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必刷小题 11 数 列
一、单项选择题
1．(2023·赣州统考)已知等差数列{a}中，S 是其前n项和，若a ＋S ＝22，a －S ＝－15，
n n 3 3 4 4
则a 等于( )
5
A．7 B．10 C．11 D．13
答案 C
解析 设公差为d，则a＋2d＋3a＋3d＝22，a＋3d－4a－6d＝－15，
1 1 1 1
解得a＝3，d＝2，
1
故a＝a＋4d＝3＋8＝11.
5 1
2．已知等差数列{a}的公差为4，且a，a，a 成等比数列，则a 等于( )
n 2 3 6 14
A．46 B．48 C．50 D．52
答案 C
解析 由题意得a＝aa＝(a－4)(a＋3×4)，
2 6 3 3
解得a＝6，
3
所以a ＝a＋11×4＝50.
14 3
3．已知数列{a}满足a＝1，aa ＝2n(n∈N*)，则a 等于( )
n 1 n n＋1 10
A．64 B．32 C．16 D．8
答案 B
解析 ∵数列{a}满足a＝1，aa ＝2n，
n 1 n n＋1
∴aa＝2，解得a＝2.
1 2 2
当n≥2时，＝2，即＝2，
所以···＝24，所以＝24，
故a ＝25＝32.
10
4．(2023·漳州模拟)已知数列为等比数列，且a＝2，a＝16，则a 等于( )
4 8 10
A．30 B．±30 C．40 D．±40
答案 C
解析 令b＝，设数列的公比为q，
n
因为a＝2，a＝16，
4 8
所以b＝＝，b＝＝2，
4 8
又b＝bq4，所以q4＝＝4，得到q2＝2，
8 4
所以b ＝＝bq2＝4，所以a ＝40.
10 8 10
5．(2024·榆林联考)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，
以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍．若要使莞的长度是蒲的长
度的2倍，则需要的时间为( )
A．4天 B．5天 C．6天 D．7天
答案 A
解析 由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，
∴蒲的生长构成首项为4，公比为的等比数列，其前n项和为
S＝＝8－n－3，
n
又由莞第一天长高一尺，每天长高为前一天的两倍，则莞的生长构成首项为 1，公比为2
的等比数列，
其前n项和为T＝＝2n－1，
n
又∵T＝2S，∴2n－1＝2×，
n n
解得n＝4或n＝0(舍去)．
6．若数列{a}满足a＝1，＝＋1，则a 等于( )
n 1 9
A. B. C．210－1 D．29－1
答案 B
解析 因为a＝1，＝＋1，
1
所以＋1＝2，
又＋1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以＋1＝2n，
即a＝，所以a＝.
n 9
7．小明同学在研究数列{a}时，发现其递推公式 a ＝a ＋a(n∈N*)可以利用“叠罗
n n＋2 n＋1 n
汉”的思想来处理，即如果该数列{a}的前两项分别为a＝1，a＝2，其前n项和记为S，
n 1 2 n
若a ＝m，则S 等于( )
2 026 2 024
A．2m B. C．m＋2 D．m－2
答案 D
解析 由a ＝a ＋a(n∈N*)，
n＋2 n＋1 n
得a＝a －a (n∈N*)，
n n＋2 n＋1
所以S ＝a ＋a ＋a ＋…＋a＋a＋a
2 024 2 024 2 023 2 022 3 2 1
＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋…＋(a－a)＋(a－a)＋(a－a)
2 026 2 025 2 025 2 024 2 024 2 023 5 4 4 3 3 2
＝a －a＝m－2.
2 026 2
8．已知正项数列{a}的前n项和为S ，且a ＝2，S－3na ＝S(S ＋2·3n)，则S 等于(
n n 1 n＋1 n n 2 023
)
A．32 023－1 B.C. D.
答案 C
解析 由题意得，
S－3n(S －S)＝S(S＋2·3n)，
n＋1 n n n
则S－S＝3n(S ＋S)，
n＋1 n
又{a}都为正项，则S>0，
n n
故S －S＝3n，
n＋1 n
所以S －S ＋…＋S－S＋S－S＝32 022＋…＋32＋3＝，
2 023 2 022 3 2 2 1
所以S －S＝S －2＝，
2 023 1 2 023
故S ＝.
2 023
二、多项选择题
9．已知正项等比数列{a}的公比为q，aaa ＝4，aaa ＝12，a a a ＝324，则下列
n 1 2 3 4 5 6 n＋1 n＋2 n＋3
说法正确的是( )
A．q2＝3 B．a＝4
C．aa＝2 D．n＝12
4 6
答案 BD
解析 正项等比数列{a}的公比为q，
n
则a＝aqn－1，
n 1
由aaa＝4，aaa＝12，
1 2 3 4 5 6
得a＝4，a＝12，故B正确；
而a＝aq3，于是(aq3)3＝12，
5 2 2
即q9＝3，故A错误；
而a＝，则aa＝a＝2，故C错误；
5 4 6
由a a a ＝324，
n＋1 n＋2 n＋3
得a＝324，即(aqn)3＝324，
2
因为a＝4，因此q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，
显然q>1，所以3n＝36，解得n＝12，故D正确．
10．记S 为等比数列{a}的前n项和，则( )
n n
A.是等比数列
B．{aa }是等比数列
n n＋1
C．S，S ，S 成等比数列
n 2n 3n
D．S，S －S，S －S 成等比数列
n 2n n 3n 2n
答案 AB
解析 设等比数列{a}的公比为q(q≠0)，
n则有＝q，所以＝＝，
所以是以为公比的等比数列，故A正确；
＝q2，
所以{aa }是以q2为公比的等比数列，故B正确；
n n＋1
若公比q＝－1，则S ＝0，
2n
所以S，S ，S 不能构成等比数列，故C错误；
n 2n 3n
若公比q＝－1，且n为偶数，
则S，S －S，S －S 都等于0，
n 2n n 3n 2n
此时不能构成等比数列，故D错误．
11．已知等差数列{a}的公差为d，前n项和为S ，且d≠0，a ，a ，a 成等比数列，则(
n n 1 4 6
)
A．S ＝0
19
B．a＝0
9
C．当d<0时，S 是S 的最大值
9 n
D．当d>0时，S 是S 的最小值
10 n
答案 ACD
解析 因为a，a，a 成等比数列，
1 4 6
所以aa＝a，
1 6
即a(a＋5d)＝(a＋3d)2，整理得ad＝－9d2，
1 1 1 1
因为d≠0，所以a＝－9d，
1
所以a ＝a＋9d＝0，
10 1
则S ＝＝19a ＝0，故A正确，B错误；
19 10
当d<0时，{a}是递减数列，
n
此时a>a>…>a>a ＝0>a >…，
1 2 9 10 11
所以当n＝9或n＝10时，S 取得最大值，
n
即(S) ＝S＝S ，故C正确；
n max 9 10
当d>0时，{a}是递增数列，
n
此时an，m，n∈N*)；②{a}是递增数列．
m－n m n n
答案 2n(符合kn(k>0)的形式即可)解析 假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为a，
1
由性质①可得a＋(m－n－1)d＝a＋(m－1)d－a－(n－1)d，
1 1 1
整理得a＝d，
1
即a＝a＋(n－1)d＝dn，
n 1
再根据②可知，公差d>0，取d＝2，
显然a＝2n满足题意．(符合kn(k>0)的形式即可)
n
16．已知向量序列：a ，a ，a ，…，a 满足如下条件：|a|＝4|d|＝2,2a·d＝－1且a －a
1 2 3 n 1 1 n n－1
＝d(n＝2,3,4，…)．若 a·a ＝0，则 k＝________；|a|，|a|，|a|，…，|a|，…中第
1 k 1 2 3 n
________项最小．
答案 9 3
解析 因为a－a ＝d(n＝2,3,4，…)，
n n－1
所以a－a ＝d，a －a ＝d，…，a－a＝d，
n n－1 n－1 n－2 2 1
累加得a＝a＋(n－1)d，
n 1
所以a＝a＋(k－1)d，
k 1
则a·a＝a＋(k－1)a·d＝0，
1 k 1
即4－＝0，解得k＝9；
a＝a＋(n－1)d，
n 1
即a＝|a|2＝[a＋(n－1)d]2＝－(n－1)＋4(n∈N*)，
n 1
易知当n－1＝－＝2，即n＝3时，|a|取得最小值．
n
