地到乙地，小华开车15分钟能从乙地到甲地，两人相
遇时，小明已经走了30分钟，小华开车送小明返回甲地，要几分钟？
A.10 B.15 C.3 D.5
4.经技术改进，A、B两城间列车的运行速度由150千米/小时提升到250千米/小时，
行车时间因此缩短了48分钟，则A、B两城间的距离为：
A.300千米 B.291千米 C.310千米 D.320千米
5.解放军某部进行爬山训练，往返一次用去6小时，已知上山时每小时行5千米，
下山时每小时行10千米，问山顶到山脚的距离是多少千米？
A.30 B.20 C.40 D.15
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第二节 相遇追及
一、知识讲解
（一）相遇
（二）追及
二、能力训练
例1.两地间的路程有360千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行55
千米，乙车每小时行35千米。当两车相遇时，甲车行了（ ）千米。
A.120 B.140 C.220 D.240
例2.小张同学坐在路边，手里拿着一个测速仪，小张先测得一辆车，以5米每秒的
速度通过，5分钟之后，又有一辆车，以10米每秒的速度通过，问第二辆车要（ ）
分钟可以追上第一辆车？
A.4 B.5 C.7 D.10
例3.小张和小王两人早晨在学校长300米的环形操场进行跑步比赛，小张每秒钟跑
6米，小王每秒跑4米，则小张第二次追上小王时跑了多少圈？
A.9圈 B.8圈 C.7圈 D.6圈
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三、效果检验
1.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆客车从甲地同时开往乙地，货车每小
时50千米，客车每小时70千米，客车到达乙地后立即返回，则两辆车从开车到相遇共
用的时间是：
A.3小时 B.4小时 C.5小时 D.6小时
2.有客、货、轿三车在同一条道路上同向匀速行进，在某时刻，货车在中、客车在
t
前、轿车在后，且三车间距相等。t分钟后，轿车追上了货车；又过了 分钟，轿车追
2
上了客车。问再过多少分钟，货车可以追上客车？
t 3t
A. B.t C. D.3t
2 2
3.一列高铁火车长380米，另有一列普通火车长580米，两车速度为5∶3，已知两
车同向行驶交叉时间为1分钟，当他们相向而行时，两车交叉的时间是多少秒？
A.14 B.15 C.16 D.17
4.甲乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。
已知甲每秒比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是
（ ）米。
A.176 B.166 C.234 D.224
5.甲、乙两人在学校350米的环形跑道上跑步，已知甲的速度是190米/分钟，乙的
速度比甲慢。两人同方向、同起点、同时出发，50分钟时第5次相遇，那么，乙的速
度为（ ）米/分钟。
A.170 B.180 C.155 D.185
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第三节 流水行船
一、知识讲解
（一）基本概念
（二）基本公式
二、能力训练
例1.两个码头相距432千米，轮船顺水行这段路程要16小时，逆水每小时比顺水
少行9千米，逆水比顺水多用几小时？
A.4 B.6 C.8 D.10
例2.一条船从甲地到乙地需要4小时，从乙地到甲地需要5小时，假定船速不变，
则一支木筏从甲地到乙地需要（ ）小时。
A.12 B.40 C.32 D.30
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三、效果检验
1.A、B两港相距360千米，甲轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花
了5小时。乙轮船在静水中的速度是每小时12千米，乙轮船往返两港需要多少小时？
A.50 B.56 C.64 D.68
2.商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的
扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒
钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：
A.80级 B.100级 C.120级 D.140级
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第四章 工程问题
第一节 基本工程
一、知识讲解
（一）基本公式
（二）常用方法
二、能力训练
例1.3名工人5小时加工零件90个，要在10小时完成540个零件的加工，需要工
人多少名？
A.7 B.8 C.9 D.10
例2.某工人原计划10小时完成的工作，8个小时就完成了，他的工作效率比原计
划提高了（ ）。
A.20% B.120% C.25% D.80%
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三、效果检验
1.有20人修一条路，计划15天完成。动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修
路。如果每人工作的效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？
A.16 B.17 C.18 D.19
2.原计划用24个工人挖一定数量的土方，按计划工作5天后，因为调走6人，于
是剩下的工人每天比原定工作量多挖1方土才能如期完成任务。则原计划每人每天挖
（ ）。
A.6方 B.5方 C.4方 D.3方
3.某计算机厂要在规定的时间内生产一批计算机，如果每天生产140台，可以提前
3天完成；如果每天生产120台，就要再生产3天才能完成，问规定完成的时间是多少
天？
A.30 B.33 C.36 D.39
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第二节 多者合作
一、知识讲解
（一）解题核心
（二）解题方法
二、能力训练
例1.收割一块稻田，丈夫单独收割需要3天完成，妻子单独收割需要6天完成，夫
妻两人共同收割，则需要（ ）天完成。
A.2 B.3 C.6 D.9
例2.一项工程，甲、乙两队合作需要8天完成。若施工中途甲队停工3天，则两队
共用10天完工。该工程若由甲队单独施工，需要：
A.14天 B.15天 C.12天 D.16天
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三、效果检验
1.一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病
休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天？
A.3 B.2.5 C.2 D.1.5
2.现由甲、乙、丙三人完成一项工程，如果由甲、乙两人合作，需要12小时完成；
如果由乙、丙两人合作，需要10小时完成；如果甲、乙、丙三人合作，需要6小时才
能完成，则这项工程如果全部由甲单独完成，所需小时数为（ ）。
A.15 B.18 C.20 D.25
3.甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4，现将A、B两项工作量相同的工程
交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转
而参与B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束。问丙队在A工程中参与施工
多少天？
A.6 B.7 C.8 D.9
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第五章 排列组合问题
第一节 基础知识
一、知识讲解
（一）基本原理
1．加法原理
2．乘法原理
（二）排列和组合
1．排列和排列数
2．组合和组合数
二、能力训练
例1.有1元、2元、5元面值的人民币若干张，现要组成11元钱，问有几种不同的
组合？
A.10种 B.11种 C.12种 D.13种
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例2.用0，1，2，3，4，5六个数字，能组成多少个没有重复的三位数？
A.85 B.397 C.100 D.122
例3.某铁路线上有25个大小车站，那么应该为这条路线准备多少种不同的车票？
A.625 B.600 C.300 D.450
例4.从3、5、7、11四个数中任取两个数相乘，可以得到多少个不相等的积？
A.5 B.4 C.6 D.7
三、效果检验
1.一条路全长9千米，某工程队每天只能修2千米或3千米，则修完这条路共有（ ）
种进度安排方法。
A.5 B.6 C.7 D.8
2.假定每天的天气按晴天、阴天划分，那么一周的时间，晴天和阴天的变化可能有
多少种情况？
A.32种 B.64种 C.128种 D.256种
3.由数字1、2、3、4、5、6可组成多少个没有重复数字的四位奇数？
A.15 B.180 C.720 D.4096
4.从8男和5女中选3男和2女参加数学竞赛，共有多少种选法？
A.3360种 B.1680种 C.560种 D.280种
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第二节 常用方法
一、知识讲解
（一）优限法
（二）捆绑法
（三）插空法
（四）间接法
二、能力训练
例1.甲、乙、丙、丁、戊、已六位室友拍毕业照。问：
（1）甲不站在最左边，共有多少种排法？
（2）若甲、乙必须相邻，共有多少种排法？
（3）若甲、乙不相邻，共有多少种排法？
例2.同时扔出A、B两颗骰子（其六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6），
问两颗骰子出现的数字的积为偶数的情形有几种？
A.27种 B.24种 C.32种 D.54种
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三、效果检验
1.A、B、C、D、E是新入职员工，现在单位要把他们分别分到甲、乙、丙、丁、
戊五个部门，已知A和B不能分配到乙部门，则有（ ）种分配方法。
A.64 B.72 C.88 D.96
2.某人射击8枪，命中4枪，命中4枪中恰好有3枪连在一起的情况的种数为：
A.7 B.10 C.14 D.20
3.幼儿园老师让小朋友摆放3个同样的足球和4个同样的篮球，要求3个足球互不
相邻，共有多少种不同的方法？
A.8 B.10 C.15 D.20
4.某公司要从10名员工中选派4人去公司总部参加培训，其中甲和乙不能同时参
加，那么有多少种不同的选派方法？
A.146 B.165 C.182 D.196
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第六章 极值问题
第一节 和定最值
一、知识讲解
（一）题型特征
（二）解题原则
二、能力训练
例1.假设5个相异正整数的平均数是19，中位数是21，则此5个正整数中最大数
的最大值是多少？
A.38 B.44 C.49 D.52
例2.小张在网上看一部40集的电视剧，他每天至少看一集，假设每天小张观看的
集数都不相同，则小张最多用几天看完这部电视剧？
A.7 B.8 C.9 D.10
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三、效果检验
1.如果跳水运动员总共跳了8跳，平均分数77分。这8跳的分数是互不相同的整
数，最高96分，最低69分，那么分数从高到低居第二的分数最高是（ ）分。
A.91 B.90 C.89 D.88
2.五人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同。则体重最轻的
人，最重可能重（ ）。
A.80斤 B.82斤 C.84斤 D.86斤
3.有10个小朋友共有100个苹果，每个小朋友拥有的苹果数都不同。如果拥有的
苹果数量排名第5多的小朋友有12个苹果，那么苹果数量排名最后的小朋友，最多有
几个苹果？
A.2 B.3 C.4 D.5
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第二节 最不利原则
一、知识讲解
（一）题型特征
（二）解题原则
二、能力训练
例1.有红色筷子7根，白色筷子8根，蓝色筷子16根，黄色筷子22根，黑色筷子
23根，某人要想保证从中取出一双同色的筷子，至少要取出几根？
A.3 B.4 C.5 D.6
例2.有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财
务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作，
才能保证一定有70名找到工作的人专业相同？
A.71 B.119 C.258 D.277
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三、效果检验
1.某公司有38名男员工，27名女员工。现要参加集团组织的羽毛球比赛，如采取
自由报名的形式，至少有多少名员工报名才能保证一定能从报名者中选出男女选手各8
名参赛？
A.65 B.46 C.35 D.16
2.若干名男生去露营，共有6顶帐篷，安排住宿时队长叫所有人挨个抽签（抽完后
登记结果再把签放回去），每人抽签的机会平等，数字1-6分别代表各个不同的帐篷，
一位数学狂人抽签前便断言：至少会有一顶帐篷住的人数不少于6人。若此人所说正确，
则露营男生至少有（ ）名。
A.31 B.33 C.36 D.37
3.学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可
以不参加）。问：至少有（ ）名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情
况完全相同？
A.26 B.29 C.32 D.36
4.某单位选举工会主席，每人投票从甲、乙、丙三个候选人中选择一人。已知该单
位共有52人，并且在计票过程中的某时刻，甲得到17票，乙得到16票，丙得到11
票。如果得票比其他两人都多的候选人将成为工会主席，那么甲最少再得到多少票就能
够保证当选？
A.2 B.3 C.4 D.5
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第七章 容斥问题
第一节 两者容斥
一、知识讲解
（一）解题原则
（二）解题方法
二、能力训练
例1.某学校一大四班级共有学生46人，参加国家公务员考试的有38人，参加研究
生考试的有25人，两个考试都参加的有20人，问两个考试都没参加的有多少人？
A.6人 B.5人 C.4人 D.3人
例2.某班级有52人，在期末考试中，语文及格的有43人，数学及格的有40人，
语文和数学都不及格的有6人，则语文和数学都及格的有（ ）人。
A.32 B.37 C.39 D.40
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三、效果检验
1.某单位共有84名职员，其中70人参加计算机培训，63人参加英语培训。只参加
计算机培训而未参加英语培训的有9人，那么既未参加英语培训又未参加计算机培训的
有多少人？
A.11 B.12 C.13 D.14
2.旅行社对120人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5∶3；喜欢游
泳的与不喜欢游泳的人数比为7∶5；两种活动都喜欢的有43人。对这两种活动都不喜
欢的人数是（ ）。
A.18 B.27 C.28 D.32
3.某企业有80名员工，员工的工号依次为1至80。某次会议上，假如80名员工全
部参会，会议要求工号是4的倍数的员工发言谈工作体会，让工号是6的倍数的员工发
言对近期实施的薪酬方案提意见。那么，需要发言的有（ ）人。
A.20 B.27 C.35 D.40
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第二节 三者容斥
一、知识讲解
（一）解题原则
（二）解题方法
二、能力训练
例1.某单位员工中有45人订阅A刊，有49人订阅了B刊，有58人订阅了C刊，
有16人订阅了A刊和B刊，有23人订阅了B刊和C刊，有21人订阅了A刊和C刊。
有10人同时订阅了这三种刊物。该单位至少订阅一种刊物的人数是：
A.88 B.95 C.102 D.109
例2.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师
考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，
三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一
种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？
A.120 B.144 C.177 D.192
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三、效果检验
1.如图所示，每个圆纸片的面积都是36，圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠
部分面积分别为7、6、9，三个圆纸片覆盖的总面积为88，则图中阴影部分的面积为（ ）。
A.66 B.68 C.70 D.72
2.某公司针对甲、乙、丙三种美食的受欢迎情况向135人进行调查，有99人喜欢
甲种美食，有57人喜欢乙种美食，有73人喜欢丙种美食，其中有34人三种美食都喜
欢，有30人一种都不喜欢，则只喜欢其中两种美食的人数是多少？
A.64人 B.56人 C.58人 D.60人
3.学校有钢琴、小提琴和古筝三科热门的选修课，随机对学校57名学生进行调查
发现，有45人想选钢琴课，35人想选小提琴课，15人想选古筝课，三科都想选的人数
1
是不止想选一科的人数的 ，是一科都不想选的人数的4倍，则只想选一科的人数为：
4
A.33人 B.35人 C.27人 D.23人
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第八章 几何问题
第一节 平面几何
一、知识讲解
（一）基本公式
（二）基本性质
二、能力训练
例1.一个等腰梯形有三条边的长度分别是18厘米、30厘米、66厘米，且下底是最
长的一边。问这个等腰梯形的周长是多少厘米？
A.132厘米 B.144厘米
C.132厘米或144厘米 D.180厘米
例2.边长为40米的正方形，将边长增加20米造一个更大的正方形，这时面积增加
了（ ）平方米。
A.2500 B.2000 C.1500 D.1000
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三、效果检验
1.一个正方形的一边减少20%，另一边增加2，得到长方形的面积与原正方形的面
积相等，问正方形面积是多少？
A.8 B.10 C.16 D.64
2.将一根长为40的铁丝折为三边都为整数，面积为60的直角三角形，则该三角形
最长的一条边长度为（ ）。
A.15 B.16 C.17 D.18
3.如下图，已知△CDE的面积为36cm2，线段CE的长度是BE的3倍，则梯形
ABDC的面积为（ ）。
A.48 B.56 C.64 D.72
4.下图中EC=12厘米，CD=5厘米，△CDE的面积等于长方形ABCF的面积，那
么△ADF的面积是：
A.45平方厘米 B.30平方厘米
C.20平方厘米 D.15平方厘米
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5.下图中大、小正方形边长分别为6厘米、4厘米，则阴影部分面积为多少平方厘
米？
A.16 B.18 C.20 D.24
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第二节 立体几何
一、知识讲解
（一）基本公式
（二）基本性质
二、能力训练
例1.一个底面直径为8cm，高为10cm的圆柱体沿上下底面圆心的连线切开，它的
表面积增加了多少？
A.160cm2 B.100cm2 C.80cm2 D.64cm2
例2.长方体一个顶点的三个面面积分别是12，15，20平方厘米，则长方体的体积
是多少立方厘米？
A.3600 B.360 C.60 D.47
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三、效果检验
1.一个长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体盒子，一只瓢虫从盒子的任意一个
顶点，爬到与该顶点在同一条对角线的另一个顶点，则所有情形的爬行路线的最小值是：
A. 153厘米 B. 109厘米
C. 171厘米 D. 113厘米
2.圆柱体的底面直径和高均为4米，圆锥体的底面直径和高均为2米，则圆柱体与
圆锥体的体积之比为（ ）。
A.24∶1 B.8∶1 C.6∶1 D.3∶1
3.一个球内接正方体的表面积增加21%后，则该球的体积增加百分之几？
A.10 B.21 C.33.1 D.33.3
4.将一个用若干边长为1cm的小正方体拼成长为20cm、宽为10cm、高为8cm的
长方体的表面染上颜色，那么只有一面被染上颜色的小正方体与未被染色的小正方体的
比为：
A.25∶36 B.36∶25 C.107∶108 D.108∶107
49
